Задания для самостоятельного решения.
1.Решите систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
2. Решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
3. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
4. Решите однородную систему линейных уравнений, выделив какую-либо фундаментальную систему:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Дифференциальное исчисление
Пределы
Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого сколь угодно малого найдется такое значение , что при . Пишут . Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:
Если существуют конечные пределы и , то
1) , (1)
2) , (2)
3) (при ) (3)
Используя также следующие пределы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) . (4)
Здесь - бесконечно малая функция
Сравнение бесконечно малых
Пусть и бесконечно малые при . Если , то бесконечно малые называются эквивалентными. Пишут: α~β.
|
|
Теорема. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, то есть если α~ , β~ , то
(5)
Полезно использовать эквивалентность следующих бесконечно малых: если , то
~α, tgα~α, arcsinα~α, arctgα~α, ln(1-α)~α,
~αln , ~αm (5’)
Дифференцирование функций
Производной от функции в точке х называется конечный предел (6)
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Основные правила дифференцирования
Пусть С=const, u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции. Тогда:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)
если , то (7)
Производная степенно – показательной функции
, (8)
где u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции.
Таблица производных
1. , С - любое число 10.
2. 11.
3. 12.
4. 13.
5. 14.
6. 15.
|
|
7. 16.
8. 17.
9. 18.
Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл. Его свойства
Функция называется первообразной для функции в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна :
Интегрирование – это процесс нахождения первообразных.
Множество первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается
Примеры:
Таблица неопределенных интегралов
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14.
Свойства неопределенного интеграла:
1. Если – постоянная величина, то .
2.
3. .
4. .
5. .
Определенный интеграл
Разность называется определенным интегралом от функции f(x) и обозначается , где первообразная для функции
- формула Ньютона – Лейбница.
Пример.
Свойства определенного интеграла аналогичны свойствам неопределенного интеграла.
Дифференциальные уравнения
Основные понятия и определения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и производные этой функции, т.е. уравнение вида
|
|
Если искомая функция есть функция одной переменной , то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например,
1. – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.
2. – дифференциальное уравнение второго порядка.
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид или Решением дифференциального уравнения на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения в области называется функция , обладающая следующими свойствами:
1) эта функция является решением дифференциального уравнения при любом значении произвольной постоянной , принадлежащей некоторому множеству;
|
|
2) для любого начального условия такого, что , существует единственное , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое решение , которое получается из общего решения при некотором частном значении произвольной постоянной .
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение , т.е. удовлетворяет начальному условию Другими словами, задача Коши состоит в нахождении частного решения.
Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 421; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!