Определение рациональных способов раскроя материала.

УДК 330.115(075.8) ББК22.1я73 А94 Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: А94 Учеб. пособие. — М.: ИНФРА-М, 2003. — 444 с. — (Серия «Высшее образование»). ISBN 5-16-001580-9 Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта и содержит учебные материалы и методику решения широкого спектра экономических задач. В методике реализован новый подход к проведению практических занятий с использованием компьютерных технологий обучения в сочетании с программными средствами решения задач. Для студентов экономических вузов и преподавателей. ББК 22.1я73 ISBN5-16-001580-9 ÓМ.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.............................................................................................................................................................................................................. 2

Глава 1. Оптимизация плана производства...................................................................................................................................................... 3

Глава 2. Оптимальное смешение....................................................................................................................................................................... 18

Глава 3. Оптимальный раскрой......................................................................................................................................................................... 31

Глава 4. Планирование финансов..................................................................................................................................................................... 40

Глава 5. Транспортная задача........................................................................................................................................................................... 53

Глава 6. Задача о назначениях.......................................................................................................................................................................... 67

Глава 7. Сетевой анализ проектов. Метод СРМ........................................................................................................................................... 78

Глава 8. Сетевой анализ проектов. Метод PERT.......................................................................................................................................... 94

Глава 9. Анализ затрат на реализацию проекта........................................................................................................................................ 105

Глава 10. Стратегические игры....................................................................................................................................................................... 132

Глава 11. Нелинейное программирование................................................................................................................................................... 147

Глава 12. Модели управления запасами...................................................................................................................................................... 166

Глава 13. Модели систем массового обслуживания................................................................................................................................. 180

Глава 14. Имитационное моделирование..................................................................................................................................................... 202

Глава 15. Целочисленные задачи линейного программирования......................................................................................................... 226

Глава 16. Основы теории принятия решений.............................................................................................................................................. 239

Список основной литературы.......................................................................................................................................................................... 254

Список дополнительной литературы............................................................................................................................................................ 255

Предисловие

Студент экономического вуза, прослушавший курс «Исследование операций», должен знать основные экономические проблемы, при решении которых возникает необходимость в математическом инструментарии. Он должен ориентироваться в экономической постановке задачи и определять по ней, в каком разделе исследования операций следует искать средства ее решения; должен уметь формализовать экономическую задачу, т.е. описать ее с помощью известной математической модели, провести расчеты и получить количественные результаты. Однако самое главное — студент должен уметь анализировать эти результаты и делать выводы, адекватные поставленной экономической задаче.

В каждой главе материал изложен в такой последовательности: цели, модели, примеры, вопросы, задачи, ситуации.

Цели. Устанавливаются цели изучения темы. Перечисляются основные понятия, которые должны быть изучены, и навыки, которые должны быть приобретены после изучения материала, предлагаемого в рамках данной темы.

Модели. Приводится описание экономико-математических моделей, необходимых для выполнения заданий по данной теме. Формулируются условия для применения этих моделей. Материал этого раздела можно рассматривать как краткий конспект лекции по теме.

Примеры. Демонстрируется, как описанные модели могут использоваться для решения экономических задач. При этом приводятся формулировка задачи, описание модели, необходимой для решения задачи, результаты расчетов по модели и анализ этих результатов.

Вопросы. Наиболее простая форма контроля знаний. Предлагается набор из нескольких вопросов и варианты ответов, один из которых верен.

Задачи. Основная форма контроля результатов обучения по программе подготовки бакалавров. Предлагается набор задач для самостоятельного решения. Решение любой задачи предполагает построение соответствующей модели, проведение необходимых расчетов и получение ответов на поставленные в задаче вопросы.

Ситуации. Основная форма контроля результатов обучения по программе подготовки магистров. Приводится описание конкретных экономических ситуаций, которые необходимо проанализировать. Цель такого анализа — научить использовать для исследования сложных экономических проблем полученные навыки решения задач. Нет и не может быть однозначных ответов на все вопросы, содержащиеся в заданиях к изложенным ситуациям. В этом принципиальное отличие ситуации от обычной задачи. Как правило, описание конкретной ситуации не содержит всей необходимой информации. Читателю приходится делать предположения и вносить необходимые добавления. Поэтому, анализируя одну и ту же ситуацию, два студента могут получить разные результаты. И оба результата будут верны. Цель анализа ситуации не сводится к получению ответа. Важен не результат, а процесс анализа.

Некоторые задачи и ситуации заимствованы из других источников и представлены в переработанном виде.

В конце каждой главы приведены ответы на вопросы и решения задач.

Данное учебное пособие можно использовать при традиционной форме проведения практических занятий, когда студенты все вместе решают задачу, предложенную преподавателем. Более современным представляется подход, основанный на использовании компьютерной технологии обучения в сочетании с программными средствами решения задач. Именно такую технологию проведения практических занятий уже более 15 лет используют авторы. В ее основе — компьютерный учебник «Исследование операций в экономике». Он содержит теоретический материал, многие из приведенных в данном учебном пособии задач, а также средства контроля правильности их решения с выборочной диагностикой ошибок.

Некоторые разделы исследования операций, например динамическое программирование, не представлены в этой книге, потому что авторы не могут предложить читателю удобное программное обеспечение для получения количественных оценок по соответствующим моделям.

Авторы благодарят А. Б. Ароновича за сотрудничество при подготовке глав 10 и 11, а также Н.В. Васильеву, чей опыт практических занятий по курсу «Исследование операций» позволил внести полезные коррективы в материал учебного пособия.

Глава 1. Оптимизация плана производства

Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования (ЛП) для определения плана производства. Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказаться для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей. Рассматривается также задача производственного планирования, учитывающая динамику спроса, производства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оперативного управления микроэкономическими объектами.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• целевую функцию;

• ограничения;

• допустимый план;

• множество допустимых планов;

• модель линейного программирования;

• оптимальный план;

• двойственные оценки;

• границы устойчивости.

Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия — максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д.

Модели

Введем обозначения:

п — количество выпускаемых продуктов;

т — количество используемых производственных ресурсов (например, производственные мощности, сырье, рабочая сила);

а_ij — объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции;

с_j — прибыль от выпуска и реализации единицы j-го продукта;

b_i — количество имеющегося i-го ресурса;

х_j — объем выпуска j-го продукта.

Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующеймодели линейного программирования:

(1)

(2)

(3)

Здесь (1) — целевая функция (максимум прибыли);

(2) — система специальных ограничений (constraint) на объем фактически имеющихся ресурсов;

(3) — система общих ограничений (на неотрицательность переменных);

х_j — переменная (variable).

Задача (1)—(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.

Задача линейного программирования в стандартной форме на минимум имеет вид

(4)

(5)

(6)

Вектор х = (x₁, x₂, ..., x_n), компоненты х_j которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3) (или (5) и (6) в задаче на минимум), называется допустимым решением или допустимым планом задачи ЛП.

Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи ЛП, на котором целевая функция (1) (или (3) в задаче на минимум) достигает максимального (минимального) значения, называется оптимальным решением задачи ЛП.

С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойственной задачей ЛП.

Двойственной к задаче ЛП (1)—(3) является задача

Соответственно, двойственной к задаче ЛП (7)—(9) является задача (1)—(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (переменная) двойственной задачи. Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.

Компонента оптимального решения двойственной задачи (7)—(9) называется двойственной оценкой (Dual Value) ограничения исходной задачи ЛП.

Пусть j = max ( ), где х_j — компонента допустимого решения задачи (1)—(3).

Тогда при выполнении условий невырожденности оптимального решения имеют место следующие соотношения:

Изменим значение правой части b_i одного основного ограничения (RHS) исходной задачи ЛП.

Пусть — минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение у* двойственной задачи не изменится. Тогда величину называют нижней границей (Lower Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Пусть — максимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение y* двойственной задачи не изменится. Тогда величину называют верхней границей (Upper Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Изменим значение одного коэффициента с_j целевой функции исходной задачи ЛП.

Пусть — минимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение x* исходной задачи не изменится. Тогда величину называют нижней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

Пусть — максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение х* исходной задачи не изменится. Тогда величину называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

Примеры

Пример 1. Сколько производить?

Предприятие располагает ресурсами сырья и рабочей силы, необходимыми для производства двух видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации тонны продукта, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:

Вопросы:

1. Сколько продукта 1 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

2. Сколько продукта 2 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

3. Какова максимальная прибыль?

4. На сколько возрастет максимальная прибыль, если запасы сырья увеличатся на 1 т?

5. На сколько возрастет максимальная прибыль, если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч?

Решение. Пусть х₁ — объем выпуска продукта 1 в тоннах, х₂ — объем выпуска продукта 2 в тоннах. Тогда задача может быть описана в виде следующей модели линейного программирования:

Используя пакет РОМ for WINDOWS (далее - POMWIN), исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

В нижней строке указан объем выпуска каждого продукта, удовлетворяющий ограничениям на ресурсы и обеспечивающий максимальную прибыль. Величина 988,24 — максимальное значение целевой функции.

Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует производить 16,47 т продукта 1 и 14,12 т продукта 2.

Максимальная прибыль равна 988,24 тыс. руб.

В правом столбце таблицы указаны двойственные оценки для каждого ограничения. Так, величина 3,82 показывает, что при увеличении запаса сырья на 1 т (до 121) максимальное значение целевой функции для нового оптимального плана увеличится по сравнению с 988,24 на 3,82 тыс. руб. Аналогично можно интерпретировать значение двойственной оценки 1,32 для второго ресурса.

Следующая таблица содержит дополнительную информацию, предоставляемую пакетом POMWIN:

Два правых столбца таблицы — границы устойчивости по значениям коэффициентов целевой функции (верхняя часть таблицы) и правых частей ограничений (нижняя часть).

Так, в случае если прибыль, получаемая от реализации 1 т продукта 1, изменится, но останется в пределах от 21 до 40,83, количество продукта 1 в оптимальном плане не изменится.

В случае если запас сырья изменится, но останется в пределах от 85,71 до 166,66, двойственная оценка этого ресурса не изменится.

Соответственно, если допустимый объем трудозатрат изменится в пределах от 288 до 560 ч, двойственная оценка этого ресурса не изменится.

Если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч, то максимальная прибыль увеличится на 132 тыс. руб.

Пример 2. Производить или покупать?

Фирма производит два типа химикатов. На предстоящий месяц она заключила контракт на поставку следующего количества этих химикатов:

Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы двух химических реакторов. Каждый тип химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. Ниже в таблице приведен фонд рабочего времени, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе:

Из-за ограниченных возможностей, связанных с существующим фондом времени на обработку химикатов в реакторах, фирма не имеет достаточных мощностей, чтобы выполнить обязательства по контракту. Выход заключается в следующем: фирма должна купить какое-то количество этих химикатов у других производителей, чтобы использовать эти закупки для выполнения контракта. Ниже приводится таблица затрат на производство химикатов самой фирмой и на закупку их со стороны:

Цель фирмы состоит в том, чтобы обеспечить выполнение контракта с минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль, так как цены на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словами, фирма должна принять решение: сколько химикатов каждого типа производить у себя, а сколько — закупать со стороны для того, чтобы выполнить контракт с минимальными издержками.

Вопросы:

1. Сколько химикатов типа 1 следует производить фирме?

2. Сколько химикатов типа 2 следует производить фирме?

3. Сколько химикатов типа 1 следует закупать со стороны?

4. Сколько химикатов типа 2 следует закупать со стороны?

5. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?

6. Следует ли изменить объем закупок химикатов типа 2 со стороны, если их цена возрастет до 75 тыс. руб. за тонну?

7. На сколько возрастут минимальные издержки, если фонд времени работы реактора 2 сократится с 400 до 300 ч?

Решение. Введем обозначения:

x₁— количество продукта 1, производимого компанией;

z₁ — количество продукта 1, закупаемого компанией;

x₂ — количество продукта 2, производимого компанией;

z₂ — количество продукта 2, закупаемого компанией.

Модель линейного программирования приведена в следующей таблице:

Условия неотрицательности переменных: ; ; ; .

Таблица исходной информации для расчетов в POMWIN имеет следующий вид:

Результаты расчетов:

Таблица двойственных оценок и границ устойчивости:

Из таблицы двойственных оценок и границ устойчивости видно, что в пределах изменения закупочной цены на химикат типа 2 от 61 до 76 (ее фактическое значение 66) оптимальный план не изменится.

Из таблицы также видно, что изменение ресурса времени работы реактора 2 в пределах от 225 до 765 не приведет к изменению двойственной оценки соответствующего ограничения.

Ответы: 1. 55,55 т. 2. 38,89 т. 3. 44,44 т. 4. 81,11 т.

5. 11 475,56 тыс. руб. 6. Нет, не следует.

7. Ha 111 тыс. руб.

Вопросы

Вопрос 1. Дана задача линейного программирования

Если эта задача имеет решение, то какие знаки имеют переменные y₁ и y₂ двойственной задачи?

Варианты ответов:

Вопрос 2. На предприятии — два цеха. Проведены оптимизационные расчеты по определению программы развития предприятия с минимальными затратами. Получены оптимальный план и двойственные оценки ограничений по загрузке мощностей двух цехов. Оказалось, что двойственная оценка ограничений на производственные мощности первого цеха равна нулю, а второго — строго положительна. Это означает, что:

1) информации для ответа недостаточно;

2) мощности обоих цехов недогружены;

3) мощности обоих цехов использованы полностью;

4) мощности цеха 1 использованы полностью, а цеха 2 недогружены;

5) мощности цеха 1 недогружены, а цеха 1 использованы полностью.

Вопрос 3. Рассматривается задача планирования нефтеперерабатывающего производства, описанная в виде модели линейного программирования. Критерий — минимум издержек. В результате решения лимитирующим фактором оказалась мощность Оборудования, измеряемая в тоннах перерабатываемой нефти. В каких единицах измеряется двойственная оценка соответствующего ограничения?

Варианты ответов:

1) т/руб.; 2) руб./ч; 3) ч/руб.; 4) руб./т; 5) т.

Вопрос 4. Рассматривается задача оптимизации плана производства нефтепродуктов. Объем производства измеряется в тоннах. Задача решается на минимум издержек. Учитывается ограничение на время использования оборудования. В каких единицах измеряется значение коэффициентов матрицы для этого ограничения?

Варианты ответов:

Вопрос 5. Рассматривается задача оптимизации производственной программы. Критерий — максимум прибыли. Оптимальное значение критерия — 100. Двойственная оценка ограничения по трудозатратам равна 0,5, по объему производства — 1,5. Чему будет равна максимальная прибыль, если общий объем трудозатрат сократится на 10 единиц?

Варианты ответов:

1) 85; 2) 90; 3) 95; 4) 100; 5) 110.

Вопрос 6. Для всякого ли многогранника существует задача линейного программирования, допустимым множеством которой он является?

Варианты ответов:

1) да, для всякого;

2) нет, только для многогранника, имеющего более трех вершин;

3) нет, только для многогранника с положительными координатами вершин;

4) нет, только для выпуклого многогранника с неотрицательными координатами вершин;

5) нет, только для выпуклого многогранника.

Вопрос 7. Допустимое решение задачи линейного программирования:

1) должно одновременно удовлетворять всем ограничениям задачи;

2) должно удовлетворять некоторым, не обязательно всем, ограничениям задачи;

3) должно быть вершиной множества допустимых решений;

4) должно обеспечивать наилучшее значение целевой функции;

5) не удовлетворяет указанным выше условиям.

Вопрос 8. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

при условиях

Оптимальное значение целевой функции в этой задаче равно:

1) 1600; 2) 1520; 3) 1800; 4) 1440;

5) не равно ни одному из указанных значений.

Вопрос 9. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

пои условиях

Какая из следующих точек с координатами (X, Y) не является допустимой?

Варианты ответов:

5) ни одна из указанных.

Вопрос 10. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

при условиях

Множество допустимых планов имеет следующие четыре вершины: (48, 84), (0, 120), (0, 0), (90, 0). Чему равно оптимальное значение целевой функции?

Варианты ответов:

1) 1032; 2) 1200; 3) 360; 4) 1600;

5) ни одному из указанных значений.

Задачи

Задача 1. Нефтеперерабатывающая установка может работать в двух различных режимах. При работе в первом режиме из одной тонны нефти производится 300 кг темных и 600 кг светлых нефтепродуктов; при работе во втором режиме — 700 кг темных и 200 кг светлых нефтепродуктов. Ежедневно на этой установке необходимо производить 110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов. Это плановое задание необходимо ежедневно выполнять, расходуя минимальное количество нефти.

Вопросы:

1. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать в первом режиме?

2. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать во втором режиме?

3. Каков минимальный ежедневный расход нефти?

4. На сколько тонн увеличится ежедневный минимальный расход нефти, если потребуется производить в день 80 т светлых нефтепродуктов?

Задача 2. Фирма «Television» производит два вида телевизоров: «Астро» и «Космо».

В цехе 1 производят телевизионные трубки. На производство одной трубки к телевизору «Астро» требуется потратить 1,2 человекочаса, а на производство трубки к «Космо» — 1,8 человекочаса. В настоящее время в цехе 1 на производство трубок к обеим маркам телевизоров может быть затрачено не более 120 человекочасов в день.

В цехе 2 производят шасси с электронной схемой телевизора. На производство шасси для телевизора любой марки требуется затратить 1 человекочас. На производство шасси к обеим маркам телевизоров в цехе 2 может быть затрачено не более 90 человеко-часов в день.

Продажа каждого телевизора марки «Астро» обеспечивает прибыль в размере 1500 руб., а марки «Космо» — 2000 руб.

Фирма заинтересована в максимизации прибыли.

Вопросы:

1. Сколько телевизоров «Астро» следует производить ежедневно?

2. Какова максимальная ежедневная прибыль телевизионной компании?

3. На сколько рублей в день увеличится прибыль, если ресурс времени в цехе 2 возрастет на 5 человекочасов?

4. Следует ли изменить план производства, если прибыль от телевизора «Космо» увеличится до 2200 руб.?

Задача 3. Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров: мужские носки и женские чулки. Фирма получает прибыль в размере 10 руб. от производства и продажи одной пары чулок и в размере 4 руб. от производства и продажи одной пары носков.

Производство каждого изделия осуществляется на трех участках. Затраты труда (в часах) на производство одной пары указаны в следующей таблице для каждого участка:

Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма ежедневно будет располагать следующими ресурсами рабочего времени на каждом из участков: 60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на участке 3.

Вопросы:

1. Сколько пар носков следует производить ежедневно, если фирма хочет максимизировать прибыль?

2. Какую максимальную прибыль фирма может получать ежедневно?

3. На сколько увеличится прибыль, если ресурс времени на участке 1 увеличится на 10ч?

4. На сколько увеличится прибыль, если ресурс времени на участке 2 увеличится на 10 ч?

Задача 4. Василий Иванов — владелец небольшого мебельного цеха. Он производит столы трех моделей: А, В и С. Каждая модель требует определенных затрат времени на выполнение трех операций: производство заготовок, сборка и покраска.

Василий имеет возможность продать все столы, которые он изготовит. Более того, модель С может быть продана и без покраски (модель Cб.п.). При этом прибыль уменьшается на 200 руб. за штуку. Василий нанимает нескольких рабочих, которые работают у него по совместительству, так что количество часов, отводимое на каждый вид работ, изменяется от месяца к месяцу.

Постройте модель линейного программирования, которая помогла бы Иванову найти такую программу выпуска продукции, чтобы прибыль в следующем месяце была максимальной. Предполагается, что по каждому виду работ возможны трудозатраты до 100 ч. В следующей таблице указаны время (в часах), необходимое для выполнения операций по производству столов каждой модели, и прибыль (в руб.), которая может быть получена от реализации каждого изделия:

Вопросы:

1. Какую максимальную прибыль может получить Василий в течение месяца?

2. Сколько столов модели А следует производить?

3. Следует ли продавать неокрашенные столы модели С?

4. На сколько увеличится максимальная прибыль, если допустимый объем трудозатрат на этапе сборки возрастет на 10%?

5. На какую минимальную величину должна возрасти прибыль от производства и продажи окрашенного стола модели С, чтобы стало выгодно их производить?

Задача 5. После предпринятой рекламной кампании фирма «Давидко» испытывает необыкновенный рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе — газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежемесячную поставку в магазины 300 угольных и 300 газовых мангалов.

Производство мангалов ограничивается мощностью следующих трех участков: производства деталей, сборки и упаковки. В таблице показано, сколько человекочасов затрачивается на каждом участке на каждую единицу продукции, а также приведен допустимый ежемесячный объем трудозатрат:

Фирма «Давидко» не может обеспечить выполнение контракта своими силами. Поэтому она провела переговоры с другим производителем, который в настоящее время располагает избыточными мощностями. Этот производитель согласился поставлять фирме «Давидко» в любом количестве угольные мангалы по 3 тыс. руб. за штуку и газовые мангалы по 5 тыс. руб. за штуку. Эти цены превышают себестоимость мангалов на заводе фирмы «Давидко» на 1,5 тыс. руб. за каждый угольный мангал и на 2 тыс. руб. за каждый газовый мангал. Задача фирмы «Давидко» состоит в том, чтобы найти такое соотношение закупаемых и производимых мангалов, которое обеспечило бы выполнение контракта с минимальными общими затратами.

Вопросы:

1. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?

2. Сколько угольных мангалов следует ежемесячно производить фирме «Давидко»?

3. Сколько газовых мангалов следует ежемесячно производить?

4. Сколько газовых мангалов следует приобретать?

5. Следует ли сохранить объемы закупок газовых мангалов, если компания, выполняющая заказы для фирмы «Давидко», поднимет цену на них до 5,5 тыс. руб.?

Задача 6. Компания «Видео», производитель видеомагнитофонов, планирует производство и запасы продукции на первое полугодие следующего года. Прогноз спроса на соответствующие шесть месяцев отражен в таблице. «Видео» хотела бы иметь такой план, который обеспечит возможность полностью удовлетворить спрос.

Из-за колебаний затрат на сырье и энергию себестоимость продукции (затраты на единицу продукции) изменяется от месяца к месяцу. Максимальный объем производства компании «Видео» также колеблется из месяца в месяц из-за неравномерного ремонта оборудования и различного числа рабочих дней в месяце.

Компания не проводит политику частого изменения числа рабочих. Поэтому, чтобы предотвратить простои, она устанавливает минимальный объем производства, составляющий 50% от максимального. В таблице представлены также максимальный и минимальный уровни запасов на каждый месяц:

На 1 января запас видеомагнитофонов отсутствует. Страховой уровень запасов, который компания старается регулярно поддерживать, составляет 2500 шт.; это означает, что и в конце каждого месяца такое количество видеомагнитофонов должно храниться на складе как минимально допустимое. Однако площади складов позволяют хранить 7000 магнитофонов. Это отражено в предпоследнем столбце таблицы.

Бухгалтерия «Видео» подсчитала, что хранение одного видеомагнитофона на складе обходится в 8 руб. в месяц. Затраты на хранение следует определять по величине запаса на конец месяца.

Определите объемы производства и запасов на каждый месяц, при которых суммарные затраты (затраты на производство плюс затраты на хранение) минимальны при условии удовлетворения спроса на продукцию без отсрочки поставок.

Вопросы:

1. Сколько магнитофонов следует произвести в феврале?

2. Каков запас на складе на конец апреля?

3. Каковы минимальные издержки на выполнение полугодового плана (в тыс. руб.)?

Ситуации

Ситуация 1. Производство обмоточной проволоки. Ярославу Алексееву понравилась его первая рабочая неделя в качестве менеджера-стажера в фирме «Электрокабель». Он еще не приобрел достаточных знаний о процессе производства, но уже получил общую информацию, побывав на заводе и встретившись со многими людьми.

Один из основных видов продукции, выпускаемой фирмой «Электрокабель», — обмоточная проволока, которая используется в производстве электрических трансформаторов. Эдуард Третьяков, менеджер, отвечающий за контроль производства, описал Алексееву стандартную процедуру обмотки. Последовательность производства проволоки такова: подготовка чертежей, протяжка, наматывание, контроль и упаковка. После технического контроля хороший товар упаковывается и отсылается на склад готовой продукции, а дефектная продукция хранится отдельно до тех пор, пока не будет отдана на переработку.

В начале марта Борис Лагутин, первый вице-президент фирмы «Электрокабель», зашел в офис Алексеева и пригласил его на собрание персонала.

«Ну что ж, давайте начнем», — сказал Лагутин, открывая собрание. «Вы уже знакомы с Ярославом Алексеевым, нашим новым менеджером-стажером. Ярослав закончил магистратуру экономического факультета МГУ, поэтому я думаю, что он сможет помочь нам решить проблему, которую мы давно обсуждаем. Я уверен, что каждый из вас будет сотрудничать с Ярославом».

Лагутин обратился к Эдуарду Третьякову с просьбой вкратце описать проблему, с которой столкнулась фирма. «Сейчас, — начал Третьяков, — мы получаем больше заказов, чем можем выполнить. Еще несколько месяцев проблему можно будет решать за счет нового оборудования, но уже в апреле нам это не поможет. В прошлом году мы сократили нескольких работников из чертежного отдела. Я собираюсь снова временно привлечь их к работе, чтобы увеличить в этом отделе объем производства. Так как мы планируем рефинансировать нашу долгосрочную задолженность по кредитам, необходимо оценить величину апрельской прибыли.

Я нахожусь в затруднительном положении, подсчитывая и оценивая, какие заказы осуществлять, а какие отложить, поэтому надо сформировать оптимальный план производства. Надеюсь, Ярослав Алексеев сможет мне помочь».

Ярослав был несколько озадачен, получив такое важное поручение в самом начале своей карьеры. Сдержав волнение, он сказал: «Дайте мне данные и день или два времени». Ему предоставили информацию в виде следующих таблиц:

Примечание: По договору с основным поставщиком фирма должна произвести в апреле 600 единиц (катушек) продукта W0007X и 150 единиц продукта W0075C.

Примечание: Объем работы по контролю качества — не проблема, так как можно работать сверхурочно, чтобы приспособиться к любому графику.

Средняя производственная выработка в месяц — 2400 ед.

Среднее использование машинного времени — 63%.

Средний процент посланной на переработку продукции — 5% (большей частью из намоточного отдела).

Задания

1. Проведите детальный анализ проблемы (с построением таблиц, графиков и использованием компьютера).

2. Ответьте на следующие вопросы:

Какие рекомендации должен дать Ярослав Алексеев и с какими обоснованиями?

Есть ли необходимость в использовании временных работников в чертежном отделе?

Следует ли расширять парк машин?

Ситуация 2. Западно-сибирская корпорация «Химикаты и удобрения».

В декабре 2002 г. Василий Маслов, генеральный директор западно-сибирского отделения корпорации «Химикаты и удобрения», получил письмо от Юрия Черноусова из компании «Сибирь-газ». В письме корпорацию уведомляли о новом порядке подачи природного газа. «Сибирьгаз» — поставщик природного газа для корпорации — сообщал о сокращении поставок газа на 40% в течение зимних месяцев. Одобрение Федеральной комиссии по энергетике было уже получено.

При сокращении действуют следующие приоритеты (начиная с самого нежелательного варианта и заканчивая более приемлемым):

1. Отопление жилья и рабочих мест.

2. Коммерческие организации, использующие природный газ в качестве сырья.

3. Коммерческие организации, использующие природный газ в качестве промышленного топлива.

Практически все производство корпорации подпадало под приоритеты 2 и 3, следовательно, сокращение поставок было неминуемым.

Причины сокращения поставок были следующими.

Во-первых, «Сибирьгаз» является частью системы газопроводов, по которым газ поставляется для отопления жилья и рабочих мест на Дальний Восток и в Казахстан. Следовательно, зимой ожидается рост потребления газа. Во-вторых, спрос на природный газ постоянно увеличивается, потому что газ — самое экологически чистое и наиболее эффективное топливо. При его использовании исчезают проблемы с загрязнением окружающей среды, камеры сгорания зафязняются меньше, а компьютеризированный контроль за сжиганием газа проще, чем при других видах топлива. И наконец, добыча газа уменьшается — традиционно низкая цена на газ не стимулирует разработку новых месторождений.

Руководство корпорации «Химикаты и удобрения» знало о возможных сокращениях подачи газа и разрабатывало способы замены газа нефтью и углем. Однако эти исследования все еще находились в стадии разработки, поэтому незамедлительно требовался план для минимизации негативных последствий сокращения поставок газа для группы ее заводов. Федеральная комиссия по энергетике и компания «Сибирьгаз» предоставили самой корпорации право решать, как ей перераспределить поставки между заводами, а Юрий Черноусов из компании «Сибирьгаз» добавил: «Это ваш пирог, и нам все равно, как вы его разделите, если он станет меньше».

Этим «пирогом» стал газ для шести западно-сибирских заводов корпорации «Химикаты и удобрения». Заводы выпускали следующую продукцию, которая требовала значительных затрат газа: фосфорную кислоту, мочевину, фосфат аммония, нитрат аммония, хлор, каустическую соду, мономер винилхлорида, гидрофосфорную кислоту.

Корпорация провела совет технического персонала для того, чтобы обсудить возможные варианты перераспределения газа между производствами в случае сокращения. Целью была минимизация воздействия на прибыль. На этот совет были представлены данные в виде следующей таблицы:

Контракт корпорации с компанией «Сибирьгаз» предусматривал максимальное потребление 36 млн м³ природного газа в неделю для всех шести заводов. Технологически допустимый минимум производства каждого продукта составляет 30% от проектной мощности.

На основе этих данных была предложена модель, которая установила изменения объемов производства при сокращении поставок природного газа. (Изменения основаны на потреблении, предусмотренном контрактом, а не на текущем потреблении.)

Задания

1. Постройте модель и найдите объемы производства при сокращении поставок газа на 20 и 40%.

2. Объясните, какой продукт требует наибольшего внимания с точки зрения энергосбережения.

3. Ответьте на следующие вопросы:

Какие проблемы можно предвидеть, если производство не будет сокращено запланированным образом? Какое влияние окажет сокращение поставок газа на прибыль компании?

Ответы и решения

Ответы на вопросы:

Задача 1. Решение.

Таблица двойственных оценок и границ устойчивости:

Ответы: 1. 75 т. 2. 125 т. 3.200 т. 4. На 11,1 т.

Задача 2. Решение.

Ответы: 1. 70 телевизоров. 3. На 2500 руб.

2. 145 000 руб. 4. Нет, не следует.

Задача 3. Решение.

Ответы: 1. 3000 пар носков. 2. 25 333 руб.

3. Прибыль не увеличится. 4. На 2666 руб.

Задача 4. Решение.

Ответы: 1. 12 000 руб. 2. Восемь столов. 3. Следует.

4. На 500 руб. 5. Не менее чем на 182,5 руб.

Задача 5. Решение.

Ответы: 1. 1700 тыс. руб. 2. 200 мангалов. 3. 200 мангалов.

4. 100 мангалов. 5. Нет, объемы закупок следует изменить.

Задача 6. Решение.

(П — производство; З — запас)

Окончание таблицы

Ответы: 1. 5000 магнитофонов. 2. 2500 магнитофонов.3. 11,452 млн.руб.

Глава 2. Оптимальное смешение

Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач оптимального смешения. Наряду с рассмотренной в главе 1 задачей планирования производства это одна из наиболее известных областей приложения модели линейного программирования. Модели оптимального смешения имеют много общего с моделями оптимального планирования производства. В то же время существуют и некоторые особенности.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:

• смесь;

• ингредиент смеси;

• компонент смеси;

• рецепт смешения.

Модели

Важный класс прикладных оптимизационных задач образуют задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе наилучшего способа смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь должна иметь требуемые свойства, которые определяются количеством компонентов, входящих в состав исходных ингредиентов. Как правило, известны стоимостные характеристики ингредиентов и искомую смесь требуется получить с наименьшими затратами. Для многопродуктовых задач, в которых требуется получить несколько смесей, характерным является критерий максимизации прибыли.

Задачи оптимального смешения встречаются во многих отраслях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая промышленность, фармакология, сельское хозяйство). Примерами задач о смесях могут служить определение кормового рациона скота на животноводческих фермах, составление рецептуры шихты на металлургическом производстве и т.п.

Рассмотрим сначала однопродуктовые модели оптимального смешения.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

х_j — количество j-го ингредиента, входящего в смесь;

а_ij—количество i-го компонента в j-м ингредиенте;

с_j —стоимость единицы j-го ингредиента;

b_i — количество i-го компонента всмеси.

Модель А:

Здесь (1) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(2)— группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(3) — ограничения на неотрицательность переменных.

В задаче могут присутствовать также ограничения на общий объем смеси и ограничения на количество используемых ингредиентов. Эти группы ограничений, а также ограничения (2) характерны для задачи планирования производства, рассмотренной в главе 1.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

w — количество условий, отражающих содержание j-го ингредиента в смеси;

х_j — количество j-го ингредиента, входящего в смесь;

а_ij — доля j-го компонента в j-м ингредиенте;

b_i — минимально допустимая доля i-го компонента в смеси;

с_j — стоимость единицы j-го ингредиента;

d_rj — коэффициент, отражающий r-е условие на содержание j-го ингредиента в смеси.

Модель В:

Здесь (4) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(5) — группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(6) — группа ограничении на содержание ингредиентов в смеси;

(7) — ограничение на количество смеси;

(8) — ограничения на неотрицательность переменных.

Ограничения (5) и (6) отличают задачу смешения от задачи оптимального планирования производства. Заметим, что значения правых частей этих ограничений равны нулю. Вектор х* с компонентами, являющийся решением этой оптимизационной задачи, называют рецептом приготовления смеси или рецептом смешения.

В многопродуктовых задачах ингредиенты используются для приготовления не одной, а нескольких смесей. При этом в качестве переменной x_kj, такой задачи рассматривается количество ингредиента j, используемое для приготовления смеси k. Критерий задачи — максимизация прибыли.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

w — количество условий, отражающих содержание j-го ингредиента в смеси;

s — количество смесей;

х_kj — количество j-го ингредиента, входящего в k-ю смесь;

а_ij — доля i-го компонента в j-м ингредиенте;

b_ik — минимально допустимая доля i-го компонента в k-й смеси;

с_j — стоимость единицы j-го ингредиента;

р_k — стоимость единицы k-й смеси;

d_rkj — коэффициент, отражающий r-е условие на содержание j-го ингредиента в k-й смеси;

и_j — количество имеющегося j-го ингредиента.

МодельС:

Здесь (9) — целевая функция (максимум прибыли);

(10) — группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(11) — группа ограничений на содержание ингредиентов в смеси;

(12) — ограничения на количество ингредиентов;

(13)— ограничения на неотрицательность переменных.

Примеры

Пример 1. Планирование производства на сочинском винзаводе.

Сочинский винзавод производит две марки сухого вина: «Черный лекарь» и «Букет роз». Оптовые цены, по которым реализуется готовая продукция, соответственно 68 и 57 руб. за литр. Ингредиентами для приготовления этих вин являются белое, розовое и красное сухие вина, закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 руб. за литр. В среднем на сочи иски и винзавод поставляется ежедневно 2000 л белого, 2500 л розового и 1200л красного вина.

В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее 60% белого вина и не более 20% красного. Вино «Букет роз» должно содержать не более 60% красного и не менее 15% белого.

Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин «Черный лекарь» и «Букет роз», обеспечивающие заводу максимальную прибыль.

Вопросы:

1. Какую максимальную прибыль можно получить за один день?

2. Сколько литров вина «Черный лекарь» следует производить ежедневно?

3. Сколько процентов белого вина должен содержать «Черный лекарь»?

4. Сколько литров вина «Букет роз» следует производить ежедневно?

5. Сколько процентов розового вина должен содержать «Букет роз»?

6. На сколько возрастет прибыль винзавода, если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день?

7. На сколько уменьшится прибыль винзавода, если поставки белого вина сократятся до 1800 л?

Решение. Пусть x_kj — количество j-го ингредиента (j = 1, 2, 3), входящего в k-ю смесь (k = 1, 2). Например, x₂₃ — количество красного вина, ежедневно используемого для приготовления вина «Букет роз». Тогда модель оптимального смешения имеет следующий вид.

Критерий максимизации прибыли:

(68 - 70)х₁₁ + (68 - 50)x₁₂ + (68 - 40)x₁₃ + (57 - 70)x₂₁ + + (57 - 50)x₂₂ + (57 - 40)x₂₂ ® max.

Ограничения на поставки ингредиентов:

Ограничения, отражающие условия на содержание ингредиентов в смеси:

Последняя группа ограничений может быть преобразована следующим образом:

Кроме того, следует учесть ограничения на неотрицательность переменных.

Используя пакет POMWIN, исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

В следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений:

Таким образом, максимальная ежедневная прибыль винзавода достигает 39 888,9 руб. При этом производится 1526,7 + 1017,8 = 2544,5 л вина «Черный лекарь» и 473,3 + 1482,2 + 1200 = 3155,5 л вина «Букет роз». Поставляемые ингредиенты используются полностью.

Содержание белого вина в вине «Черный лекарь» составляет 1526,7/2544,5 = 0,6 (60%). Содержание розового вина в вине «Букет роз» составляет 1482,2/3155,5 = 0,47 (47%).

Если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 13,3 ограничения на объем поставок красного вина определяем, что прибыль увеличится на 13,3 • 100 = 1330 руб.

Заметим, что объем поставок остается в границах устойчивости решения. Если поставки белого вина сократятся до 1800 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 7,8 ограничения на объем поставок белого вина определяем, что прибыль уменьшится на 7,8 • 200 = 1560 руб. Заметим, что объем поставок белого вина остается в границах устойчивости решения.

Ответы:     1. 39 889,9 руб.     2. 2544,5 л. 3. 60%.

4. 3155,5 л.        5. 47%.       6. На 1330 руб.

7. На 1560 руб.

Вопросы

Вопрос 1. Требуется определить объемы производства четырех видов лакокрасочных изделий. Рецепт производства каждого из них предполагает использование трех ингредиентов: олифы, красителя и белил. Объёмы поставок ингредиентов ограничены. Спрос на готовую продукцию не ограничен. Задача решается с целью максимизировать прибыль от реализации продукции.

Какое минимальное число переменных и ограничений содержит задача оптимального смешения?

Варианты ответов:

1) четыре переменные и три ограничения;

2) три переменные и четыре ограничения;

3) три переменные и двенадцать ограничений;

4) двенадцать переменных и три ограничения;

5) двенадцать переменных и четыре ограничения.

Вопрос 2. Для приготовления вина «Букет Молдавии» используется смесь из белого и красного сухих вин. Белого вина в готовой смеси должно быть не более 30%. Пусть х — количество белого вина, которое следует использовать для приготовления смеси; у — количество красного вина. Тогда условие на содержание ингредиентов в готовой смеси может быть формализовано следующим образом:

Вопрос 3. Для описания результатов, полученных при решении задачи оптимального смешения, может быть использована следующая фраза:

1) использованные для получения смеси компоненты не содержат необходимых ингредиентов;

2) рецепт смешения предполагает использование четырех ингредиентов;

3) для получения смеси надо использовать три компонента;

4) рецепт смешения предполагает использование трех компонентов;

5) рецепт смешения не предполагает использования этого компонента для приготовления смеси.

Вопрос 4. В задаче смешения исходными ингредиентами является бензин марок А, В и С, октановые числа которых 76, 93 и 98 соответственно. Октановое число смеси должно быть не менее 93.

Какое из неравенств правильно формализует это условие, если за х₁, х₂ и х₃ принято предназначенное для смешения количество бензина марки А, В и С соответственно?

Варианты ответов:

1) 76 х₁ + 93 х₂ + 98 х₃ ³ 93;

2) 76 х₁ + 93 х₂ + 98 х₃ £ 93;

3) 5 х₃ – 17 х₁ ³ 0;

4) 17 х₁ – 5 х₃ £ 0;

5) 76 х₁ + 98 х₃ £ 93.

Вопрос 5. Ингредиенты j (j = 1,..., п) используются для приготовления смесей k (k = 1, ..., т). Пусть х_jk — количество j-го ингредиента, входящего в k-ю смесь; с_k — цена, по которой производитель продает готовую k-ю смесь; р_j — цена, по которой закупается j-й ингредиент. Тогда критерии максимизации прибыли в задаче оптимального смешения будет иметь следующий вид:

Задачи

Задача 1. Животноводческая ферма имеет возможность закупать корма четырех видов по различным ценам. В кормах содержатся питательные вещества трех видов, необходимые для кормления коров. Составьте еженедельный рацион кормления коровы, обеспечивающий с минимальными затратами нормы содержания питательных веществ.

Данные, необходимые для составления рациона, приведены в следующей таблице (содержание веществ в кормах указано в килограммах на тонну):

Вопросы:

1. Какое количество корма 1 следует закупить для составления еженедельного рациона кормления коровы?

2. Какое количество корма 4 следует закупить для составления еженедельного рациона кормления коровы?

3. Каков общий вес еженедельного рациона коровы?

4. Каковы минимальные затраты на покупку кормов для еженедельного рациона одной коровы?

5. На сколько возрастут затраты, если еженедельный рацион должен содержать не менее 6 кг вещества А?

6. До какой величины должна возрасти цена на корм 4, чтобы использование этого корма оказалось невыгодным?

Задача 2. В аптеке продаются поливитамины пяти наименований. Каждый поливитамин содержит витамины и вещества, наиболее важные для Павла Кутикова, перенесшего простудное заболевание. Необходимо определить, какие поливитамины и в каком количестве следует принимать Павлу для восстановления нормальной работоспособности. В следующей таблице указано количество витаминов и веществ (в мг), которое должен получить Павел за весь курс лечения, а также данные о содержании витаминов и веществ в поливитаминах (в мг на 1 г) и цены за 1 г поливитаминов (в руб.):

Определите, какие поливитамины следует принимать, чтобы с минимальными затратами пройти курс лечения.

Вопросы:

1. Какое количество поливитамина 4 следует принять?

2. Какое общее количество поливитаминов следует принять?

3. Какова минимальная стоимость курса лечения?

4. До какого значения должна снизиться цена на поливитамин 2, чтобы его следовало включить в курс лечения?

Задача 3. Мощности завода позволяют произвести в текущем месяце ингредиенты для производства удобрений в следующем количестве: 10 т нитратов, 15 т фосфатов и 12 т поташа. В результате смешения этих активных ингредиентов с инертными, запасы которых не ограничены, на заводе могут быть получены четыре типа удобрений.

Удобрение 1 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 5% поташа.

Удобрение 2 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 3 содержит 10% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 4 содержит 10% нитратов, 5% фосфатов и 5% поташа.

Цены на удобрения соответственно 400, 500, 400 и 450 руб. за тонну.

Объем спроса на удобрения практически не ограничен.

Стоимость производства одной тонны нитратов 360 руб., фосфатов 240 руб. и поташа 200 руб.

Инертные ингредиенты закупаются заводом по цене 100 руб. за тонну.

На текущий месяц завод уже заключил контракт на поставку 10 т удобрения 3.

Определите, какие удобрения и в каком количестве следует производить, чтобы в текущем месяце завод получил максимальную прибыль.

Вопросы:

1. Сколько удобрения 1 следует производить?

2. Сколько всего следует производить удобрений?

3. Какова максимальная прибыль?

4. На сколько изменилась бы прибыль, если бы заказчик отказался от контракта на поставку удобрения 3?

Задача 4. На кондитерской фабрике изготовляют два вида продуктов — восточные сладости, для которых используют орехи: миндаль, фундук и арахис. Миндаль фабрика закупает по цене 75 руб. за килограмм, фундук — 60 руб., а арахис — 45 руб. Продукт 1 должен содержать не менее 12% миндаля и не более 18% фундука, продукт 2 — не менее 25% миндаля.

Цены готовых продуктов 1 и 2 соответственно 70 и 65 руб. за килограмм. Ежедневно фабрика получает следующее количество орехов: миндаля — 33 кг, фундука — 80 кг, арахиса — 60 кг.

Вопросы:

1. Какое количество фундука следует использовать при производстве продукта 1?

2. Какое количество продукта 2 следует производить ежедневно, чтобы фабрика получала максимальную прибыль?

3. Каков общий объем ежедневно производимой продукции?

4. Какова максимальная прибыль?

5. На сколько увеличится прибыль, если увеличить закупки миндаля на 5 кг?

Задача 5. Сочинский винзавод производит три марки сухого вина: «Черный лекарь», «Букет роз» и «Белые ночи». Оптовые цены, по которым реализуется готовая продукция, соответственно 68, 57 и 60 руб. за литр. Ингредиентами для приготовления этих вин являются белое, розовое и красное сухие вина, закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 руб. за литр. В среднем на сочинский винзавод поставляется ежедневно 2000 л белого, 2500 л розового и 1200 л красного вина.

В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее 60% белого вина и не более 20% красного. Вино «Букет роз» должно содержать не более 60% красного и не менее 15% белого. Суммарное содержание красного и розового вина в вине «Белые ночи» не должно превышать 90%.

Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин «Черный лекарь» и «Букет роз», обеспечивающие заводу максимальную прибыль.

Вопросы:

1. Какую максимальную прибыль можно получить за один день?

2. Сколько литров вина «Черный лекарь» следует производить ежедневно?

3. Сколько процентов белого вина должен содержать «Черный лекарь»?

4. Сколько литров вина «Букет роз» следует производить ежедневно?

5. Сколько литров вина «Белые ночи» следует производить ежедневно?

6. Сколько процентов розового вина должны содержать «Белые ночи»?

7. На сколько возрастет прибыль винзавода, если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день?

8. На сколько рублей уменьшится прибыль винзавода, если поставки белого вина сократятся до 1800 л в день?

Ситуации

Ситуация 1. Компания «Синьор Помидор».

«Синьор Помидор» — средних размеров компания, занимающаяся производством и реализацией различной продукции высшего качества из овощей и фруктов.

2 сентября 2002 г. Михаил Горский, вице-президент компании «Синьор Помидор», пригласил начальников отдела сбыта, отдела технического контроля и производственного отдела, чтобы обсудить объемы заготовок консервов из помидоров. Закупленный на корню урожай томатов начал поступать на консервный завод, и операции по заготовке консервов должны были начаться в следующий понедельник.

Как только все собрались на совещание, начальник производственного отдела компании Василий Пузиков заявил, что он захватил с собой последние результаты оценки качества поступающих томатов. Согласно этим данным около 20% урожая имеет высшее качество А, а оставшаяся часть от всего урожая в 3 млн кг — качество В.

Горский поинтересовался у Павла Лукина, отвечающего за сбыт, о спросе на продукцию из томатов на следующий год. Лукин заявил, что компания может продать столько томатов в собственном соку, сколько она сможет произвести. В то же время ожидается, что спрос на томатный сок и томатную пасту будет ограничен.

Начальник отдела сбыта предоставил следующий прогноз спроса на продукцию фирмы:

Лукин напомнил собравшимся, что цены на продукты, производимые компанией, были установлены исходя из долгосрочной рыночной стратегии и что прогноз будущих продаж основан на этих ценах.

Владимир Панкратов, начальник отдела технического контроля, ознакомился с оценками спроса, сделанными Павлом Лукиным, и отметил, что с продуктами из томатов у компании «Синьор Помидор» в следующем году проблем, видимо, не будет. Расчеты показывают, что удельная прибыль от производства томатов в собственном соку выше, чем от производства других продуктов из томатов.

Ниже приведены полученные Лукиным результаты расчетов удельной прибыли (в руб.) для всех продуктов,производимыхкомпанией:

Эти расчеты были выполнены сразу после того, как компания подписала контракт на закупку урожая томатов по цене в среднем 0,6 руб. за 1 кг.

Данные о количестве сырья (свежих томатов), необходимого для производства одной упаковки продукции, приведены в следующей таблице:

Василий Пузиков обратил внимание вице-президента на то, что, несмотря на имеющиеся резервы мощностей, нельзя производить только томаты в собственном соку, так как лишь небольшая часть урожая имеет качество А. Компания использует шкалу количественных оценок качества как сырья, так и готовой продукции. Это шкала от 1 до 10, причем наибольший номер соответствует наивысшему качеству. По этой шкале каждый килограмм томатов качества А оценивается в 9 баллов, а томатов качества В — в 5 баллов.

Пузиков напомнил, что минимально допустимый уровень качества готовой продукции — 8 баллов на 1 кг томатов в собственном соку и 6 баллов на 1 кг томатного сока. Томатная паста может производиться целиком из томатов качества В. Это означает, что томатов в собственном соку может быть произведено не более 800 тыс. кг.

Вице-президент заявил, что не считает это реальным ограничением. Недавно компания потерпела неудачу в попытке приобрести 80 тыс. кг томатов качества A по цене 0,85 руб. за 1 кг. Однако, по мнению вице-президента, эти томаты еще можно купить. Лукин, проделавший в это время некоторые расчеты, сказал: «Я согласен с тем, что компанию ожидает благополучие, однако достичь его удастся не за счет продажи консервированных помидоров в собственном соку. Мне представляется, что издержки на закупку должны быть распределены с учетом не только количества, но и качества томатов».

Результаты проведенных им расчетов предельной прибыли одной упаковки продукта (в руб.) приведены ниже:

Из этих результатов следует, что компания должна использовать 2 млн кг томатов качества B для производства томатной пасты. Оставшиеся 400 тыс. кг томатов качества В и все томаты качества А следует использовать для производства томатного сока. Если прогноз спроса на продукцию компании оправдается, то переработка урожая томатов принесет компании 480 тыс. руб.

Пояснения. Пусть z — стоимость закупки 1 кг томатов качества А, у — стоимость закупки 1 кг томатов качества В.

Решая систему двух линейных уравнений

получаем: z = 0,932 руб., у = 0,518 руб.

Задания

1. Структурируйте задачу. Постройте модель.

2. Определите наилучшую производственную стратегию компании.

3. Проанализируйте вариант, который предусматривает возможность приобретения фирмой дополнительно 80 тыс. кг томатов качества А.

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1— 4, 2 — 4, 3—2, 4—3. 5 — 5.

Задача 1. Решение.

Пусть x_j — количество корма j (j = 1, 2, 3, 4) в еженедельном рационе коровы. Используя пакет POMWIN, исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

В следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничении:

Ответы: 1. 31 кг.        2. 104 кг.       3. 191 кг.

4. 29,87 руб. 5. На 4,3 руб. 6. До 106,11 руб. за 1 т.

Задача 2. Решение.

Пусть х_j — количество поливитамина j, которое включено в курс лечения. Исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

В следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений:

Окончание таблицы

Ответы:  1. 9,87 г. 2. 156,4 г. 3. 438,1 руб. 4. До 4,2 руб. за 1 г.

Задача 3. Решение.

Пусть х_j — количество удобрений вида j, которое производит завод в текущем месяце. Зная затраты на производство ингредиентов и цену готового удобрения, определяем прибыль на 1 т удобрения 1:

400 – (0,05–360 + 0,1×240 + 0,05×200 + 0,8×100) = 268 руб.

Другие виды удобрении приносят прибыль соответственно 363, 250 и 312 руб. за тонну.

Исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

В следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений:

Ответы: 1.60т. 2. 163,4т. 3. 51 100 руб. 4. Увеличилась бы на 2000 руб.

Задача 4. Решение.

Пусть x_kj — количество орехов вида j (j = 1,2, 3), которое используется для приготовления продукта k (k = 1, 2).

Прибыль может быть определена как разность между доходом и издержками:

70 (х₁₁ + х₁₂ + х₁₃) + 65 (х₂₁ + х₂₂ + х₂₃) – 75 (х₁₁ + х₂₁) – 60 (х₁₂ + х₂₂) – 45 (х₁₃ + х₂₃).

Исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

Ответы: 1. 15,4 кг. 2. 86,1 кг. 3. 171,8 кг. 4. 1710,5 руб. 5. Прибыль не увеличится.

Задача 5. Решение.

Пусть х_kj—количество j-го ингредиента (j = 1, 2, 3), входящего в k-ю смесь (k = 1, 2, 3). Например, х₃₂ — количество розового вина, ежедневно используемого для приготовления вина «Белые ночи». Тогда модель оптимального смешения имеет следующий вид.

Критерий максимизации прибыли:

Ограничения на поставки интелиентов-

Ограничения на содержание ингредиентов в смеси:

Последняя группа ограничений может быть преобразована следующим образом:

Кроме того, следует учесть ограничения на неотрицательность переменных.

Используя пакет POMWIN, исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

В следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений:

Таким образом, максимальная ежедневная прибыль винзавода достигает 51 880 руб. При этом производится 1716 + 1144 = 2860 л вина «Черный лекарь» и 284 + 1356 + 1200 = 2840 л «Белые ночи». Вино «Букет роз» производить не следует. Поставляемые ингредиенты используются полностью.

Содержание белого вина в вине «Черный лекарь» составляет 1716/2860 = 0,6 (60%). Содержание розового вина в вине «Белые ночи» составляет 1356/2840 = 0,477 (47,7%).

Если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 18,4 ограничения на объем поставок красного вина определяем, что прибыль увеличится на 18,4 • 100 = 1840 руб. Заметим, что объем поставок остается в границах устойчивости решения.

Если поставки белого вина сократятся до 1800 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 4,4 ограничения на объем поставок белого вина определяем, что прибыль уменьшится на 4,4 • 200 = 880 руб. Заметим, что объем поставок белого вина остается в границах устойчивости решения.

Ответы: 1. 51 880 руб.   2. 2860 л.   3. 60%. 4. Вино «Букет роз» производить не следует.

5. 2840 л.          6. 47,7%.    7. На 1840 руб.        8. На 880 руб.

Глава 3. Оптимальный раскрой

Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач раскроя. Эта область приложения модели линейного программирования хорошо изучена. Благодаря работам в области оптимального раскроя основоположника теории линейного программирования лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича задачу оптимального раскроя можно назвать классической прикладной оптимизационной задачей.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:

• материал;

• заготовка;

• отходы;

• способ раскроя (рациональный и оптимальный);

• интенсивность использования рациональных способов раскроя.

Модели

Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосредственное использование таких материалов, как правило, невозможно. Предварительно их разделяют на заготовки необходимых размеров. Это можно сделать, используя различные способы раскроя материала.Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала следует раскраивать, применяя каждый из выбранных способов. Задачи такого типа возникают в металлургии и машиностроении, лесной, лесообрабатывающей, легкой промышленности.

Выделяют два этапа решения задачи оптимального раскроя. На первом этапе определяются рациональные способы раскроя материала, на втором — решается задача линейного программирования для определения интенсивности использования рациональных способов раскроя.

Определение рациональных способов раскроя материала.

В задачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые рациональные (оптимальные по Парето) способы раскроя. Предположим, что из единицы материала можно изготовить заготовки нескольких видов. Способ раскроя единицы материала называется рациональным (оптимальным по Парето), если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.

Пусть k — индекс вида заготовки, k = 1,.... q; i — индекс способа раскроя единицы материала, i = 1,..., р; а_ik — количество (целое число) заготовок вида k, полученных при раскрое единицы материала <-м способом.

Приведенное определение рационального способа раскроя может быть формализовано следующим образом.

Способ раскроя v называется рациональным (оптимальным по Парето), если для любого другого способа раскроя i из соотношений а_ik ³ а_vk , k = 1, ..., q, следуют соотношения а_ik = а_vk, k = 1, ..., q.

2. Определение интенсивности использования рациональных способов раскроя.

Обозначения:

j —индекс материала, j = 1,..., п;

k —индекс вида заготовки, k = 1, ..., q;

i — индекс способа раскроя единицы материала, i = 1,..., р;

а_ijk — количество (целое число) заготовок вида k, полученных при раскрое единицы j-го материала i-м способом;

b_k — число заготовок вида k в комплекте, поставляемом заказчику;

d_j — количество материала j-го вида;

x_ji — количество единицу j-го материала, раскраиваемых по i-му способу (интенсивность использования способа раскроя);

c_ji — величина отхода, полученного при раскрое единицы j-го материала по i-му способу;

у — число комплектов заготовок различного вида, поставляемых заказчику.

Модель А раскроя с минимальным расходом материалов:

Здесь (1) — целевая функция (минимум количества используемых материалов);

(2) — система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;

(3) — условия неотрицательности переменных.

Специфическими для данной области приложения модели линейного программирования являются ограничения (2).

Модель В раскроя с минимальными отходами:



Здесь (4) — целевая функция (минимум отходов при раскрое материалов);

(5) — система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;

(6) — условия неотрицательности переменных.

Модель С раскроя с учетом комплектации:

Здесь (7) — целевая функция (максимум комплектов, включающих заготовки различных видов);

(8) — ограничения по количеству материалов;

(9) — система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для формирования комплектов;

(10) — условия неотрицательности переменных.

Специфическими для данной области приложения модели линейного программирования являются ограничения (9).

Примеры

Пример 1. Способы раскроя металлического стержня.

Определите все рациональные способы раскроя металлического стержня длиной 100 см на заготовки трех типов: длиной 20, 30 и 50 см. Укажите величину отходов для каждого способа.

Решение. Для данного материала и указанных заготовок существует семь различных рациональных способов раскроя. Все они приведены в следующей таблице:

Пример 2. Способы раскроя куска кожи.

Определите все рациональные способы раскроя прямоугольного куска кожи размером 100 х 60 см на квадратные заготовки со сторонами 50,40 и 20 см и укажите величину отходов для каждого способа.

Решение. Для данного материала и указанных заготовок существует шесть различных рациональных способов раскроя:

Пример 3. Изготовление парников из металлических стержней.

При изготовлении парников используется материал в виде металлических стержней длиной 220 см. Этот материал разрезается на стержни длиной 120, 100 и 70 см. Для выполнения заказа требуется изготовить 80 стержней длиной 120 см, 120 стержней длиной 100 см и 102 стержня длиной 70 см.

Вопросы:

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить заказ?

3. Сколько способов раскроя следует использовать при выполнении заказа?

Решение. Определяем все рациональные способы раскроя материала на заготовки. Таких способов оказывается пять:

Используем модель А для одного вида материала. Тогда х_i — количество единиц материала, раскраиваемых по i-му способу.

Для ответа на второй и третий вопросы задачи получаем следующую модель линейного программирования с критерием «минимум общего количества используемого материала»:

Решая задачу, получаем следующий результат:

Ответы: 1. Пять способов. 2. 134 единицы материала. 3. Три из пяти рациональных способов раскроя.

Вопросы

Вопрос 1. Способ раскроя называется рациональным, если:

1) он является безотходным;

2) он обеспечивает минимум отходов;

3) отходы меньше любой из заготовок;

4) он позволяет получить наибольшее число заготовок;

5) нет другого способа, дающего не меньше заготовок каждого типа.

Вопрос 2. Рассматривается задача оптимального раскроя деревянных брусьев на заготовки для строительства дома. Длина брусьев измеряется в сантиметрах. В соответствующей модели линейного программирования неизвестными являются интенсивности рациональных способов раскроя материала, значения которых измеряется в штуках. В качестве критерия рассматривается минимум отходов. В каких единицах измеряется коэффициент целевой функции?

Варианты ответов:

1) шт.; 2) см; 3) шт./см; 4) см/шт.;

5) безразмерная величина.

Вопрос 3. Рассматривается задача оптимального раскроя кожи для пошива перчаток. В соответствующей модели линейного программирования учитывается ограничение на количество материала. Правая часть ограничения измеряется в штуках кожи. Максимизируется количество пар пошитых перчаток. В каких единицах измеряется двойственная оценка ресурсного ограничения?

Варианты ответов:

1) шт.; 2) пара; 3) пара/шт.; 4) шт./пара; 5) безразмерная величина.

Вопрос 4. Сколько существует рациональных способов раскроя металлического стержня длиной 100 см на стержни длиной 50, 20 и 10 см?

Варианты ответов:

1) более десяти;    2) десять; 3) девять;

4) восемь; 5) менее восьми.

Вопрос 5. Какое из следующих утверждений является верным?

Варианты ответов:

1) безотходный способ раскроя является рациональным;

2) безотходный способ раскроя может быть рациональным;

3) безотходный способ раскроя не является рациональным;

4) рациональный способ раскроя является безотходным;

5) рациональный способ раскроя не является безотходным.

Задачи

Задача 1. Из прямоугольного листа железа размером 100 х 60 см необходимо изготовить квадратные заготовки со сторонами 50,40 и 20 см. Эти заготовки нужны в качестве перегородок при изготовлении пластмассовых коробок для хранения инструментов. Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь четыре заготовки со стороной 50 см, шесть заготовок со стороной 40 см и двенадцать — со стороной 20 см. На складе находится 100 листов материала.

Вопросы:

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Какое максимальное количество коробок можно изготовить при условии, что оставшиеся заготовки можно использовать для следующей партии коробок?

3. Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?

4. Сколько листов материала нужно, чтобы изготовить одну коробку?

Задача 2. Существует три рациональных способа раскроя единицы материала А на заготовки трех типов. Эти же заготовки могут быть получены двумя рациональными способами при раскрое единицы материала В. Количество заготовок, получаемых каждым из этих способов, показано в следующей таблице:

Заготовки используются для производства бытовой техники. В комплект поставки входят четыре заготовки первого типа, три заготовки второго типа и семь — третьего типа. На складе имеется 100 единиц материала А и 300 единиц материала В.

Вопросы:

1. Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?

2. Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала в предположении, что оставшиеся заготовки можно использовать при выполнении следующего заказа?

3. Сколько единиц материала А следует раскраивать третьим способом?

4. Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала, если число заготовок второго типа в комплекте увеличится до семи?

Задача 3. При раскрое деталей для производства единственного изделия на швейной фабрике используются два артикула ткани. Ширина ткани 1 м. Изделие собирается из двух деталей, причем каждая из них может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя способами, количество деталей каждого вида, полученных из одного погонного метра ткани, указано в следующей таблице:

Ткани 1 поступает на фабрику в 2 раза больше (по длине), чем ткани 2. Количество готовых изделий должно быть максимальным.

Вопросы:

1. Сколько способов раскроя ткани 1 следует использовать?

2. Какая часть (в %) ткани 1 должна быть раскроена способом 1?

3. На сколько (в %) изменится выход готовых изделий по сравнению с первоначальным, если на фабрику будет поступать равное количество обеих тканей?

Задача 4. На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальны.

Вопросы:

1. Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?

2. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?

3. Какова величина отходов (в см)?

4. Оказалось, что количество стержней длиной 250 см ограничено и равно 200 шт. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать в этом случае?

5. На сколько при этом увеличатся отходы (в см)?

Задача 5. Завод заключил договор на поставку комплектов стержней длиной 18, 23 и 32 см. Причем количество стержней разной длины в комплекте должно быть в соотношении 1:5:3. На сегодняшний день имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?

Вопросы:

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Сколько комплектов стержней будет выпущено?

3. Какова при этом величина отходов (в см)?

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—5, 2 — 4, 3—3, 4—2, 5 — 1.

Задача 1. Решение.

Определим все рациональные способы раскроя прямоугольного листа железа размером 100 х 60 см на квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см.

Получаем шесть рациональных способов раскроя:

Пусть х₁, ..., х₆ — количество единиц материала, раскроенных соответствующим способом, х₇ — количество изготовленных коробок. Тогда ответ на второй вопрос можно получить, используя следующую модель:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Отсюда следует, что из 100 листов железа можно изготовить 20 ящиков. При этом следует использовать два способа раскроя.

Значение двойственной оценки показывает, что при увеличении количества материала на один лист можно дополнительно изготовить 0,2 коробки.

В следующей таблице приведены границы устойчивости:

Учитывая границы устойчивости по ограничению «материал», можно сделать вывод, что для изготовления одной коробки требуется пять листов железа.

Ответы: I. Шесть способов.    2. 20 коробок. 3. Два способа.       4. Пять листов.

Задача 2. Решение.

Заметим, что всего существует пять рациональных способов раскроя.

Пусть х₁, ..., х₅ — количество единиц материала, раскроенных соответствующим способом, х₆ — количество комплектов. Тогда используем следующую модель:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

Используется три рациональных способа раскроя из пяти. Из имеющегося материала можно изготовить 320 комплектов заготовок. Третьим способом следует раскраивать все 100 единиц материала А. Для ответа на последний вопрос задачи увеличим количество заготовок в комплекте с 3 до 7. Получим следующий результат:

Ответы: 1. Три способа. 2. 320 комплектов. 3. 100 единиц. 4. 249 комплектов.

Задача 3. Решение.

Предположим, что на фабрику поступает 100 м ткани 2. Тогда ткани 1 поступает 200 м. Модель оптимального раскроя будет иметь следующий вид:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Предположим, что оба вила ткани поступают в равных количествах. Тогда при условии, что общее количество ткани остается неизменным, получаем следующую модель оптимального раскроя:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Ответы: 1. Два способа. 2.50%. 3. На 9%.

Задача 4. Решение.

Определяем рациональные способы раскроя материала каждого вида на заготовки. Получаем пять способов, показанных в следующей таблице:

Задача минимизации отходов при условии выполнения задания по изготовлению заготовок описывается следующей моделью:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

При условии, что количество материала длиной 250 см ограничено, получаем модифицированную модель:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Ответы: 1. 385 стержней. 2. 0. 3. 3850см. 4. 295 стержней. 5. На 9800 см.

Задача 5. Решение.

Определяем рациональные способы раскроя материала каждого вида на заготовки. Получаем девять способов, показанных в следующей таблице:

Задача максимизации количества комплектов при ограничении на количество используемого материала описывается следующей моделью:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Ответы: 1. Девять способов. 2. 30 комплектов. 3. 250см.

Глава 4. Планирование финансов

Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения некоторых задач планирования финансов. При определенных предположениях становится возможным выбрать такие способы вложения денег под проценты, совокупность которых позволяет минимизировать первоначальный вклад, необходимый для выплаты займа, или максимизировать доход. При решении задач финансового планирования можно учитывать риск и другие факторы, влияющие на выбор способов вложения денег.

После выполнения заданий, предлагаемых в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:

• вклад;

• целевой фонд;

• балансовое ограничение;

• индекс риска по вкладу.

Модели

Модель А минимизации целевого фонда. Предположим, что в определенные моменты времени необходимо выплачивать известные суммы денег по взятому ранее займу. Чтобы накопить эти суммы, можно заранее создать целевой фонд, а средства из этого фонда использовать для срочных вкладов. Каждый срочный вклад характеризуется моментом времени вложения, сроком погашения и доходностью. Задача состоит в том, чтобы определить минимальный размер целевого фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые следует использовать, чтобы сделать выплату по займу. Обозначения:

у — размер целевого фонда, создаваемого в нулевой момент времени;

t — текущий момент времени, t = 0, 1,.... Т;

d_t — размер выплаты по займу, которую надо произвести в момент времени t (t = 1, ..., Т);

j —индекс срочного вклада, j = 1,..., п;

v_j — момент времени вложения по срочному вкладу j;

w_j — срок выплаты по срочному вкладу j;

r_j — доходность срочного вклада j (процент по вкладу);

х_j — объем вложений по срочному вкладу j.

Предполагается, что для любого срочного вклада j момент v_j времени вложения фиксирован. Если по срочному вкладу/сделаны вложения в размере х_j, то через w_j единиц времени вкладчику выплачивается сумма (1 + r_j)х_j. Без ограничения общности можно считать, что для любого момента времени существует такой вклад, выплата по которому производится в следующий момент времени. При этом доходность такого вклада может быть нулевая. Использование вклада с нулевой доходностью означает, что деньги остаются на руках у владельца.

Пусть G_t — множество индексов j, таких, что t= v_j, т.е. по вкладу j сделано вложение в момент времени t, Q_t — множество индексов j, таких, что t = v_j + w_j, т.е. по вкладу j получена выплата в момент времени t.

Заметим, что для любого t множества G_t и Q_t известны.

Тогда модель имеет следующий вид:

Здесь (1) — целевая функция (минимальный размер целевого фонда);

(2) —условие, характеризующее распределение целевого фонда по вкладам в нулевой момент времени;

(3) — соотношения, устанавливающие баланс между выплатами и вложениями;

(4) — условие, обеспечивающее выплату по займу;

(5) — условия неотрицательности переменных.

Модель В максимизации дохода. Предположим теперь, что вкладчик собирается делать вклады для того, чтобы через определенный период времени получить максимальный доход. Задача состоит в том, чтобы определить величину максимального дохода при фиксированном размере целевого фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые следует использовать.

Сохраним принятые ранее обозначения и введем новые:

z — размер дохода, который может получить вкладчик в момент времени Т;

и_t— размер вклада в момент времени t (t = 0, 1,..., Т— 1).

Тогда модель имеет следующий вид:

Здесь (6) — целевая функция (максимальная величина дохода);

(7)   — условие, характеризующее распределение вклада в нулевой момент времени;

(8) — соотношения, устанавливающие баланс между выплатами и вложениями;

(9) — условие, определяющее величину дохода;

(10)—условия неотрицательности переменных.

Примеры

Пример 1. Вложение денег под проценты.

Петр Перфилов — управляющий компанией, которая только что заключила контракт на покупку нового оборудования для консервирования овощей. В соответствии с договором компания должна выплатить поставщику в общей сложности 750 тыс. руб. Причем 150 тыс. руб. необходимо уплатить через два месяца, а остальные 600 тыс. руб. — через шесть месяцев после того, как оборудование будет поставлено и испытано. Петр считает, что сразу после подписания договора следует образовать целевой фонд и использовать эти средства для вложения денег под проценты. Поскольку такие инвестиции породят дополнительную наличность к тому времени, когда придется вносить деньги за оборудование, Петр понимает, что целевой фонд должен быть меньше чем 750 тыс. руб. А вот сколько именно — зависит от имеющихся возможностей инвестирования.

Проанализировав варианты, Петр решил сосредоточиться на 12 возможных способах вложения денег под проценты. Виды вкладов, их продолжительность, возможные сроки вложения и проценты по вкладу приведены в следующей таблице:

Данные о возможностях вложений и возврата денег (в руб.) представлены в следующей таблице:

С учетом этих возможностей необходимо минимизировать размер целевого фонда, обеспечивающего оплату оборудования.

Вопросы:

1. Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты?

2. Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале седьмого месяца (через шесть месяцев)?

3. Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале пятого месяца (через четыре месяца)?

Решение. Введем следующие обозначения:

у — размер целевого фонда;

А_i — размер вклада вида А в месяце i;

B_i — размер вклада вида В в месяце i;

С_i — размер вклада вида С в месяце i;

D_i — размер вклада вида D в месяце i.

Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один месяц, хранить деньги на руках невыгодно. С учетом этого условия задача минимизации целевого фонда может быть описана следующей моделью:

Целевая функция

у ® min

при условиях

Эту модель можно представить в следующей, более наглядной форме:

Проводя вычисления, получаем следующие результаты:

Следующая таблица содержит границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:

Далее приводятся границы устойчивости по правым частям ограничений:

В этой модели особый интерес представляет интерпретация двойственных оценок. Например, двойственная оценка последнего ограничения равна —0,89. Это означает, что для выплаты через полгода одного дополнительного рубля необходимо увеличить размер целевого фонда на 0,89 руб. Таким образом, величина двойственной оценки есть стоимость одного рубля, выплачиваемого через полгода, приведенная к начальному моменту времени.

Ответы: 1.678,93 тыс. руб. 2.0,89руб. 3.0,929руб.

Вопросы

Вопрос 1. Срочный вклад характеризуется:

1) суммой вклада и процентом по вкладу;

2) моментом вложения, сроком погашения, прибылью и процентом по вкладу;

3) размером вклада, моментом вложения, сроком погашения и процентом по вкладу;

4) размером вклада, моментом вложения, сроком погашения, прибылью и процентом по вкладу.

Вопрос 2. Целью модели минимизации целевого фонда является:

1) минимизация целевого фонда, необходимого для накопления определенной суммы;

2) максимизация целевого фонда, необходимого для накопления определенной суммы;

3) минимизация размера срочного вклада, необходимого для накопления определенной суммы;

4) максимизация размера срочного вклада, необходимого для накопления определенной суммы;

5) минимизация целевого фонда, необходимого для получения максимального дохода.

Вопрос 3. Целью модели максимизации дохода является:

1) максимизация целевого фонда, необходимого для получения максимального дохода;

2) минимизация целевого фонда, необходимого для получения максимального дохода;

3) выбор срочного вклада с максимальной доходностью;

4) минимизация дохода при фиксированной величине целевого фонда;

5) максимизация дохода при фиксированной величине целевого фонда.

Задачи

Задача 1. Константин Иванов — управляющий компанией «Золотой колос», специализирующейся на выпуске пива. Компания закупила оборудование для выпуска популярного сорта пива «Двойное золотое». Стоимость оборудования 900 тыс. руб. В соответствии с условиями контракта 200 тыс. руб. необходимо выплатить через два месяца, когда оборудование будет поставлено, а оставшиеся 700 тыс. руб. — через шесть месяцев, когда оборудование будет смонтировано.

Чтобы расплатиться полностью, Константин предполагает тотчас же образовать целевой фонд, который можно использовать для инвестиций. Поскольку такие инвестиции породят дополнительную наличность к тому времени, когда придется вносить деньги за оборудование, Константин знает, что ему следует отложить меньше чем 900 тыс. руб. А вот сколько именно — зависит от имеющихся возможностей инвестирования.

Константин решил сосредоточиться на 12 возможностях инвестирования.

Данные для задачи финансового планирования представлены в следующей таблице:

Для каждого вида вкладов известна экспертная оценка риска задержки выплаты по вкладу.

Составьте модель линейного программирования для определения минимального размера целевого фонда, позволяющего сделать необходимые выплаты.

Вопросы:

1. Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты без учета риска?

2. Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале седьмого месяца (через шесть месяцев)?

3. Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты, если средний риск в каждый момент времени не должен превышать 6?

4. Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?

Задача 2. У Василия Иванова есть 50 тыс. руб., которые можно инвестировать. Необходимо максимизировать денежную наличность к концу шестимесячного периода. Возможные виды инвестиций представлены в следующей таблице:

Для каждого вида вкладов известна экспертная оценка риска задержки выплаты по вкладу.

Составьте модель линейного программирования для определения максимального размера дохода, который может получить Василий Иванов через полгода, использовав имеющиеся у него возможности для вложения 50 тыс. руб.

Вопросы:

1. Каков максимальный размер дохода через полгода?

2. Какой максимальный доход можно получить через полгода от вложения одного рубля в начальный момент времени?

3. Какой максимальный размер дохода можно получить через полгода, если средний риск в каждый момент времени не должен превышать б?

4. Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?

5. В начале четвертого месяца Василий предполагает вложить еще 20 тыс. руб. На сколько возрастет его доход через полгода с учетом риска?

Задача 3. Пять проектов конкурируют за получение инвестиционных фондов компании.

Проект 1 предполагает вложение денег в 2003 г., получение 30% по вкладу в 2004 г. и возврат вложенных средств (без процентов)

в 2005 г.

Проект 2 предполагает вложение денег в 2004 г., получение 30% по вкладу в 2005 г. и возврат вложенных средств (без процентов) в 2006 г.

Проект 3 предполагает вложение денег в 2003 г. и получение 1,75 руб. на один вложенный рубль в 2006 г.

Проект 4 предполагает вложение денег в 2005 г. и получение 1,4 руб. на один вложенный рубль в 2006 г.

Проект 5 предполагает вложение денег в 2003 г. и получение 1,2 руб. на один вложенный рубль в 2005 г.

Максимальная сумма, которая может быть вложена в любой проект, не должна превышать 10 млн руб.

Деньги, полученные в результате инвестиций в один проект, можно реинвестировать в другие проекты.

Компания также может получать 6% годовых по краткосрочному (на один год) банковскому вкладу.

К началу 2003 г. инвестиционный фонд компании составит 20 млн руб. Целью компании является максимизация дохода от инвестиций к 2006 г.

Вопросы:

1. Какова максимальная сумма денег, которую можно получить в 2006 г.?

2. Какую сумму следует вложить во второй проект?

3. В каком году следует вложить деньги в банк под 6% годовых?

4. Какой максимальный доход можно получить в 2006 г., вложив 1 руб. в 2003 г.?

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—4, 2 — 1, 3—5.

Задача 1. Решение.

Пусть у — размер целевого фонда. А_i, B_i, С_i, D_i — размеры вкладов вида А, В, С, D в i-м месяце. Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один месяц, хранить деньги на руках невыгодно. С учетом этого условия задача может быть описана следующей моделью:

Целевая функция

у ® min

при условиях

Представим модель в более наглядной форме:

Решая эту задачу, получаем следующие результаты:

Следующая таблица содержит границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:

Далее приводятся границы устойчивости по правым частям ограничении:

Ограничение, учитывающее риск по вкладам, сделанным в месяце 1, может быть записано следующим образом:

После преобразования система ограничений, учитывающих риск, имеет следующий вид:

С учетом риска получаем модель с 13 переменными и 13 ограничениями:

Решая эту задачу, получаем следующие результаты:

Границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:

Окончание таблицы

Границы устойчивости по правым частям ограничений:

Ответы: 1. 822154 руб. 2. 0,9 руб. 3. 823152 руб. 4. 998 руб.

Задача 2.

Решение.

Пусть z — размер дохода, А_i, В_i, С_i, D_i — размеры вкладов соответствующего вида в i-м месяце. Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один месяц, хранить деньги на руках невыгодно. Без учета риска задача может быть описана следующей моделью:

Целевая функция

z ® max

при условиях

Представим модель в более наглядной форме:

Границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:

Границы устойчивости по правым частям ограничений:

Система ограничений, учитывающих риск, имеет следующий вид:

С учетом риска получаем задачу с 12 переменными и 13 ограничениями. Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

С учетом возможности вложения дополнительных 20 тыс. руб. четвертое ограничение будет иметь вид

Решая модифицированную задачу, получаем следующий результат:

Ответы: 1. 56051 руб. 2. 1,12 руб. 3. 55846 руб. 4. 205руб. 5. 21019 руб.

Задача 3.

Решение.

Пусть х₁, ...,x₅— размер вклада в соответствующий проект, x₆, х₇, x₈ — размер вклада в банк, а x₉ — размер дохода.

Задача описывается с помощью модели линейного программирования:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Ответы: 1. 35,45 млн руб. 2. 3 млн руб. 3. В 2005 г. 4. 1,45 руб.

Глава 5. Транспортная задача

Цели

В данной главе рассматривается задача транспортировки продукта, который в определенных количествах предлагается различными производителями. Известны потребности нескольких потребителей в этом продукте. Требуется определить, от каких производителей и в каких объемах должны получать продукт потребители. Поставки должны осуществляться таким образом, чтобы совокупные издержки на транспортировку продукта были минимальными.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь составлять и использовать для экономического анализа:

• замкнутую и открытую транспортные задачи;

• транспортную задачу с запретами;

• транспортную задачу с фиксированными перевозками;

• транспортную задачу с ограничениями на пропускную способность;

• транспортную задачу с фиксированными доплатами;

• транспортную таблицу.

Модели

Обозначения:

а_i — величина предложения продукта в пункте i (i = 1, ..., n);

b_j — величина спроса на продукт в пункте j (j = 1,..., т);

c_ij — затраты на транспортировку единицы продукта из пункта i в пункт j;

x_ij — количество продукта, перевозимого из пункта i в пункт j.

Модель транспортной задачи:

Здесь (1) — целевая функция (минимум затрат на транспортировку продукта);

(2) — ограничения по величине предложения в каждом пункте производства;

(3) — ограничения по величине спроса в каждом пункте потребления;

(4) — условия неотрицательности объемов перевозок.

1. Замкнутая транспортная задача. Общее предложение равно общему спросу:

Это необходимое и достаточное условие существования допустимого плана задачи (1)—(4).

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1012; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!