Кусково-поліноміальна апроксимація
У тих випадках, коли відрізок , на якому виконується заміна функції інтерполяційним поліномом , є досить великим і відсутні підстави вважати функцію (яка, як правило, невідома) достатньо гладкою при , немає сенсу підвищувати точність інтерполяції за рахунок збільшення степені полінома . У таких випадках доцільно застосовувати кусково-поліноміальну апроксимацію, допускаючи, що функція апроксимації складається із окремих поліномів, як правило, невисокої степені, кожний із яких визначений на своїй частині відрізку .
Кусково-лінійна і кусково-квадратична інтерполяція
Найпростішим із поліномів, які використовують для кусково-поліноміальної апроксимації це поліноми першої степені, які утворюють ломану лінію, що проходить через задані точки.
Допустимо, що на системі вузлів відомі значення функції . Абсциси упорядковані наступним чином:
.
Необхідно апроксимувати кусково-лінійною функцією , виходячи із умов інтерполяції
, .
Якщо функцію взяти у вигляді , виходячи із умов інтерполяції, отримуємо систему із лінійних рівнянь
(9.17)
……………..
Кожна пара сусідніх рівнянь системи (9.17), яка має коефіцієнти з однаковими індексами є незалежною від інших пар і може розв’язуватись самостійно.
При кусково-квадратичній інтерполяції функція вибирається у вигляді квадратного трьох члена - . При кожна ланка кусково-квадратичної функції визначається трійкою коефіцієнтів , і , послідовним розв’язком трьохвимірних лінійних систем
|
|
де .
Недоліком кусково-квадратичної інтерполяції є те, що кривизна у парних вузлах різко змінюється, а це може викликати небажаний вигин або викривлення графіка функції .
Інтерполяційний сплайни
Побудова поліноміальної лінії за заданою сукупністю точок здійснюється у системах комп’ютерної графіки. Для цієї мети застосовують кубічний сплайни.
Сплайном називають функцію , яка визначена на відрізку раз неперервне диференційована і така, що на кожному проміжку - це многочлен -ої степені. Різниця називається дефектом сплайна.
Якщо сплайни апроксимує деяку функцію , яка задана своїми ординатами , і при цьому виконується умова , то такий сплайни називається інтерполяційним сплайном для функції .
Найбільш відомий і такий, що знайшов широке застосування, є кубічний сплайни дефекту 1. При цьому допускають, що вузли сплайна одночасно є і вузлами інтерполяції, тобто , .
Отже, кубічним сплайном дефекту 1, який на відрізку , інтерполює задану функцію називається функція
; ; , (9.18)
|
|
яка задовольняє такій сукупності умов:
· умові інтерполяції у вузлах сплайна - ;
· подвійній неперервній диференційованості на відрізку ;
· крайовим умовам - .
Визначений у такий спосіб сплайни називають ще креслярським сплайном[1]. Щоб побудувати кубічний сплайни (9.18) необхідно визначити його коефіцієнти, виходячи із умов інтерполяції
, при
гладкого спряження ланок сплайну
,
,
та крайових умов
, .
Із (9.18) знаходимо, що
. (9.19)
. (9.20)
Рис. 9.3 дає наочне уявлення про розташування вузлів і ланок кубічного сплайну.
Рисунок 9.3 – Розташування вузлів і ланок кубічного сплайну
Враховуючи значення функції , яке визначається формулою (9.18), та умови інтерполяції, знаходимо
,
,
де , .
Введемо позначення , . Тоді
,
, /
Виходячи із умов гладкого спряження ланок сплайну, отримаємо
,
,
,
,
,
.
Враховуючи співвідношення (9.18) – (9.20), маємо
,
,
, .
Крайові умови дають змогу знайти
,
.
або ,.
Таким чином, отримали наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
, (9.21)
, ; (9.22)
, (9.23)
|
|
, (9.24)
, ; (9.25)
, (9.26)
. (9.27)
В отриманій системі рівнянь коефіцієнти відомі і дорівнюють для всіх значень . Підставляючи їх значення в рівності (9.21) і (9.23), приходимо до наступних співвідношень:
, (9.28)
. (9.29)
Для спородження запису введемо таке позначення:
.
Величина носить назву роздільної різниці першого порядку або скорочено – роздільної різниці. Враховуючи, зроблене позначення рівняння (9.28) і (9.29) набудуть такого вигляду:
,
, .
Із отриманих рівнянь визначимо і об’єднаємо їх в одне
, . (9.30)
Тепер із (9.25) та (9.26) знайдемо
, , (9.31)
де - фіктивний коефіцієнт.
Знайдене значення дає змогу вилучити його із співвідношення (9.30)
, . (9.32)
В останньому виразі замінимо на
.
Отримані значення , і підставимо у рівняння (9.24). У результаті отримаємо
.
Після нескладних алгебраїчних перетворень приходимо до такого різницевого рівняння:
|
|
, (9.33)
де ; ; .
Змінюючи від 2 до , отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
,
,
,
……………………………… (9.34)
,
.
Маємо систему із рівнянь, у якій невідомими є коефіцієнти сплайна , , …, ( і ).
Систему рівнянь (9.34) подамо у векторно-матричній формі ,
де
; ; .
Як видно із аналізу матриці рівняння має тридіагональну структуру. Такі рівняння носять назву стрічкових систем і для їх розв’язку метод Гауса трансформується у більш ефективний метод, який називається методом прогонки.
Допустимо, що існують такі набори чисел і , при яких
. (9.35)
В останній рекурентній формулі індекс зменшимо на одиницю
і отримане значення підставимо в рівняння (9.33). У результаті отримаємо
.
Із останнього рівняння знаходимо
. (9.36)
Порівнюючи між собою вирази (9.35) і (9.36) приходимо до висновку, що
, , , (9.37)
де .
Таким чином, застосування методу прогонки до розв’язку системи рівнянь (9.34) зводиться до обчислення коефіцієнтів прямої прогонки і за формулами (9.37) при , а потім до одержання значень зворотної прогонки за формулою (9.35), вважаючи, що . Після підстановки знайдених значень у рівняння (9.31), (9.32) отримуємо числові значення коефіцієнтів кубічного сплайну і . Коефіцієнти визначаються із умови
, .
Всі обчислювальні затрати на побудову природного сплайну, який складається із ланок складуть арифметичних операцій.
Всі розрахункові формули значно спрощуються, якщо кубічний сплайн будується на системі рівновіддалених вузлів - для всіх значень . У такому випадку замість роздільної різниці будемо мати кінцеві різниці функції - , .
Таким чином, рекурентні формули прямої і зворотної прогонки для обчислення коефіцієнтів кубічного сплайну при набудуть такого вигляду:
, ; , , ,
де ;
, , ;
; ; ; .
Оскільки , а ; , то .
У результаті функція на відрізку апроксимується кубічним сплайном (9.18) з найденими коефіцієнтами , , і з похибкою .
Дата добавления: 2018-05-01; просмотров: 380; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!