Прямийхід — зводимоматрицю до трикутноговигляду
Операції над множинами
1) Об’єднання (АUB)
2) Переріз (А B)
3)Різниця (А-В)
3) Диз’юнктивна сума множин (А В =В А)
Тотожності алгебри множин
1. Комутативний (переставний) закон ( U=+. ∩=- )
А U B = В U А;
А ∩ В = В ∩ А;
2. Асоціативний (сполyчний) закон. ( U=+. ∩=- )
А ∩ (В ∩ С) = (А ∩ В) ∩ С
А U (В U С) = (А U B) U С
3. Дистрибутивний (розподільний) закон. ( U=+. ∩=- )
А U (В ∩ С)=(А U B) ∩ (А U С)
А ∩ (В U С)=(А ∩ В) U (А ∩ С)
В-ті U та 0
4.1. А U 0 = A
4.2. A U Ā = A
4.3. A U U =U
4.4. 0 = U
4.5. A∩ U = A
4.6. A∩ A = 0
4.7. A∩ 0 = 0
4.8. Ū = 0
Закон самопоглинання
AU A = AA∩ A = A
Закон поглинання
A U (A∩ B) = A A∩(A U B) = A
7.ТеоремадеМоргана
A U B = Ā ∩ B A ∩ B =Ā U B
Действиянадматрицами
Сложение матриц:
Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами.Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов.
С=А+В
cij =aij +bij
Аналогично определяется разность матриц.
Умножение матрицы на число:
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij
В=k×A
bij =k×aij
Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.
|
|
Определительматрицы
Де - Мінор
Матрицяназивається виродженою, якщоїївизначникдорівнюєнулю, авіншомувипадку невиродженою.
Визначник 2×2 матриці
Щобзнайтивизначник матриці, множимоелементи головноїдіагоналі тавіднімаємодобутокелементівпобічноїдіагоналі:
Визначник 3×3 матриці
Щобзнайтивизначник матриці, будуємошістьдобутків таким чином:
Обратная (Обернена) матрица
При изучении высшей математики часто требуется решить обратную матрицу. В этой статье я постараюсь детально объяснить, что такоематрица обратная даннойи как ее найти.
Обратная матрица есть только у невырожденной матрицы, т.е. у той матрицы, определитель которой не равен нулю. У вырожденной матрицы(определитель=0) обратной матрицы не существует.
Матрица обратная данной - это матрица, при умножении на которую данной в результате получается единичная матрица.
Условие обратной матрицы
Итак, если матрица получилась вырожденной, то на этом заканчиваем, т.к. решить обратную матрицу невозможно.
В противном случае, приступим к заполнению обратной матрицы. Для этого надо найти дополнения. Их количество всегда равно числу элементов матрицы. Если матрица третьего порядка, значит у нее 9 элементов, у каждого свое дополнение и все эти дополнения надо искать.
|
|
Покажу на примере схемы, как найти дополнение элемента, стоящего в первой строке второго столбца, значит элементы, стоящие в первой строке и втором столбце надо вычеркнуть. Оставшиеся элементы (их 4) - записываем в новый определитель, умноженный на (-1) в степени (1+2), где 1 и 2 -номера строки и столбца.
После нахождения всех дополнений составляем обратную матрицу, она представляет собойтранспонированную матрицу к той, которая составлена из полученных дополнений, деленная на определитель исходной матрицы. Вот почему важно, чтобы матрица была невырожденной (на нуль ведь делить нельзя).
Рассмотрим на примере нахождение обратной матрицы:
Пусть дана матрица В:
Найдем ее определитель:
Определитель равен 232, это не ноль, значит матрица невырожденная и для нее можно найти обратную матрицу.
Для этого найдем 9 дополнений:
Дополнение для элемента, стоящего в первой строке первого столбца:
Дополнение для элемента, стоящего в первой строке второго столбца:
Дополнение для элемента, стоящего в первой строке третьего столбца:
|
|
Теперь определим следующие три дополнения для второй строки:
И последние три для третьей строки:
Теперь составим обратную матрицу:
Розклад детермінанта за елементами рядка (стовпця)
Детермінант Δ п-го порядку дорівнює сумі всіх добутків елементів довільного рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення тобто:
Δ=ai1·Ai1+ ai2·Ai2+…+ ain·Ain; (3.2)
або:
Δ=a1j·A1j+ a2j·A2j+…+ anj·Anj. (3.3)
Формулу (3.2) називають розкладом детермінанта за елементами і-го рядка, а формулу (3.3) - розкладом цього детермінанта за елементами j-го стовпця.
Опорныйэлемент
Опорным элементом матрицы называется 1ый ненулевой элемент этой строки.
В 1й строке это 1, во 2й это 2, в 3й – 5, в 4й его нет.
Приєднана матриця
Приє́днаною до матриці A, називається матриця створена з алгебраїчнихдоповнень для відповіднихелементівпервісноїматриці, і транспонована потому.
де Aij — алгебраїчнедоповнення елемента aij даноїматриці A.
Приклад
Нехай матриця
.
Їїприєднанаматрицямаєвигляд:
Мінор
Визначникматриці, яка одержується з викреслюваннямвсіхрядків та стовпців, окрімвибраних, називається мінором -го порядку, розташованим в рядках з номерами та стовпцях з номерами .
|
|
Знаходженнямінорів:
Алгебраїчне доповнення і мінор
Рассмотрим на примере нахождение алгебраического дополнения элементов матрицы:
Пусть дана матрица А:
Найдем алгебраические дополнения для двух элементов:
1. для элемента, который стоит в первой строке, первом столбце
2. для элемента, который стоит в третьей строке, втором столбце
А теперь используя алгебраическое дополнение матрицы найдем определитель матрицы А , используя теорема Лапласа:
Пусть дана матрица А:
Разложим по первой строке:
Обратите внимание еще раз, как раскладывалась матрица, как находилосьалгебраическое дополнение матрицы:
Мінором -го порядку матриці називається визначникматриці, утворенийелементами на перетині стовпців та рядків.
Алгебраїнимдоповненнямелемента називаютьмінорцьогоелемента, взятий зі знаком тобто
§ Мінор квадратноїматриці — визначникматриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:
§ Знайтиалгебраїчнідоповненняелементів а21 та а33 визначника
Розв'язок:
Алгебраїчнідоповнення до елементів а21 та а33 позначимо А21 та А33, відповідно.
Знаходженнямінорів:
Підставимоцізначеннямінорів у відповіднірівності (4), одержимо шуканіалгебраїчнідоповнення
А21=(-1)2+1 М21= -13
А33=(-1)3+3 М33= 5
Методи обернення матриць
Метод Гауса
.
Прямийхід: Шляхом елементарнихперетвореньрядків (додавань до рядка іншого рядка, помноженого на число, і перестановок рядків) матриця приводиться до верхньотрикутноговигляду.
Зцього моменту починається зворотнийхід.
Зостанньогоненульовогорівняннявиражаємокожну з базисних змінних через небазисні і підставляємо в попереднірівняння. Повторюючицю процедуру для всіхбазиснихзмінних, отримуємо фундаментальнийрозв'язок.
Приклад
Запишемо розширенуматрицю системи
Прямийхід — зводимоматрицю до трикутноговигляду
Обнулимокоефіцієнтипри в другому та третьму рядку. Для цьоговіднімемовід них перший рядок помноженийна та , відповідно:
Теперобнулимокоефіцієнтпри в третьому рядку, віднявшивіднього, другий рядок помножений на :
Тепернашаматрицямає трикутнийвигляд, отже ми закінчилипрямийхід.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 210; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!