Интегрирование рациональных дробей
Тема: Интегрирование функций различными методами.
Основные понятия.
Определение. Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство
.
Определение. Совокупность всех первообразных функций +С для функции называется неопределенным интегралом функции
Свойства неопределенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
, - число
2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций
Таблица основных интегралов
1. | 10. |
2. | 11. |
3. | 12. |
4. | 13. |
5. | 14. |
6. | 15. |
7. | 16. |
8. | 17. |
9. | 18. |
Метод непосредственного интегрирования.
При непосредственном интегрировании применяют:
- тождественные преобразования подынтегральной функции ;
- свойства неопределенного интеграла;
- таблицу основных интегралов.
Пример 2.1. Найти интеграл .
=
Пример 2.2. Найти интеграл .
Интегрирование по формуле линейной замены
Если первообразная для , то первообразная для .
, a, b – числа
Пример 3.1. Найти интеграл
Рассмотрим подынтегральную функцию .
Аргументом синуса является линейная функция:
Пример 3.2. Найти интеграл .
линейная функция: или
Интегрирование методом замены переменной (или подстановкой)
|
|
Метод применяется, если под знаком интеграла произведение (частное) двух функций. Причём:
одна функция является производной другой функции, или
одна функция является производной от внутренней функции другой.
Формула интегрирования подстановкой
Пример 4.1. Найти интеграл .
Под знаком интеграла произведение двух функций и .
Причём
Тогда .
Таким образом, получаем интеграл от новой переменной :
Вернемся к прежней переменной, для этого заменим на , получим: - ответ.
Запись:
Пример 4.2. Найти интеграл
Под знаком интеграла произведение двух функций и . Причём второй множитель является сложной функцией, где показательная функция – внешняя функция, а - внутренняя функция. Заметим, что производная внутренней функции
.
Тогда эту внутреннюю функцию обозначим за новую переменную
.
Найдем .
Таким образом получаем интеграл от новой переменной :
5. Метод интегрирования по частям.
Нахождение интеграла по формуле
,
называется интегрированием по частям.
Формула показывает, что вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , который должен оказаться более простым или даже табличным.
Суть метода:
- подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей и ;
|
|
- находят и ;
- применяют формулу интегрирования по частям.
Укажем основные типы интегралов, интегрируемых методом по частям.
I) В интегралах типа
,
где - многочлен n-ой степени, k – const.
Обозначим ,
dV - оставшееся выражение
.
Тогда
Если степень многочлена n > 1, то интегрирование по частям применяют последовательно несколько раз.
Пример 5.1. Найти интеграл .
Пример 5.2. Найти интеграл .
II) В интегралах типа
где - многочлен n-ой степени, k – const.
Обозначим ,
U - оставшаяся функция (или , или , или , или ).
Тогда ,
.
Пример 5.4. Найти интеграл .
Пример 5.5. Найти интеграл .
Интегрирование рациональных дробей
Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов с действительными коэффициентами, т.е. , где - степени многочленов.
Если , то дробь правильная.
Если , то дробь неправильная.
Всякую неправильную дробь можно путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена и правильной остаточной дроби , , т.е. .
|
|
Пример 6.1. Представить рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби
- неправильная рациональная дробь, т.к. степень числителя ( ) больше степени знаменателя ( ).
Разделим числитель на знаменатель. При этом многочлены запишем по убыванию степеней, а степени отсутствующие в явном виде с нулевыми коэффициентами.
- целая часть
- остаток
тогда .
Интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию соответствующих простейших дробей. Простейшими дробями называются дроби следующих 3-х типов:
- I тип
, где , - II тип
, где дискриминант знаменателя отрицательный, - III тип
Рассмотрим интегрирование простейших рациональных дробей на примерах.
Пример 6.2. Интегрирование простейшей рациональной дроби I типа.
Пример 6.3. Интегрирование простейшей рациональной дроби II типа.
.
Пример 6.4. Интегрирование простейшей рациональной дроби III типа.
1. Найдем дискриминант знаменателя
дробь III типа.
2. Выделим в знаменателе полный квадрат.
3. Введем замену: основание выделенного квадрата принимаем за новую переменную.
I-й интеграл берется методом замены, а II-й – табличный
|
|
4. Возвращаемся к прежним переменным
Рассмотрим общее правило интегрирования рациональных дробей.
Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо:
а) Если дробь неправильная, то выделить целую часть и остаточную правильную рациональную дробь;
б) разложить знаменатель правильной рациональной дроби на линейные и квадратичные множители (если это необходимо), при этом возможны следующие типы множителей:
- линейный,
- линейный кратности “k”,
- квадратичный;
в) разложить правильную дробь на сумму простейших, при этом:
множителю соответствует простейшая рациональная дробь I типа
множителю соответствует разложение (сумма дробей I и II типов)
множителю соответствует дробь III типа ;
г) привести обе части равенства к общему знаменателю и приравнять числители;
д) найти неопределенные коэффициенты;
е) проинтегрировать каждую из полученных дробей и выделенную целую часть.
Методы нахождения неопределенных коэффициентов рассмотрим на примерах.
Пример 6.5. Найти интеграл
- правильная рациональная дробь.
Разложим знаменатель на множители по формуле , где - корни квадратного трехчлена.
тогда .
Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Линейным множителям и знаменателя данной дроби соответствуют простейшие рациональные дроби вида
и .
Тогда .
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
,
т.к. знаменатели равны, то приравняем числители:
.
Коэффициенты и можно найти одним из способов.
I способ (метод сравнивания коэффициентов).
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:
Тогда 1 уравнение системы имеет вид . Таким образом .
II способ (метод частных решений).
Пусть , тогда
Пусть , тогда
Таким образом .
Тогда
Проинтегрируем
Пример 6.6. Найти интеграл
- неправильная рациональная дробь.
Представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби (решение см. пример 4.1)
Тогда,
Разложим знаменатель правильной дроби на множители:
Решив систему, получаем
Пример 6.7. Найти интеграл
- правильная рациональная дробь, так как степень числителя – 2, а знаменателя – 3.
Знаменатель уже разложен на линейные множители, причем множитель имеет кратность 2.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 382; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!