Закони Ома і Кірхгофа в комплексній формі

Або: алгебраїчна сума комплексних значень напруг на всіх пасивних елементах (резистивних, індуктивних, ємнісних) будь-якого замкненого контуру електричного кола синусоїдального струму дорівнює алгебраїчній сумі комплексних значень всіх ЕРС цього ж контуру:

Другий закон Кірхгофа можна застосовувати і для миттєвих значень напруг і ЕРС: алгебраїчна сума миттєвих значень напруг на всіх пасивних елементах будь-якого замкненого контуру дорівнює алгебраїчній сумі всіх ЕРС цього ж контуру .

Елементарні кола змінного струму з ідеальними елементами – резистором, котушкою індуктивності та конденсатором.

Співвідношення між струмом і напругою

а)Для кола синусоїдального струму, що містить лише ємнісний елемент, закон Ома:                 , 

де ( ) - комплексний ємнісний опір конденсатора, - напруга на ньому.

Звідси .

Так як множення будь-якого вектора на символ
(- ) повертає цей вектор на 90⁰ за годинниковою стрілкою, то звідси маємо, що на конденсаторі напруга відстає за фазою від струму на 90⁰.

б)Для кола тільки з індуктивним елементом закон Ома:

                       ,  

де - комплексний індуктивний опір.

Звідси напруга на котушці індуктивності  . Множення будь-якого вектора на символ   повертає цей вектор на 90⁰ проти ходу годинникової стрілки, тому робимо висновок, що напруга на індуктивності випереджає струм за фазою на 90⁰.

в)Для кола, що містить тільки резистивний елемент, закон Ома має вигляд .

На резисторі зсув фаз між напругою і струмом дорівнює нулю.

Деякі відомості про комплексні числа

Комплексним числом називається вираз , де і – уявна одиниця, яка визначається рівністю , ; ,   - дійсні числа;   називається дійсною частиною комплексного числа z,   називається уявною частиною комплексного числа z.

Дії над комплексними числами:

а)додавання: ;

б)віднімання: ;

в)множення: ;

г)ділення: .

Для виконання ділення множимо чисельник і знаменник на комплексно спряжену величину:

.

Способи зображення синусоїдальних величин

Існують методи зображення синусоїдальних величин у вигляді:

а) тригонометричних функцій ;

б) графіків зміни функцій у часі (рис.14);

в) векторів, що обертаються в декартовій площині;

г)комплексних чисел.

Способи а) і б) вже застосовувалися вище (див. формулу (23) рис. 14).

в) Розглянемо векторний спосіб зображення синусоїдальних величин. Застосування векторних діаграм при розрахунку та дослідженні кіл змінного струму дозволяє наочно представляти процеси у колі та спрощувати розрахунки.

Для зображення синусоїдальної величини  з початковою фазою  обертовим вектором побудуємо в декартовій системі координат  під кутом  до позитивної осі абсцис вектор , довжина якого в довільно обраному масштабі дорівнює амплітуді гармонічної величини, яку зображаємо (рис.16). Додатні кути відкладаємо в напрямку проти обертання часової стрілки, а від’ємні – за часовою стрілкою.

Припустимо, що вектор , починаючи з моменту часу  t = 0 обертається навколо початку координат проти годинникової стрілки зі сталою частотою обертання . В момент часу t вектор  повернеться на кут  і буде розташований під кутом  по відношенню до осі абсцис. Проекція цього вектора на вісь ординат у вибраному масштабі дорівнює миттєвому значенню напруги: .

Отже, величину, що змінюється гармонічно у часі, можна зображати обертовим вектором. При нульовому значенні початкової фази ( =0) в момент часу   маємо  і вектор  повинен бути розташованим на осі абсцис.

Приклад.

 При розрахунку кола змінного струму часто приходиться складати ЕРС, струми або напруги однієї і тієї ж частоти.

Припустимо, що треба скласти дві ЕРС:

і .

Таке додавання можна здійснити аналітично або графічно. Останній спосіб більш є наочним і простішим. Дві ЕРС  і , що складаються, зображені в певному масштабі векторами  і (рис.4). При обертанні цих векторів з однією і тією ж частотою взаємне розташування векторів залишається незмінним. Сума проекцій обертових векторів  і  на вісь ординат дорівнює проекції на ту ж вісь вектора , який є їх геометричною сумою.

Отже, при додаванні двох синусоїдальних ЕРС однієї і тієї ж частоти одержуємо синусоїдальну ЕРС тієї ж частоти, амплітуда якої зображується вектором , що дорівнює геометричній сумі векторів  і :

.

г) Розглянемо зображення синусоїдальних величин у вигляді комплексних чисел.  

Метод аналізу кіл синусоїдального струму , коли всі його величини зображені у комплексному вигляді, називається символічним. Символічний метод дає змогу геометричні дії над векторами замінити алгебраїчними. 

Символічний метод полягає в наступному:

- вектор будь-якої величини розглядається як величина комплексна на комплексній площині (тому метод має також назву “метод комплексних величин”);

- кожний вектор  розкладається на складові  та  по осям комплексної площини (рис.5).  

Вісь абсцис називають віссю дійсних значень та позначають “+1”. Вісь ординат називають віссю уявних значень і позначають “+j”, де символ j – уявна одиниця (  ). Складову вектора за уявною віссю виділяють символом j.

Діючі значення величин у комплексній формі записуються основним літерним позначенням, над яким ставлять крапку.       

Будь-якому вектору на комплексній площині однозначно відповідає комплексне число, яке може бути записане в алгебраїчній, тригонометричній та показовій формі (експоненціальній) формах:

Алгебраїчна форма: .

Тригонометрична: .

Експоненціальна: .

Остання формула записана з застосуванням формули Ейлера у попередній формулі:   .

Перехід від алгебраїчної форми запису до показової та тригонометричної відбувається за формулами:

,      при > 0,   при < 0.