Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = f(x).
Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные действительные числа, f(x) — непрерывная на [a, b] правая часть.
Общее решение этого уравнения имеет вид y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cnyn(x) + y*(x),
где С1, С2, ..., Сn — произвольные постоянные, y1(x), y2(x), ..., yn(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения. Частное решение y*(x) можно найти методом подбора, если правая часть уравнения — квазимногочлен — функция вида : f(x) = exp(αx)(Mm(x)cos(βx) + Nn(x)sin(βx)).
Здесь Mm(x) — многочлен степени m, Nn(x) — многочлен степени n, α и β — действительные числа.
Метод подбора вычисления частного решения линейного неоднородного уравнения с квазимногочленом в правой части состоит в том, что частное решение уравнения
отыскивают в виде : y*(x) = exp(αx)(Pk(x)cos(βx) + Qk(x)sin(βx))xr, где Pk(x) и Qk(x) — многочлены степени k = max(n, m) с неизвестными коэффициентами,
Pk(x) = pkxk + pk-1xk-1 + ... + p1x + p0, Qk(x) = qkxk + qk-1xk-1 + ... + q1x + q0.
Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов Pk(x) и Qk(x) , подставляем y*(x) = exp(αx)(Pk(x)cos(βx) + Qk(x)sin(βx)) в уравнение и приравниваем в правой и левой части полученного равенства коэффициенты при
exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx), x2exp(αx)cos(βx), x2exp(αx)sin(βx), ..., xkexp(αx)cos(βx), xkexp(αx)sin(βx).
Полученная таким образом система 2k + 2 уравнений относительно 2k + 2 неизвестных имеет единственное решение.
|
|
Метод подбора применяется к ограниченному, но достаточно широкому классу правых частей, поскольку квазимногочленами являются функции вида:
Mk(x), Mk(x)exp(αx), Mk(x)cos(βx), Mk(x)sin(βx), exp(αx)(Mm(x)cos(βx) + Nn(x)sin(βx)).
Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Задача Коши и теорема существования и единственности задачи Коши для нормальных систем. Линейные системы дифференциальных уравнений. Фундаментальная матрица однородной системы. Структура общего решения.
Определение: совокупность двух или более дифференциальных уравнений называется системой дифференциальных уравнений. Данная совокупность может быть представлена в виде: .
Задача Коши: найти такое решение Y = Y(x) системы Y' = F(x,Y), что Y(x0)=Y0, где Y0 — некоторый постоянный вектор.
Теорема Коши. Пусть в области D из Rn+1 непрерывны все компоненты вектора правой части F(x,Y) и их частные производные по Y: Тогда, какова бы ни была начальная точка (x0,Y0) ≡ (x0,y1, 0 ,y2, 0, … ,yn, 0 ) ∈ D , существует такой отрезок [x0 − h; x0 + h] , что задача Коши Y' = F(x,Y), что Y(x0)=Y0 имеет единственное решение.
Система линейных дифференциальных уравнений имеет вид : где aij(x) и bi (x) — известные, а yj (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n, j = 1,2, … , n).
|
|
Фундаментальная матрица системы: Матрица Φ, столбцами которой являются n линейно независимых на [a, b] решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y' = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:
Теорема о структуре общего решения системы.
Если матрица A(x) неперерывна на [a, b], то общее решение системы Y' = A(x)Y имеет вид
Y(x) = Φ(x)·C ≡ C1·Y1(x) + C2·Y2(x) + ... + Cn· Yn(x),
где Φ(x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы, Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) — столбцы этой фундаментальной матрицы решений, C— произвольный постоянный вектор-столбец.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 620; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!