ГЛАВА 8. ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД

Измерение скорости света

1. Скорость распространения света в пространстве – одна из важнейших проблем в физике. Её решение оказалось очень плодотворным для понимания физической картины мира. Скорость света в вакууме с – одна из фундаментальных физических постоянных. Огромная роль её в современной физике определяется тем, что она представляет собой предельную скорость распространения любых физических воздействий и инвариантна при переходе от одной системы отсчёта к другой. Никакие сигналы не могут быть переданы со скоростью большей с, а со скоростью с их можно передать лишь в вакууме.

Величина с связывает массу m и полную энергию Е материального тела, Е = mc². Через неё выражаются преобразования координат, скоростей и времени при переходе от одной системы отсчёта к другой. Она входит во многие другие соотношения физики.

При измерении скорости света в веществе стало глубже понимание сложной структуры явления скорости. Было установлено различие между скоростью распространения фазы электромагнитной волны (фазовая скорость) и скоростью распространения энергии (групповая скорость). Только в вакууме эти скорости совпадают. Во всех измерениях скорости света определяется групповая скорость.

2. Измерение скорости света методом Галилея. Впервые идею опытного определения скорости света высказал Галилей в 1638 г. в книге “Беседы и математические доказательства ...”. Два экспериментатора, вооружённые фонарями, становятся на известном расстоянии друг от друга. Когда один из них открывает фонарь, засекая момент времени, другой ждёт с закрытым фонарём. Он открывает его, как только увидит свет первого фонаря. Увидев свет второго фонаря, первый экспериментатор снова засекает время. По мысли Галилея, скорость света найдётся как отношение удвоенного расстояния между наблюдателями к промежутку времени между двумя засечками.

Попытки реализации этой идеи, предпринятые через два десятилетия во Флоренции, показали, что скорость света настолько велика, что измерить её таким путём невозможно. Время реакции человека много больше времени распространения света между наблюдателями в земных условиях. Но заслуга Галилея состоит в том, что он перенёс проблему скорости из формы абстрактного обсуждения (конечна или бесконечна) в форму практического измерения.

3. Астрономический метод Рёмера. В 1610 году с помощью изобретённой им зрительной трубы (труба Галилея, §9) Галилей открыл 4 самых крупных спутника Юпитера. Она назвал их (в порядке удаления от Юпитера) Ио, Европа, Ганимед, Каллисто. В связи с бурным развитием мореплавания появилась идея использовать периодичность восхода и захода этих спутников в качестве точного хронометра.

В 1672 г. астроном Джованни Кассини обнаружил нарушения в периодичности выхода из тени Юпитера его спутника Ио. Причём, с удалением Земли от Юпитера промежутки времени между восходами увеличивались, а с приближением - уменьшались.

В 1676 г., исследуя это явление, Олаф Рёмер высказал мысль, что скорость распространения света конечна. Схема рассуждений Рёмера такова. Когда Земля в своём движении вокруг Солнца удаляется от Юпитера, т.е. идёт от точки В к точке А (рис.213), то промежутки времени между моментами выхода Ио из тени Юпитера увеличиваются, поскольку свету нужно дополнительное время чтобы догнать убегающую Землю.

С приближением Земли ситуация меняется. Промежутки времени между восходами Ио уменьшаются, поскольку каждый последующий световой луч восходящего спутника проходит по сравнению с лучом предыдущего восхода меньшее расстояние.

Пусть Т – период обращения Ио вокруг Юпитера в системе отсчёта Юпитера, Т=42 часа 28 мин; Т_1i – промежутки времени между восходами Ио, измеренные с убегающей Земли; Т_2i – промежутки времени между восходами, измеренные с приближающейся Земли. Промежутки Т_1i и T_2i в течение года изменяются. Их значение зависит от того, в какой точке орбиты находится Земля. За полгода наблюдений с убегающей Земли (движение Земли от В к А) общая сумма промежутков между восходами составляет ,              (26.1)

где N – число заходов за полгода, с – скорость света, D – диаметр орбиты Земли.

Для приближающейся Земли (движения от А к В) .        (26.2)

Вычтя из 1-го уравнения второе, получаем: .                  (26.3)

Для определения знаменателя совсем не обязательно измерять все промежутки времени между моментами восхода в течение года. Достаточно определить лишь разницу во времени между моментами восхода по прогнозу NT и реальным моментом восхода в самой дальней и самой ближней к Юпитеру точках орбиты Земли.

По измерениям Рёмера разница во времени å₁ - å₂ составила около 22 минут. К этому времени (1676 г.) уже утвердилась система мира по Копернику, были освоены законы Кеплера и был вычислен диаметр орбиты Земли D = 3·10¹¹ м. Поэтому Рёмер смог вычислить скорость света, с = 3·10¹¹½22·60 = 2,3·10⁸ м/с.

Из измерений Рёмера следовало, что скорость света имеет гигантское значение по сравнению со скоростью всех остальных процессов, наблюдавшихся на Земле.

4. Астрономический метод аберрации света Брадлея (от лат. аberratio – уклонение). В 1725 г. астроном Джеймс Брадлей предпринял попытку измерить годичный параллакс звёзд, то есть обусловленное вращением Земли кажущееся смещение близких к Земле звёзд на фоне более далёких.

В общем случае кривая параллактического смещения звезды должна выглядеть как уменьшен-ная проекция орбиты Земли на плоскость, перпен-дикулярную к направлению на Звезду (А на рис.214).

Если Звезда лежит в плоскости эклиптики (то есть в плоскости земной орбиты), то в течение года она смещается по прямой (В на рис.214).

В общем случае параллактическое движение звезды происходит по эллипсу, эксцентриситет которого (вытянутость) тем больше, чем ближе к плоскости земной орбиты находится звезда. Большая ось эллипса параллактического смещения параллельна плоскости эклиптики (С на рис.214).

Наблюдая γ – Дракона (примерно 50º к плоскости эклиптики), Брадлей обнаружил, что большая ось эллипса смещения звезды не параллельна, а перпендикулярна плоскости орбиты Земли. Кроме того, размеры эллипса смещения звезды оказались больше ожидаемых (D на рис.214). В 1729 г. Брадлей объяснил это явление, получившее название аберрации света, как результат сложения скорости света, идущего от звезды, со скоростью орбитального движения Земли.

Если труба телескопа расположена на неподвижном небесном теле, то лучи света проходят через объектив телескопа Об и дают дифракционное изображение звезды в фокальной плоскости на оптической оси телескопа в точке F (рис.215-а).

Если телескоп расположен на движущейся Земле, а свет предоставляет собой поток корпускул (в 18 веке господствовала корпускулярная модель света), то пока свет распространяется в трубе телескопа от объектива Об к F, телескоп смещается на некоторое расстояние. В результате изображение звезды сместится из F в F¢. Чтобы изображение звезды вновь оказалось на оптической оси телескопа в точке F, телескоп надо наклонить в сторону движения Земли (рис.215-б).

Когда Земля находится в противоположных точках орбиты, телескоп наклоняется на угол j относительно направления на звезду то в одну сторону, то на такой же угол j в другую сторону. Если измерить угол 2j между максимальными отклонениями телескопа, то скорость света с найдётся из формулы: tgj = vtçct, Þ c = vçtgj.    (26.4)

По измерениям Брадлея максимальный угол j = 20,5². Скорость v орбитального движения Земли была в то время уже известна, v » 30 км/с = 3·10⁴ м/с. Полагая для столь малых углов tgj = j (рад), получаем: c = 3,0∙10⁸ м/с.

Аберрация света обусловлена не фактом движения Земли, а изменением направления скорости этого движения. Если бы Земля равномерно двигалась по прямой, то аберрационные углы всех небесных светил были бы одинаковы и постоянны во времени. Поэтому они не обнаруживали бы себя.

5. Лабораторный метод Физо. Лабораторными называются методы, в которых источник и приёмник света находятся на Земле. Первый лабораторный опыт по измерению скорости света поставил в 1849 г. Ипполит Физо. Он, по сути, реализовал проект Галилея, автоматизировав процесс прерывания светового луча с помощью зубчатого колеса.

Свет от источника S идёт на полупрозрачное зеркало Зк, проходит между зубцами колеса К, отражается от зеркала М, вновь проходит между зубцами и сквозь полупрозрачное зеркало Зк попадает в глаз наблюдателя (рис.216).

Если колесо неподвижно, и свет проходит между зубцами в точке а, то глаз видит свет. При вращении колеса свет виден лишь тогда, когда за время его движения от а к М и обратно колесо успевает повернуться на один или несколько промежутков между зубцами. Так что возвращающийся луч снова попадает в промежуток.

Для измерений оказалось удобнее использовать полное затмение, когда возвращающийся луч попадает на зуб колеса. Если ширина щели равна ширине зубцов, то первое затмение наблюдается тогда, когда за время t = 2Lçc колесо повернётся на ширину зуба. Если Z – число зубцов, то для первого затмения справедливо 2Lçc=1çn ∙2Z, где ν – число оборотов в секунду.

Второе затмение будет наблюдаться при угловой скорости в 3 раза больше, третье затмение – при скорости в 5 раз больше, n-е затмение – при скорости в 2n – 1 раз больше. Поэтому для n-го затмения справедливо равенство , Þ .    (26.5)

В опытах Физо установка имела следующие параметры: L = 8,633 км, Z = 720. Первое затмение наблюдалось при n = 12,6 с^–1. Отсюда скорость с = 4nLZ = 3,13·10⁸ м/с.

Число затмений n ограничивается прочностью механической части конструкции. В последующих опытах разных исследователей число n достигало трёх десятков. Использование для прерываний света вместо колеса ячейки Керра позволило уменьшить расстояние L до 3-х метров (Андерсен, 1937).

6. Лабораторный метод вращающегося зеркала Фуко. Идею вращающегося зеркала высказал Араго в 1838 г. В 1850 г. Леон Фуко реализовал её в своей установке. В 1862 г. с помощью этой установки Фуко измерил скорость света в воздухе (рис.217).

Свет от источника S проходит сквозь полупрозрачное зеркало Зк и линзу Л на вращающееся зеркало R. Отразившись от него, свет идёт на сферическое зеркало М, центр кривизны которого совпадает с осью вращения зеркала R. За время 2L/c, пока свет идёт от R к М и обратно, вращающееся зеркало R успевает повернуться на некоторый угол j. В результате отражённый от зеркала Зк зайчик О переместиться на расстояние l в положение O₁.

Если n – частота вращения зеркала R, то его угол поворота j = ω·t = 2πn ∙(2Lçc). С другой стороны, j = (lçb)/2, где b = SR – расстояние между источником света S и зеркалом R. Двойка в знаменателе здесь появляется потому, что угол поворота луча lçb в два раза больше угла j поворота зеркала. Приравниваем. j = 2pn ∙2Lçc =çlç2b, Þ c = 8pnLbçl.                (26.6)

В опытах Фуко L = 20 м (Реальное расстояние MR составляло 4 м. Оно искусственно увеличивалось за счёт дополнительных зеркал. Поэтому L = 20 м есть эффективное расстояние), n достигало 800 Гц, b = 0,52 м, l = 0,7 мм. Отсюда с = 2,98∙10⁸ м/с.

Последующие опыты по измерению скорости света с, а их было выполнено разными исследователями несколько десятков, главной задачей ставили повышение точности определения величины с. В этом отношении выделяются опыты Майкельсона.

7. Метод вращающегося зеркала Майкельсона представляет собой развитие идеи вращающегося зеркала Фуко. Опыты по определению скорости света Альберт Майкельсон проводил с 1878 по 1931г. Рассмотрим схему последнего из них, начатого в 1926 г. (рис.218).

Эксперимент проводился в Калифорнии. Зеркало D было удалено от зеркала С на расстояние 35373,21 м. (Зеркала находились на горах Вильсон и Сан-Антонио. Определение с такой точностью расстояния между зеркалами само по себе представляет сложную триангуляционную задачу).

Зеркалом R служила восьмигранная стальная призма, вращавшаяся с частотой n. Принципиальным отличием в установке Майкельсона было то, что измерялось не смещение точки О, а подбиралась частота вращения n зеркала R такой, чтобы зайчик О оставался на месте. Это происходило в том случае, когда за время движения света от одной грани зеркала R до другой зеркало успевало повернуться точно на 1/8 оборота и принимало тождественное положение.

Измерения Майкельсона позволили получить самое точное для того времени значение скорости света. При n = 529,702 с^–1 получается с = 16nL = (299796 ± 4) км/с.

8. Измерение скорости света другими методами. После того, как было доказано, что свет – это электромагнитное излучение, появилась возможность измерения скорости света радиофизическими методами. Наиболее развит из них метод стоячих волн в полом цилиндрическом резонаторе. Зная длину волны излучения l, по резонансной частоте n определяется скорость света с = nl. Откачивая из резонатора воздух или заполняя его разными веществами, можно измерить скорость света как в вакууме, так и в разных средах.

Точность измерения величины с такими методами достигла в 70-х годах 20 века 11 знаков. По рекомендации Комиссии обозначений, единиц измерения и терминологии Международного совета теоретической и прикладной физики современное значение скорости света в вакууме принято равным с = (299792458 ± 1) м/с.

9. Роль скорости света в развитии физических теорий. Измерения скорости света сыграло важную роль в развитии физических теорий. В 19 веке они не только выполнили свою прямую задачу, но и дополнительно подтвердили волновую природу света.

В корпускулярной модели Ньютона скорость света в веществе должна быть больше скорости света в вакууме. Скорость световых частиц, переходящих из менее плотной среды более плотную, вследствие гравитационного притяжения более плотной средой должна, по Ньютону, увеличиваться. Поэтому показатель преломления, как видно из рис.219-а, в теории Ньютона есть отношение скорости света v₂ в более плотной среде к скорости света v₁ в менее плотной среде. , n > 1, v₂ > v₁. (26.7)

В волновой теории дело обстоит наоборот. Скорость света в веществе меньше скорости света в вакууме.

Действительно, если на рис.219-б ОА – волновой фронт в менее плотной среде 1 (вакуум), а СВ – волновой фронт в среде 2 (стекло), то луч в стекле пойдёт круче лишь при условии, что отрезок ОС меньше отрезка АВ.

Здесь АВ – расстояние, проходимое световой волной за время t в вакууме, АВ = v₁t. В течение этого времени t точка О волнового фронта ОА генерирует в среде 2 волну, распространяющуюся со скоростью v₂. Отрезок ОС = v₂×t.

Из геометрии рисунка следует , Þ v₁ > v₂. (26.8)

В 1850 г. Леон Фуко сравнил скорость света в воздухе v₁ со скоростью света в воде v₂. Для этого между зеркалами М и R в своей установке (рис.217) он располагал трубу с водой. Торцы трубы закрывались прозрачными стёклами. (Заметим, что первоначально установка была построена именно с целью сравнения скорости света в воде и в воздухе).

Результаты опытов Фуко показали, что скорость света в воде меньше скорости света в воздухе. Отношение скоростей оказалось равным v₁/v₂ = 4/3 = 1,33, что как раз и соответствует показателю преломления воды. Итак, чем оптически плотнее среда, тем меньше в ней скорость света. С максимальной скоростью свет распространяется в вакууме. Это явилось прямым доказательством справедливости волновой модели света.

Оптика движущихся сред

1. Проблема оптики движущихся сред. Вопрос об оптике движущихся тел возник задолго до создания электромагнитной теории света. К моменту, когда была построена волновая теория света, уже были известны некоторые оптические явления в движущихся телах, например, открытая Брадлеем аберрация света. Теория Френеля могла объяснить эти явления лишь на основе каких-то предположений о характере взаимоотношений носителя световых процессов – эфира с движущимися телами. В зависимости от того, увлекается ли эфир движущимися телами, законы оптики движущихся тел будут различны, как различны законы распространения звука в неподвижном воздухе или при наличии ветра.

Открытие электромагнитной природы света не устранило из оптики проблему о движении эфира. Просто механический эфир Френеля сменился электромагнитным эфиром Фарадея-Максвелла. Проблема стала шире. Вопрос об оптике движущихся тел расширился до вопроса об электродинамике движущихся тел.

Уравнения Максвелла не давали ответа на этот вопрос, поскольку обобщали опыт, поученный при наблюдении в системе отсчёта, связанной с Землёй.

2. Эфирная модель света. В 20-х годах 19 столетия трудами Френеля, Юнга, Малюса и других учёных окончательно сложилась эфирная модель света. Хотя сейчас в значительной мере она представляет лишь исторический интерес, без знакомства с нею трудно понять постановку экспериментов и выводы, завершившиеся созданием теории относительности.

В эфирной модели свет понимается как упругие волны в некой среде – светоносном эфире. После открытия поляризационных эффектов стало ясно, что свет есть поперечные волны. А из механики известно, что поперечные волны существуют только в твёрдых телах, модуль сдвига G которых не равен нулю. Скорость поперечной упругой волны определяется выражением , где r - плотность эфира, G – его модуль сдвига.

С самого начала разработки эфирной модели пришлось смириться с противоречивыми свойствами эфира. Так, из поперечности световых волн следует, что эфир подобен твёрдым телам – стали, твёрдым кристаллам и т.д. С другой стороны, он не оказывает никакого тормозящего влияния на движущиеся в нём тела. За века астрономических наблюдений не было замечено торможения планет.

После измерения скорости света Рёмером и Брадлеем стало возможно оценить его плотность r или модуль сдвига G. Если предположить, что модуль сдвига эфира такой же, как у стали (самый большой из известных материалов) G = 2,1∙10¹¹ Па, то r = Gçc² = 2,1∙10¹¹ç(3∙10⁸)² = 2,3∙10^–6 кг/м³. Это примерно в 40000 раз меньше плотности водорода при атмосферном давлении. Итак, с одной стороны, твёрдость стали, с другой – сверхлёгкость, отсутствие сопротивления движению тел.

Все эти противоречия тормозили признание волновой модели света. Но успехи этой модели в объяснении оптических явлений оказались столь значительными, что в середине 19 века толкование оптических явлений в рамках концепции светоносного эфира стало общепринятым. А сам эфир превратился в умах исследователей из конкретной материальной среды в удобную физическую модель с некоторым набором свойств.

3. Френелевская теория увлечения эфира. К середине 19 в. сложились три точки зрения на отношение эфира к движению тел: а. Эфир полностью увлекается движущимися телами; б. Эфир совершенно не увлекается движущимися телами (абсолютный эфир); в. Эфир увлекается движущимися телами частично.

В 1818 г. в поддержку последней гипотезы высказался Френель, который вывел формулу для вычисления коэффициента увлечения. Схема его рассуждений примерно такова. Эфир не обтекает движущиеся в нём тела, а проходит сквозь них. Показатель преломления оптически прозрачного вещества по отношению к вакууму есть отношение скорости света в вакууме к скорости света в веществе, .                    (27.1)

Здесь r - плотность светоносного эфира в вакууме, r₁ – плотность эфира в веществе. Френель полагал, что модуль сдвига G не зависит от плотности эфира и одинаков как вакууме, так и в веществе.

Итак, показатель преломления вещества n тем больше, чем больше в нём плотность r₁ светоносного эфира.

При движении тела эфир, входя в него, должен уплотняться. Пусть в эфире движется цилиндр сечением S вдоль своей оси со скоростью v (рис.220).Через основание цилиндра за единицу времени внутрь него проникает объём эфира V = v∙S с массой m = rvS.

Внутри тела плотность эфира возрастает и становится равной r₁. Поэтому вошедшая масса эфира внутри тела должна перемещаться с меньшей скоростью v₁, которая находится из условия: rvS = r₁v₁S. Отсюда , где .               (27.2)

Поскольку свет – это процесс распространения упругих волн в эфире, то к нему применимо правило сложения скоростей Галилея.

Если свет распространяется в направлении движения тела, то скорость его внутри тела по отношению к телу есть с₁ – v₁ (эфир движется навстречу свету), а по отношению к внешним телам есть .             (27.3)

Выражение  называют коэффициентом увлечения Френеля.

Если свет распространяется навстречу движению тела, то наблюдаемая скорость света должна быть равной .                      (27.4)

Итак, в теории Френеля все движущиеся со скоростью v тела пронизываются эфиром и частично увлекают его. Скорость увлечения эфира составляет v(1 – 1/n²) = c v. Чем больше показатель преломления вещества n, тем ближе к единице его коэффициент увлечения c.

4. Измерение коэффициента увлечения в опытах Физо. В 1851 г. Ипполит Физо впервые поставил опыт с целью ответить на вопрос: действительно ли светоносный эфир увлекается движущимися телами. Схема установки Физо показан на рис.221.

Расходящийся из щели S пучок света проходит сквозь полупрозрачную пластинку Р, диафрагму D и падает на линзу Л₁, которая преобразует его в параллельный.

Через оптические окна в правых торцах трубки два луча идут вдоль по трубам с текущей водой. Верхний луч идёт по течению воды, нижний – против. Пройдя трубы оба луча фокусируются линзой Л₂ на зеркале М. Луч 1, который шёл до зеркала М по верхней трубе, после отражения от зеркала М идёт по нижней трубе. Луч 2, который до зеркала М шёл по нижней трубе, после зеркала М идёт по верхней. Луч 1 идёт всё время по течению воды, луч 2 -против. То, что лучи идут через одни и те же точки среды, позволяет устранить помехи от завихрений воды, локального изменения температуры и др.

Вышедшие через правые торцы лучи отражаются от полупрозрачной пластинки Р и в фокусе линзы О дают интерференционную картину. Если эфир увлекается движущейся водой, то изменение скорости течения воды в трубах должно проявиться в смещении интерференционных полос. По его величине можно вычислить коэффициент увлечения c.

Луч 1, идущий по течению воды, проходит расстояние 2L (L – длина трубы) за время t₁ = 2Lç(c₁ + cv), где с₁ – скорость света относительно воды, с₁ = сçn, а v – скорость течения воды. Луч 2, идущий против течения, это же расстояние пройдёт за время t₂ = 2Lç(c₁–cv).

Оба луча, приходящие в точку О, приобретают разность хода, возникающую вследствие течения воды. Интерференционная картина, установившаяся в точке О при неподвижной воде, при включении течения воды должна сместиться на некоторое число N интерференционных полос . (27.5)

Слагаемое c²v² в знаменателе много меньше . Поэтому в знаменателе им можно пренебречь. Разрешив выражение относительно c, получаем:     (27.5)

Установка Физо имела следующие параметры: длина трубок L = 1487 мм, их диаметр 5,3 мм, скорость течения воды v = 0¸7,069 м/с. Смещение полос составило N = 0,23 при максимальной скорости. Отсюда c = 589×10^–9×3×10⁸×0,23ç4×1,487×7,069×(1,333)² = 0,54.

Интерференционная картина в опытах Физо смещалась не более четверти полосы (N = 0,23). При слабой контрастности интерференционной картины (мала интенсивность пучков) невозможно измерить смещение полос точнее одного знака, то есть N » 0,2. Поэтому результаты опытов Физо не позволили проверить формулу Френеля для коэффициента увлечения c = 1 – 1çn². Однако эти опыты Физо показали, что эфир частично увлекается водой.

5. Опыты Майкельсона и Морли. В 1878 г. Альберт Майкельсон и Эдвард Морли повторили опыты по схеме Физо на улучшенной установке. Модернизация свелась, в основном, к увеличению освещённости интерференционной картины.

В установке Физо “в дело” шла очень малая часть света, вырезаемая диафрагмой D (рис.221). Примерно половина его отражалась на зеркале Р при падении лучей справа, и половина оставшейся половины приходила в точку О.

В установке Майкельсона и Морли весь свет, излучаемый газовой горелкой S, шёл “в дело” (рис.222). В результате наблюдались контрастные интерферен-ционные полосы, позволившие надёжно измерить их смещение.

Измерения и вычисления показали, что коэффициент увлечения эфира водой составляет 7ç16. Так как показатель преломления воды n = 1,333 = 4ç3, то c = 1 – 1çn² = 1 – 9ç16 = 7ç16. Таким образом, опыты показали справедливость формулы коэффициента увлечения Френеля,   c = 1 – 1çn².

Параметры установки были примерно такие же, как у Физо: L = 1,5 м, v = 7 м/с.

6. Опыт Майкельсона по измерению скорости эфирного ветра. Все оптические явления в движущихся телах можно разделить на две группы. Первая – тела двигаются относительно наблюдателя, вторая - наблюдатель двигается относительно эфира.

К опытам 1-й группы принадлежат рассмотренные опыты по схеме Физо.

В 1881 г. Альберт Майкельсон поставил опыт второй группы, когда наблюдатель вместе с Землёй движется относительно неподвижного эфира. Для этого Майкельсон специально придумал двухлучевой интерферометр, который устанавливался на горизонтальной свободно вращающейся плите. (Интерферометр описан в §11).

Идея опыта состоит в следующем. Если вначале интерферометр направляется одним плечом вдоль вектора v орбитальной скорости движения Земли, а затем поворачивается на 90º и направляется другим плечом, то при наличии эфирного ветра интерференционная картина должна смещаться.

Пусть плечо А перпендикулярно к скорости эфирного ветра v (рис.223). Движение упругой световой волны в эфире, относительно которого движется Земля, будет происходить не по пути 2L, а по ломаной S₁AS₂ (рис.224). Время движения t₁ светового импульса от точки S₁ пластинки P₁ до зеркала А и обратно найдётся из условия:

, Þ .                   (27.6)

Или .           (27.7)

Здесь с – скорость света в вакууме. Скорость эфирного ветра υ не может быть больше скорости орбитального движения Земли 30 км/с. Поэтому v << c.

Время t распространения световой волны в направлении скорости v от точки S₁ до зеркала В и обратно равно .         (27.8)

Разность времён, обусловленная движением прибора вместе с Землёй относительно эфира, равна .                    (27.9)

При повороте прибора на 90° эта разность меняет знак, поэтому суммарная разность хода между лучами в двух положениях прибора составляет D = 2с∙Dt = 2Lv²çc². Количество N сместившихся при повороте полос есть N = Dçl = (2Lçl)∙(v²çc²).                        (27.10)

Чтобы сделать смещение полос более заметным, в последующих опытах путь луча L увеличивался за счёт многократных отражений до 11 ¸ 32 м.

Опыт Майкельсона многократно повторялся позднее со многими улучшениями, пока окончательно не стало ясно, что никакого смещения интерференционных полос, обусловленного движением Земли относительно эфира, не наблюдается. Никакого эфирного ветра нет. Отрицательный результат опыта Майкельсона создаёт противоречивую ситуацию. Раз эфирного ветра нет, то это значит, что эфир полностью увлекается Землёй. А из опытов Физо следует, что внутренний эфир увлекается телами частично. Итак, внешний эфир увлекается телами полностью, внутренний – частично.

7. Трудности классической физики в толковании опытов Физо и Майкельсона. В 80-х годах 19 в. после опытов Герца стало ясно, что свет – это максвелловские электромагнитные волны, для распространения которых не нужен никакой эфир. Быстрее всего эти волны распространяются в вакууме, а всякое вещество тормозит распространение волн тем сильнее, чем больше его диэлектрическая проницаемость.

Чтобы объяснить парадоксы в оптике, нужно было уяснить законы протекания электромагнитных процессов в системе не только покоящихся, но и движущихся тел. Было преложено два способа построения электродинамики движущихся тел – гипотеза Герца и гипотеза Лоренца.

а. Гипотеза Герца исходила из двух следующих принципов:

- инерциальные системы отсчёта равноправны не только для механических, но и для электромагнитных явлений (расширил принцип относительности);

- преобразование уравнений электродинамики при переходе от одной ИСО к другой осуществляется с помощью правил Галилея (сохранил преобразования Галилея.)

Однако такая электродинамика противоречила опыту Физо. Ведь согласно правилу сложения скоростей Галилея, скорость света в воде для наблюдателя, движущегося вместе с водой, есть .                                                                   (27.11)

Получается, что скорость света относительно воды зависит от скорости её течения v. Но согласно расширенному принципу относительности она должна быть во всех системах отсчёта одинаковой, равной сçn и не зависящей от скорости их движения.

б. Гипотеза Лоренца также была построена на двух принципах:

- существует система отсчёта (т.н. система неподвижных звёзд), преимущественная среди прочих ИСО тем, что эфир покоится только в ней;

- при переходе от одной ИСО к другой сохраняются преобразования Галилея.

Лоренц отказался от принципа относительности. Но его идея абсолютной системы отсчёта противоречила результатам опыта Майкельсона.

Проблему решил Эйнштейн. Он отказался от преобразований Галилея, при этом не только сохранив, но и усилив принцип относительности.

Теория относительности

1. Постулаты теории относительности. В 1905 г. Эйнштейн сформулировал два постулата, выделенные им как бесспорные следствия из всего накопленного опыта.

а. Все явления природы в инерциальных системах отсчёта протекают тождественно;

б. Скорость света в пустоте постоянна и не зависит от скорости движения источника.

Первый постулат называют специальным принципом относительности. По сравнению с принципом относительности Галилея он гораздо сильнее, поскольку устанавливает тождественность протекания в инерциальных системах не только механических, но всех возможных в природе физических процессов.

Эйнштейн показал, что для установления метрики пространства и времени в данной системе отсчёта кроме правил измерения длин и времени в данной точке пространства нужно дать ещё определение одновременности в разных точках. Как средство для её определения Эйнштейн берёт световой сигнал. Часы в точке А, по определению, синхронны с часами в точке В, если световой сигнал, выпущенный из А в момент времени t₁(А) и вернувшийся после отражения в точку А после отражения в В в момент t₂(A), отразился в точке В в момент t(B) = [t₁(A) + t₂(A)]ç2. Отсюда следует, что события могут быть одновременными в разных точках не вообще, а в определённой системе отсчёта с установленной метрикой пространства - времени.

2. Преобразования Лоренца. Эйнштейн показал, что преобразования, введённые Лоренцем в его электродинамике и рассматривавшиеся им как формально – вычислительный приём, имеют на само деле универсальное значение и являются реальными преобразованиями пространственных и временных отсчётов при переходе от одной системы отсчёта к другой. Они вытекают из основных постулатов теории относительности.

Пусть в инерциальной системе отсчёта К есть точка М с координатами x, y, z. Время в этой точке в системе К есть t.

Относительно системы К прямолинейно и равномерно вдоль осей ОХ и О¢Х¢ движется система К¢ со скоростью v (рис.225).

Формулы перехода от пространственно – временных координат в системе К к координатам в системе К¢ и обратно (преобразования Лоренца) имеют вид:

Из К в К´: , y´ = y, z´ = z, . (28.1-а)

Из К´ в К: , y = y´, z = z´, . (28.1-б)

Здесь β =v/с. В теории Эйнштейна оба времени t и t¢ рассматриваются как объективные физические реальности, присущие определённым системам отсчёта. Пространственные и временные промежутки теряют абсолютность, которая присуща им в ньютоновом пространстве – времени.

3. Изменение временных интервалов. Пусть в системе К в определённой точке М с координатами x, y, z последовательно в моменты времени t₁ и t₂ происходят две вспышки. Промежуток времени между ними Dt = t₂ – t₁. Вопрос: какой интервал времени Dt¢ пройдёт между вспышками в системе К’? Из преобразований Лоренца (28.18-а) имеем:

.    Отсюда . (28.2)

В любой системе К¢, движущейся относительно К с некоторой скоростью v, время Δt¢ > Δt (релятивистский корень в знаменателе меньше единицы). Следовательно, продолжительность физического явления минимальна в собственной системе отсчёта.

Если физический объект, в котором протекает процесс, движется относительно наблюдателя с некоторой скоростью v, то продолжительность процесса по часам наблюдателя в  раз больше продолжительности процесса в собственной системе отсчёта объекта. Например, время жизни нестабильных элементарных частиц в лабораторной системе отсчёта тем больше, чем с большей скоростью они движутся относительно лаборатории.

4. Сокращение размеров движущихся тел. Пусть в системе К' вдоль оси О'Х' покоится стержень длиной l' = x'₂ – x'₁, где x'₁ и x'₂ – координаты концов стержня, измеренные в системе К'. Вопрос: какова длина l и координаты концов этого стержня в системе К, измеренные в момент времени t? Из преобразований Лоренца (28.1а)

. Отсюда: .    (28.3)

В системе отсчёта, относительно которой стержень движется, длина его меньше по сравнению с той системой, где он покоится. Максимальную длину стержень имеет в собственной системе отсчёта.

5. Преобразование скоростей в теории относительности. Пусть относительно системы К' тело движется со скоростью u' = dx'çdt'.

Вопрос: с какой скоростью движется это тело в системе К?

Очевидно, u = dxçdt = (dxçdt')ç(dtçdt'). Вычислим производные из преобразований Лоренца (28.1-б). , .

Подставляем и получим ,   ,                          (28.3)

Рассмотрим частные случаи.

а. Пусть в системе К´ распространяется световой сигнал со скоростью u´ = c. Скорость этого сигнала в системе К есть .

Скорость света во всех ИСО одинакова и равна с.

б. Пусть система К´ движется со скоростью v = с, и в ней в направлении движения испускается свет со скоростью u´ = c. Скорость светового импульса в системе К есть

.

Скорость света во всех ИСО одинакова и не зависит от скорости движения ИСО. Преобразования скоростей удовлетворяют второму постулату Эйнштейна.

6. Толкование теорией относительности опыта Физо. Если свет распространяется в оптической среде с показателем преломления n, и эта среда покоится в системе отсчёта К’, то скорость света в К’ есть u´ = cçn.

В опытах Физо К' - это система отсчёта, связанная с водой. Поэтому u´ = c/n – это скорость света относительно воды.

Скорость света в системе К, относительно которой К´ (вода) движется со скоростью v, есть .                            (28.4)

Последнее слагаемое много меньше предыдущих. Действительно, при n = 1,33, v = 7 м/с, получаем из (28.4): u = 2,25×10⁸ – 3,94 + 7 – 1,2×10^–7. Если последним слагаемым пренебречь, то формула принимает вид: .                                     (28.5)

Именно такую зависимость показали опыты по схеме Физо.

7. Толкование теорией относительности отсутствие эфирного ветра в опытах Майкельсона. Как следовало из рассуждений Майкельсона, время t₂ распространения светового импульса в плече, ориентированном вдоль скорости орбитального движения Земли (формула 27.8), больше времени t₁ распространения света в плече поперёк скорости (формула 27.7).

Но если учесть релятивистское сокращение толщины слоя эфира в продольном плече, то путь светового импульса будет не 2L, а . Тогда время t₂ распространения света в продольном луче определяется не формулой (27.8), а формулой:

.                                                  (28.6)

Используя t₁ из формулы (27.7), получаем разность времён

.                         (28.7)

Количество N сместившихся при повороте полос (формула 27.10) принимает вид:

.                                                                               (28.8)

Орбитальная скорость Земли v = 3×10⁸ м/с, l = 589×10^–9 м, L = 11 м. Отсюда N = 2∙11 (3∙10⁴ç3∙10⁸)⁴ç589∙10^–9 = 3·10^–9. Смещение интерференционной полосы на одну миллиардную её ширины вряд ли когда-либо удастся измерить.

8. Эффект Допплера. В 1842 г. Кристиан Допплер теоретически обосновал зависимость частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем, от скорости и направления движения наблюдателя относительно источника колебаний или источника относительно наблюдателя.

Применительно к звуковым волнам, при относительном движении источника и приёмника звука вдоль соединяющей их прямой частота ν регистрируемого приёмником звука связана с частотой n₀ источника соотношением:

. Акустическая формула Допплера, 1842                (28.9)

Здесь v – скорость звука в среде, u_и, u_п – скорость движения относительно среды источника и приёмника. Верхний знак в формуле соответствует сближению источника с приёмником, нижний – их взаимному удалению.

В оптике ситуация отличается. С упразднением абсолютного эфира исчезла та система отсчёта, относительно которой можно было измерять скорости источника и приёмника. Поэтому из трёх скоростей в акустической формуле v, u_и, u_п в оптической формуле Допплера остаются лишь две. Это скорость света с и скорость сближения (или удаления) источника и приёмника. А сама формула принимает вид:

.       Оптическая формула продольного эффекта Допплера   (28.10)

Здесь β = vçс. Верхний знак соответствует сближению, нижний – удалению.

Из теории относительности следует, что кроме продольного эффекта в оптике должен наблюдаться поперечный эффект. Если наблюдатель неподвижен, а вокруг него движется по окружности источник, излучающий волну с частотой n₀, то воспринимаемая наблюдателем частота определяется формулой:

.      Оптическая формула поперечного эффекта Допплера   (28.11)

Если продольный эффект Допплера определяется, в основном, тем, что изменяется число волн, укладывающихся на пути распространения между источником и приёмником, то поперечный эффект обусловлен разным ходом времени в системах отсчёта источника и наблюдателя. Поперечный эффект является эффектом второго порядка малости, поэтому наблюдать его труднее, чем продольный.

9. Опыты Белопольского. Первым экспериментально исследовал в лаборатории продольный эффект Допплера Аристах Белопольский в 1900 г. Для усиления эффекта Белопольский увеличил скорость движения источника за счёт многократного отражения от движущихся зеркал.

Схема установки показана на рис.226. Зеркалами являлись радиальные лопасти двух колёс, вращающихся в противоположных направлениях. Между зеркалами помещался источник света S. Расстояние от источника света S по ходу движения луча до трубы спектрографа составляет x + 2nx + a, где x = SN = SM, n – число отражений, а – расстояние от колеса N до трубы спектрографа T.

При сближении или удалении зеркал с линейной скоростью v расстояние от источника S до спектрографа Т изменяется со скоростью

.     (28.12)

Максимальная скорость сближения, достигнутая Белопольским, составляла 2nv = 670 м/с. Результаты опытов с точностью до 5% соответствовали формуле (28.10).

10. Поперечный эффект был подтверждён экспериментально лишь в 1938 г. в опытах с каналовыми лучами. Измерялась частота излучения атомов водорода, двигавшихся со скоростью около 2000 км/с. Смещение спектральных линий в спектрографе было около 0,00011 нм.

Заметим, что в отличие от продольного эффекта изменение частоты в поперечном эффекте происходит всегда в длинноволновую область спектра. Это чисто релятивистский эффект.

11. Применение эффекта Допплера наиболее плодотворно в астрофизике для определения скоростей движения светил вдоль луча (лучевые скорости), для изучения тесных двойных звёзд, для определения скоростей вращения Солнца и планет.

По допплеровскому уширению спектральных линий методами спектроскопии определяются тепловые скорости движения атомов и ионов в светящихся газах небесных тел, а по их значениям - температуры этих тел.

12. Релятивистская механика. Релятивистскими называются физические явления, протекающие в движущихся системах отсчёта, скорость движения υ которых соизмерима со скоростью света с в вакууме. Требование инвариантности энергии и импульса тел по отношению к преобразованиям Лоренца приводит к изменению выражений этих величин. Приведём без обсуждения несколько формул.

а. Релятивистская масса ,                                                         (28.13)

где m₀ – масса покоя (т.е. масса тел в ИСО, связанной с самим телом);

б. Энергия покоя E₀ = m₀c²;                                                                               (28.14)

в. Релятивистская энергия Е = mc²;                                                               (28.15)

г. Релятивистская кинетическая энергия

;                                                                   (28.16)

д. Релятивистский импульс .                                           (28.17)

Все эти выражения при малых скоростях, когда vçс → 0, переходят в формулы классической механики.

ГЛАВА 9. КВАНТОВАЯ ОПТИКА

Тепловое излучение

1. Квантованность энергии. К концу 19 в. основанная на уравнениях Максвелла классическая электродинамика добилась больших успехов. Выяснилось, что – свет электромагнитные волны. Поэтому упразднилась эфирная гипотеза, а волновые свойства света стали вытекать из свойств электромагнитной волны. Законами электродинамики объяснились интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия, рассеяние света.

Но к началу 20 в. выяснилось, что классическая электродинамика не может объяснить процессы испускания и поглощения света. Пытаясь объяснить связанные с этими процессами явления теплового излучения, фотоэффекта, спектральные закономерности и другие, Планк и Эйнштейн открыли свойство дискретности энергии испускаемого и поглощаемого излучения. В физику приходит идея дробности, квантованности энергии взаимодействия между объектами. Эта идея квантов оказалась очень плодотворной. Она существенно расширила и углубила физическую картину мира.

2. Тепловое излучение. Все случаи испускания света делятся на две группы.

а. Тепловое излучение. Оно испускается телами по причине их нагретости. Его испускают все тела выше абсолютного нуля.

б. Люминесцентное излучение. Оно не зависит так однозначно от температуры и может происходить в принципе и при абсолютном нуле.

Основное отличие этих видов излучения друг от друга в том, что тепловое излучение равновесно, а люминесцентное не равновесно.

Равновесность теплового излучения означает, что если нагретое тело поместить в замкнутую полость с идеально зеркальными стенками, то возвращаемая стенками энергия ЭМ волны будет поддерживать излучение и температуру нагретого тела сколь угодно долго.

Если же в полость с зеркальными стенками поместить люминесцирующее тело, то со временем процесс люминесцентного свечения иссякнет, хотя температура тела может повыситься. Например, поглощение гниющим деревом излучённых им в процессе хемилюминесценции ЭМ волны не приводит к восстановлению его органической ткани. Люминесцентное излучение прекратиться, как только израсходуется запасённая в ткани химическая энергия.

3. Спектральные величины. Они используются для описания процессов излучения и поглощения света. Таких величин две.

а. Спектральная светимость R_l связана с интегральной (полной) светимостью R соотношением: dR = R_ldl, или .                                                           (29.1)

Здесь R – полная светимость, то есть энергия излучения всех длин волн с единичной площадки в полупространстве. Единица R Вт/м².

Спектральная светимость R_l определяется отношением приращения светимости dR к ширине интервала длин волн dl, на котором это приращение произошло, R_l = dRçdl. Единица R_l Вт/м³.

б. Спектральный коэффициент поглощенияa_l есть отношение поглощённого потока Ф_погл излучения с длиной волны l в узком интервале длин волн dl к падающему потоку Ф_пад.              .                                                                  (29.2)

Т.е, величина a_l есть коэффициент поглощения света определённой длины волны l.

4. Модель абсолютно чёрного тела (АЧТ). Это понятие ввёл в 1859 Густав Кирхгоф для обозначения воображаемого тела, полностью поглощающего весь падающий на него свет независимо от длины волны. Для АЧТ   а_l= 1 во всём интервале длин волн 0≤ l ≤∞.

АЧТ – это идеализация, модель, аналогичная материальной точке, абсолютно твёрдому телу и др.

Наилучшим практическим приближением к АЧТ является почти замкнутый сосуд с малым отверстием и непрозрачными стенками, имеющими одинаковую температуру во всех точках. Например, полый шар с малым отверстием, смещённым от центра к периферии (рис.227).

Луч, попавший в полость через отверстие, многократно отражается и при каждом отражении частично поглощается стенками полости. После нескольких отражений он поглощается практически полностью. В результате наружу данный луч не выходит. Это отверстие в стенке полости и есть модель поверхности АЧТ.

5. Законы теплового излучения. Их три.

а. Закон Кирхгофа, 1859 г. Отношение спектральной светимости R_λ любого тела к его спектральному коэффициенту поглощения а_l не зависит от природы тел и есть универсальная для всех тел функция длины волны l и температуры Т.

.  Закон Кирхгофа, 1859 г.                        (29.3)

Так как коэффициент поглощения АЧТ а_l = 1, то закон Кирхгофа можно сформулировать ещё так: отношение спектральной светимости к коэффициенту поглощения любого тела равно спектральной светимости r_lTАЧТ.

Из закона Кирхгофа следует, что чем хуже поглощает тело электромагнитное излучение, тем меньше энергии излучает это тело по сравнению с АЧТ, имеющим ту же температуру. Все реальные тела в отличие от АЧТ называются в теории теплового излучения нечёрными. Для них а_l < 1.

У разных тел функция а_l имеет разный вид. Так как R_l = a_l r_lT, то это значит, что спектральный состав теплового излучения разных тел, имеющих одинаковую температуру, отличается между собой.

Если а_l тела постоянно во всём диапазоне 0≤l ≤∞, тело называется серым. Хотя серое тело излучает меньше энергии, чем АЧТ с той же температурой, спектральный состав их излучений одинаков (рис.228).

Свойство тел иметь отличное от АЧТ распределение интенсивности излучения по спектру (то есть по l) называется селективностью. У селективных излучателей коэффициент а_l меняется с изменением длины волны l. Вольфрам, например, имеет заметную селективность в видимой части спектра 400≤l≤800 нм. Максимум его излучения сдвинут в сторону более коротких длин волн. Поэтому вольфрам выгодно использовать в лампах накаливания.

б. Закон Стефана – Больцмана, 1884. В 1879 г. Йозеф Стефан экспериментально установил, что полная энергия, излучаемая нагретым телом, пропорциональна 4-й степени его абсолютной температуры.

Однако, при последующих измерениях выяснилось, что реальные тела не следуют точно этому закону. В 1884 г. Людвиг Больцман теоретически показал, что закон Стефана справедлив только для АЧТ. .       Закон Стефана – Больцмана (29.4)

Коэффициент σ называют постоянной Стефана – Больцмана. Из опыта найдено σ = 5,67×10^–8 Вт/(м²×К⁴).

Для нечёрных тел в общем случае R = АσТⁿ где А и n – некоторые функции температуры, А<1, n колеблется около 4.

в. Закон Вина, 1893 г. Вильгельм Вин на основе термодинамических соображений теоретически обосновал характер спектральной светимости АЧТ. Он нашёл, что r_lT есть произведение (сçl)⁵ на функцию от аргумента (сçlТ). Здесь с – скорость света в вакууме. Хотя вид функции f(cçlТ) установить не удалось, важно, что температура входит в неё в виде произведения lТ. Общий анализ функции f(cçlT) показал, что она имеет единственный максимум, удовлетворяющий условию:

l_max×T = Const = b. Закон смещения Вина       (29.6)

Здесь l_max – это та длина волны, при которой функция r_lT имеет максимум при данной температуре Т.

Положение максимума функции спектральной светимости АЧТ по мере возрастания температуры смещается в сторону коротких длин волн. (Закон смещения Вина, рис.229).

Постоянная Вина b находится из опыта, b = 2,897×10^–3 м∙К.

6. Границы применимости тепловых законов. Хотя законы теплового излучения проверялись лишь для температур Т в несколько тысяч Кельвинов, теоретическое осмысление позволяет предположить, что эти законы справедливы и в области более высоких температур. Это значит, что разогретое до высоких температур вещество должно генерировать ЭМ излучение сколь угодно коротких длин волн. Так, из закона Вина следует, что при Т = 10⁵ К максимум излучения приходится на l_max = 30 нм (УФ диапазон), а при Т = 10⁸ К (термоядерный взрыв) l_max = 0,03 нм (рентгеновский диапазон).

7. Классическая теория теплового излучения. Теоретическое исследование теплового излучения имело основной целью определение вида функции спектральной светимости АЧТ r_lT. Излучение АЧТ моделировалось при этом как излучение полости модели АЧТ, в которой существовали стоячие ЭМ волны.

В июне 1900 г. Рэлей показал, что решение задачи о распределении энергии ЭМ поля в полости по частотам может быть сделано на основе гипотезы Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Он рассуждал примерно так.

Раз все стенки полости при любой температуре излучают ЭМ волны, то внутри полости существует ЭМ поле. Это поле можно разложить на системы стоячих ЭМ волн разных частот и направлений. При этом полагается, что на каждую монохроматическую волну приходится средняя энергия = kT, где kTç2 – энергия электрического поля, и kTç2 – энергия магнитного поля. В результате для спектральной светимости АЧТ Рэлей получил формулу:

. Формула Рэлея-Джинса, 1900   (29.7)

Здесь с – скорость света в вакууме, k – постоянная Больцмана. В 1909 г. эту формулу более строго обосновал Джеймс Джинс. Поэтому функцию r_lT распределения энергии в спектре излучения АЧТ, полученную в рамках электромагнитной теории света, называют формулой Рэлея – Джинса.

Формула Рэлея – Джинса удовлетворяет опыту лишь в области длинных волн (рис.230). Но в области коротких волн из неё следует абсурдный результат: энергия излучения нагретого тела с уменьшением длины волны l неограниченно возрастает (в формуле 29.7 l в знаменателе). Поэтому тела могут находиться только при температуре абсолютного нуля. При малейшем нагревании они должны были бы излучать бесконечно большую энергию в коротковолновой области спектра. Этот противоречащий опыту вывод Пауль Эренфест назвал ультрафиолетовой катастрофой.

То, что последовательный в рамках классической электродинамики вывод противоречит опыту, говорит о том, что в тепловом излучении есть закономерности, не объяснимые в рамках классической физики.

8. Квантовая теория теплового излучения. В декабре 1900 г. Макс Планк предложил решить проблему излучения АЧТ с помощью гипотезы о дискретных порциях энергии – квантах. Согласно концепции Планка, атом, испускающий или поглощающий свет, нельзя рассматривать как классический осциллятор, способный непрерывно изменять свою энергию. Энергия колебательного движения каждого атома может принимать, по Планку, дискретный ряд значений: e = nhn, где n = 0,1,2,..., hn - кванты энергии, которыми могут обмениваться атомы. Величина кванта энергии пропорциональна частоте излучения n. Коэффициент h – новая фундаментальная постоянная, введённая Планком. Её размерность называют действием, h = 6,62×10^–34 Дж×с.

Если предположить, что распределение атомов по энергиям подчиняется закону Больцмана n = n₀ exp(–eçkT), то, как показал Планк, среднее значение энергии таких квантовых осцилляторов в ансамбле определяется формулой:

.         Формула Планка, 1900                                      (29.8)

(Вывод формулы Планка см.: Конспект лекций, Часть 2, Тепл. и молек. Физика, §21, с.с. 70-73). Подставив планковское выражение (29.8) для  в формулу Рэлея – Джинса (29.7), получаем: .                                               (29.9)

Посмотрим, каковы возможности формулы (29.9) в объяснении опытных и теоретических закономерностей.

а. Прогноз Вина о виде функции r_lT. Подставим в формулу спектральной све-тимости АЧТ (29.9) n = сçl. . (29.10)

Квантовая формула для r_lT полностью соответствует прогнозу Вина (формуле 29.5).

б. Закон Стефана – Больцмана. Вычислим полную светимость АЧТ, используя подстановку hcçklT = x. Отсюда l = hcçkTx, dl = – (hcçkT)×dxçx².                          (29.11)

(29.12)

(Поменяв местами пределы интегрирования, мы изменим знак перед интегралом.) Интеграл Пуассона в выражении равен p ⁴ç15. Итак, .   (29.13)

Коэффициент перед Т ⁴ есть комбинация констант. Его вычисление даёт:

.

Из формулы Планка вытекает закон Стефана Больцмана.

в. Закон Вина. Чтобы найти максимум спектральной светимости АЧТ, надо исследовать функцию r_lT на экстремум по l. Если выбрать подстановку z = klT/hc, пропорциональную l, то точки экстремума по z и по l совпадут. Тогда

,                                          (29.14)

.                                                     (29.15)

Это трансцендентное уравнение. Его корни нельзя выразить в виде алгебраического выражения. Они находятся численными методами, z_max= kl_maxTçhc = 0,2014. Откуда имеем м∙К, что соответствует закону Вина.

г. Формула Рэлея – Джинса получается из квантовой формулы спектральной светимости как предельный случай при больших l, если в формуле Планка (29.8) показатель степени экспоненты не более 0,1, hcçklT ≤ 0,1, то экспоненту можно разложить в ряд и ограничиться двумя первыми членами. Exp(hcçklT) = 1 + hcçklT + ...                  (29.15)

Подставив в формулу (29.8), получаем: . (29.16)

Подставив это значение  в общее выражение Рэлея (29.7), получаем формулу Рэлея – Джинса. Чтобы определить, с каких значений длин волн l квантовая формула переходит в формулу Рэлея – Джинса, из выражения корня трансцендентного уравнения z_max = kl_max×Tçhc выразим hcçkT = l_maxçz_max и подставим в показатель экспоненты.

, Þ .                                 (29.17)

При l = 50l_max относительная погрешность формулы Рэлея – Джинса составляет 5,1%, а с ростом l она уменьшается.

9. Пирометрия (от греч. рyr -огонь) – бесконтактное измерение температуры тел на основе законов теплового излучения. В зависимости от методов измерения различают три вида температур.

а. Радиационная температура определяется через полный тепловой поток с использованием закона Стефана - Больцмана.

Допустим, тело имеет светимость R. Если неизвестен коэффициент поглощения тела А, то остаётся уподобить это тело АЧТ. Тогда 

R = sT⁴, Þ .               (29.17)

Если тело серое (а_l = Сonst) и его коэффициент поглощения А = а_l известен, то

R = AsT⁴, Þ .             (29.18)

В этом случае измеряемая радиационная температура близка к истинной.

б. Яркостная температура определяется наиболее часто. В этом случае излучение нагретого тела сравнивается с излучением АЧТ в узком интервале длин волн по яркости их поверхностей. Обычно в яркостных пирометрах используется красный светофильтр с длиной волны пропускания l = 660 нм. Пирометр предварительно градуируется по АЧТ.

Равенство температур фиксируется визуально сравнением яркости светящейся проволоки прибора с яркостью светящегося объекта (рис.231). Температуры тел считаются одинаковыми, когда они визуально сливаются.

Если тело серое, и его коэффициент поглощения а_l известен, то по яркостной температуре Т_ярк, измеренной пирометром, можно определить истинную, . (29.19)

Яркостная температура измеряется обычно до 5000 °С. Поэтому длина волны светофильтра l находится в области максимума спектральной светимости или несколько левее (рис.232).

в. Цветовая температура. В основу метода её измерения положен закон смещения Вина l_maxТ = b. Это температура АЧТ, при которой максимум в его излучении приходится на ту же длину волны l_max, что и в излучении реального тела. Для измерения цветовой температуры надо построить кривую спектральной светимости и найти по ней длину волны l_max, соответствующую максимуму.

Например, максимум спектральной светимости в излучении Солнца приходится на l_max= 470 нм. Из формулы Вина находим цветовую температуру. T = bçl_max= 6,15∙10³ K.

Цветовая температура также применима лишь к серым телам, распределение энергии в спектре которых мало отличается от АЧТ.

Фотоэффект и давление света

1. Открытие фотоэффекта. В 1887 г., работая с искровым колебательным контуром, Генрих Герц обнаружил, что искровой разряд между цинковыми электродами К облегчается, если освещать электроды светом от дугового фонаря (рис.233). Разряд в этом случае получается при меньшем напряжении питающей батареи Б.

Открытое явление стали называть фотоэффектом. В 1888 году Вильгельм Гальвакс установил, что под действием УФ света металлы теряют отрицательный электрический заряд.

Наиболее обстоятельно исследовал фотоэффект в 1888-1890 годах Александр Столетов. Главной частью установки Столетова был сетчатый конденсатор, передней обкладкой которого была латунная сетка С, а задней – цинковая пластина Zn (рис.234). Свет от дугового фонаря Д проходил сквозь сетку и падал на пластину. Наличие фотоэффекта регистрировалось гальванометром Г. В результате выполненных измерений Столетов установил:

а. Свет уносит с металлов отрицательный, но не уносит положительный заряд;

б. Чем короче длина волны света, тем эффективнее его разряжающее действие.

В 1898 г. Джозеф Томсон и Филипп Ленард измерили удельный заряд частиц, выбиваемых светом. Ими оказались электроны. Позднее выяснилось, что вырванный из атома вещества электрон не всегда покидает кристаллическую решётку. Поэтому стали различать внешний фотоэффект, когда электроны покидают вещество, и внутренний фотоэффект, когда электроны остаются в веществе. Внешний фотоэффект наблюдается обычно при освещении металлов, внутренний – в диэлектриках и полупроводниках.

2. Законы внешнего фотоэффекта. После открытия фотоэффекта возникли вопросы: от чего зависит кинетическая энергия фотоэлектронов, от интенсивности света или от частоты? От чего зависит количество выбитых электронов? Каково влияние материала освещаемого электрода? Детальные исследования Ленарда и других физиков, выполненные в вакууме, позволили установить следующее:

а. Электроны выбиваются светом, длина волны которого меньше некоторого предельного для данного вещества значения λ_max. При λ > λ_max электроны не выбиваются. Предельное значение λ_max называют красной границей фотоэффекта для данного вещества.

б. Число N выбитых электронов пропорционально интенсивности I падающего света, . Здесь E_a – амплитуда напряжённости электрического поля световой волны.

в. Кинетическая энергия выбитых электронов не зависит от интенсивности падающего света. Она пропорциональна его частоте ν. E_кин = mυ²ç2 ~ ν.

3. Трудности классической физики. Как и тепловое излучение, закономерности фотоэффекта не удаётся объяснить в рамках волновой модели света. Так, в волновой теории освещаемый электрон под действием ЭМ волны должен совершать вынужденные колебания, амплитуда которых пропорциональна амплитуде волны Е_а. При достаточно большом значении E_a кинетическая энергия электрона может превысить энергию связи, в результате электрон вылетит наружу. Так как , то энергия фотоэлектронов должна быть тем больше, чем больше интенсивность света. В этом случае фотоэффект должен наблюдаться при освещении светом с любой длиной волны λ, лишь бы свет был достаточно интенсивным.

В рамках волновой модели необъяснима красная граница фотоэффекта и то, что энергия фотоэлектронов пропорциональна частоте света.

Количество выбитых электронов должно зависеть, казалось бы, лишь от того, какова концентрация раскачиваемых светом электронов на поверхности металла, то есть зависеть от вещества. В действительности число выбитых электронов пропорционально интенсивности света, а от свойств вещества зависит красная граница фотоэффекта.

4. Квантовая теория фотоэффекта. Эти трудности преодолел Эйнштейн в 1905 г. в рамках квантовой гипотезы Планка. Эйнштейн развил гипотезу Планка утверждением, что свет не только испускается квантами (Планк), но и существует и поглощается веществом так же квантами. Если Планк приписал свойство квантованности только физическому процессу излучения света атомом, то Эйнштейн сделал понятие квантованности более фундаментальным. Он определил его как постоянное свойство физического объекта – ЭМ излучения. Позднее выяснилось, что свойство квантованности присуще всей материи.

Поскольку при фотоэффекте квант электромагнитного излучения – фотон должен поглощаться полностью, то закон сохранения энергии для единичного акта выбивания электрона принимает вид: .     Формула Эйнштейна, 1905                       (30.1)

Здесь hn – энергия поглощаемого фотона, mυ²ç2 – кинетическая энергия выбиваемого электрона. Если электрон выбивается из конденсированной среды – твёрдого тела или жидкости, то величина А есть работа выхода электрона из этой среды. При выбивании электронов из единичных атомов в газах А есть энергия ионизации атомов.

Квантовая теория фотоэффекта объясняет все его закономерности.

а. Красная граница обусловлена тем, что фотоэффект происходит лишь тогда, когда энергия фотонов больше или равна работе выхода электронов.

hn ≥ A , Þ ,                  .                                         (30.2)

Таблица 30.1
Металл	lmax, нм	Металл	λmax, нм
Цезий Cs	660	Цинк Zn	372
Калий K	550	Вольфрам W	278
Натрий Na	540	Серебро Ag	260
Литий Li	500	Платина Pt	235

Красная граница фотоэффекта определяется свойствами вещества. У щелочных металлов она находится в видимой области спектра, у остальных – в ультрафиолетовой (табл.30.1).

       б. Пропорциональность числа выбитых электронов интенсивности света. Если свет есть поток фотонов, то увеличение интенсивности света соответствует увеличению числа фотонов, I = nhn, где n – число фотонов, проходящих через единичную площадку в единицу времени. Чем больше интенсивность света, тем больше в пучке фотонов, тем больше выбитых электронов.

Правда, это справедливо лишь при условии, что число выбивающих фотонов меньше числа вакантных электронов в поверхности металла. Но при обычных, не больших интенсивностях света это условие выполняется.

в. Пропорциональность кинетической энергии фотоэлектронов частоте падающего света автоматически вытекает из формулы Эйнштейна.

5. Опытная проверка формулы Эйнштейна была сделана Милликеном в 1916 г. При этом выяснилось, что красная граница сильно зависит от наличия в металле примесей. Растворённые в металлах газы облегчают выход электронов, смещая красную границу в область более длинных волн. Поэтому точные исследования фотоэффекта возможны только в вакууме.

В 1928 г. Пётр Лукирский и Сергей Прилежаев продолжили изучение фотоэффекта на улучшенной установке. Вместо открытого конденсатора Милликена они использовали замкнутый сферический конденсатор, позволявший собрать все электроны.

Все опыты подтвердили формулу Эйнштейна.

6. Многофотонный фотоэффект. Из квантовой структуры света вытекает принципиальная возможность существования наряду с однофотонным фотоэффектом (1 фотон → 1 электрон) многофотонного фотоэффекта (n фотонов → 1 электрон). То есть электрон может вырываться из металла за счёт энергии нескольких одновременно поглощенных фотонов.

В этом случае должно происходить смещение красной границы фотоэффекта в область длинных волн. При одновременном поглощении n одинаковых фотонов с энергиями hn формула Эйнштейна принимает вид: , .  .   (30.3)

Предельная длина волны увеличивается в n раз.

Многофотонный фотоэффект удалось наблюдать лишь в 60-е годы 20 в. с помощью интенсивных лазерных пучков. При этом n достигало 5.

7. Давление света в электромагнитной теории. Независимо от того, выбивает электрон падающий на вещество свет или нет, свет должен создавать на освещаемую поверхность давление. Идея светового давления была высказана ещё Кеплером в 17 в. для объяснения кометных хвостов. В корпускулярной модели Ньютона давление света вытекало с очевидностью как результат соударения световых корпускул с освещаемой поверхностью. Каждая корпускула, ударяясь о поверхность, должна сообщать ей импульс. Однако опытом факт светового давления не подтверждался. Нельзя было даже теоретически оценить величину предполагаемого давления.

С появлением эфирной волновой модели света вопрос о давлении света потерял свою актуальность. Он мог рассматриваться лишь как способ подтверждения корпускулярной (есть давление) или волновой (нет давления) модели света.

Проблема светового давления снова возродилась после 1873г., когда Максвелл построил электродинамику. Из анализа колебаний под действием ЭМ поля световой волны оптического электрона в атоме получается, что ЭМ волна, падающая на поверхность тела , должна оказывать на неё давление, равное p = W₀(1 + ρ),    (30.4)

где W₀ – плотность энергии волны, ρ – коэффициент отражения по интенсивности.

Качественно механизм возникновения светового давления можно уяснить из рис.235. Сила давления направлена вдоль светового луча и не зависит от знака электрических зарядов, движущихся в веществе.

Под действием силы , действующего со стороны электрического поля волны на электрические заряды, разноимённые заряды движутся в противоположных направлениях. Но магнитная сила Лоренца [ ], действующая на заряды со стороны магнитного поля волны , направлена в сторону распространения луча. В результате заряды движутся по кривым траекториям вглубь вещества. Сталкиваясь с узлами кристаллической решётки, они передают ей импульс. Поэтому решётка испытывает давление света.

8. Опыты Лебедева. Величина давления света очень мала. По вычислениям Максвелла солнечные лучи на Земле создают давление около 4·10^–6 Па. Поэтому экспериментальное измерение давления и по сей день остаётся сложной задачей. Впервые её успешно решил в 1899-900 годах Пётр Лебедев. В результате серии блестящих экспериментов он не только подтвердил факт давления света, но и измерил его.

В основу установки были положены крутильные весы (рис.236). Свет направлялся на одно из крылышек 1 или 2 лёгкой вертушки, а её поворот регистрировался по шкале 4 с помощью зайчика, который отбрасывался зеркальцем 3. Главная трудность опытов состояла в устранении конвективных потоков газа и радиометрического эффекта.

а. Конвективные потоки закручивают подвес при несколько наклонном положении крылышка. Их влияние ослаблялось созданием вакуума и тем, что свет направлялся на крылышко поочерёдно с разных сторон. В одном случае сила конвекции добавлялась к силе светового давления, в другом – вычиталась из него.

б. Радиометрический эффект возникает вследствие разности температур освещённой и неосвещённой сторон крылышка. От более тёплой стороны молекулы воздуха, которые там всё – равно есть, отражаются с большей скоростью, и потому их отдача больше.

С целью устранения радиометрического эффекта крылышки делались тонкими (0,01¸0,1 мм), благодаря чему температура их сторон отличалась незначительно.

Параметры установки: диаметр крылышек 5 мм, их толщина – от 0,01 до 0,1 мм, материал – платина, алюминий, никель, слюда. В итоге измерений Лебедев показал, что с относительной погрешностью опыта до 20% формула давления Максвелла подтверждается.

9. Давление света в квантовой теории. Если представить энергию фотона hν по формуле Эйнштейна hν = mc², где m – масса фотона, то импульс фотона есть mc = hνçc. При взаимодействии фотона с поверхностью она получает от него импульс .    (30.5)

Для единичного фотона может быть только 2 случая: коэффициент отражения ρ = 0, неупругое взаимодействие, и ρ = 1, абсолютно упругое взаимодействие. При ρ = 0 стенка поглощает фотон и получает импульс hνçc. При ρ = 1 стенка отражает фотон и получает удвоенный импульс 2hνçc. Все промежуточные значения 0 < ρ < 1 реализуются в статистике. То есть ρ равно доле отражённых фотонов.

Пусть N – число движущихся фотонов в единице объёма излучения. За время dt на площадку S попадает N ·(cdt)·S фотонов. Из них доля ρ отразится, а 1 – ρ поглотится.

Поглощённые и отраженные фотоны передадут стенке соответственно импульсы

,  и .                                                      (30.6, 30.7)

Суммарный импульс за время dt .                      (30.8)

Отсюда находится давление света на стенку. .                      (30.9)

Формула совпадает с выражением (30.4).

9. Давление света существенно в двух противоположных по масштабу областях явлений – астрономических и атомарных. В космосе давление света наряду с давлением газа обеспечивает стабильность звёзд, противодействуя силам гравитационного сжатия. Оно существенно также для динамики межзвёздного газа.

К атомарным проявлениям давления света относится световая отдача, которую испытывает возбуждённый атом при испускании фотона или ядро при испускании g - кванта.

§31. Рентгеновские лучи

1. Открытие рентгеновских лучей. В 1895 г. Вильгельм Рентген, исследуя катодные лучи, обнаружил, что бомбардируемый отрицательными ионами и электронами анод трубки испускает сильно проникающее излучение. Это излучение Рентген назвал Х-лучами. Выражения “рентгеновские лучи” и “Х-лучи” – синонимы.

В настоящее время используются исключительно электронные рентгеновские трубки. Они представляют собой максимально эвакуированный стеклянный сосуд с двумя электродами (рис.237). Катод К представляет собой нагреваемую током вольфрамовую спираль, выделяющую термоэлектроны.

Между катодом и анодом создаётся высокое постоянное напряжение 20 ¸ 40 кВ. Большая часть энергии ударяющихся об анод электронов превращается в тепло, в Х-лучи идёт всего лишь около 0,1% энергии. Поэтому анод сильно нагревается. Чтобы он не расплавился, в мощных трубках делается водяное охлаждение.

2. Свойства Х-лучей. Ещё сам Рентген установил, что открытое им излучение вызывает свечение флуоресцирующего экрана, почернение фотоэмульсий и фотоэффект. В 1896-97 г.г. Рентген опубликовал по свойствам Х-лучей 3 статьи. Зато другими исследователями только в 1896 г. было опубликовано свыше 1000 работ.

В течение первых десяти лет исследований стало ясно, что Х – лучи – это электромагнитные волны с очень малой длиной волны λ. По этой причине долго не удавалось наблюдать интерференцию и дифракцию Х – лучей.

Наиболее детально было исследовано поглощение Х - лучей разными веществами. Ещё сам Рентген установил, что поглощение Х-лучей одним и тем же веществом различно в зависимости от условий их получения. При малых напряжениях U между катодом и анодом излучаются Х-лучи, сильно поглощающиеся веществом. Такие лучи стали называть мягкими. С увеличением напряжения поглощение Х-лучей уменьшается. Слабо поглощающиеся Х-лучи стали называть жёсткими.

Поглощение Х-лучей подчиняется закону Бугера: I = I₀ exp( – ml ). Поэтому мерой жёсткости является коэффициент поглощения m.

В настоящее время к рентгеновскому диапазону ЭМ излучения относится область с длинами волн 10^-5 £ λ £ 100 нм. Мягкими считаются Х-лучи с λ ³ 0,2 нм, жёсткими – лучи с λ < 0,2 нм. По алюминию, коэффициент поглощения мягких лучей m » 1000 см^-1. Часто жёсткость лучей характеризуют толщиной слоя l₀, ослабляющего интенсивность в е раз. I = I₀ /e = I₀ exp(-ml₀), Þ ml₀ = 1, l₀ = 1/m. Для мягких лучей l₀ по алюминию составляет 10 мкм, для жёстких лучей l₀ » 10 см.

С увеличением порядкового номера Z в таблице Менделеева элемента, который поглощает Х-лучи, коэффициент m быстро растёт по закону m ~ Z ⁴. Поэтому мягкие ткани человеческого организма, содержащие, в основном, воду Н₂O, углерод С, азот N и др., значительно меньше ослабляют Х-лучи, чем костная ткань, содержащая кальций (Z = 20). Благодаря этому Х-лучи нашли самое широкое применение в медицине.

Показатель преломления n для рентгеновских лучей меньше единицы и очень мало отличается от неё, n = 1 - Δ, где Δ » 10^-6¸10^-5. Поэтому фазовая скорость Х-лучей в среде больше скорости света в вакууме. Отклонение Х – лучей при переходе из одной среды в другую очень мало и не превышает нескольких угловых минут.

При падении Х-лучей из вакуума на поверхность тела под очень малым углом к поверхности происходит полное внешнее отражение Х-лучей.

Поглощаясь средой, рентгеновские лучи ионизируют её. Поэтому Х-лучи представляют для живых организмов радиационную опасность. Единицей измерения поглощённой энергии ионизирующего излучения (экспозиционная доза) служит 1 рентген (р). Это внесистемная единица. По определению, дозе 1 р соответствует образование 2,08·10⁹ пар ионов в 1 см³ воздуха при нормальных условиях.

3. Дифракция рентгеновских лучей. Из-за очень малой длины волны Х-лучей наблюдать их дифракцию на обычных макрообъектах – отверстиях, нитях и др. – практически очень сложно.

В 1912 г. Макс Лауэ теоретически обосновал возможность наблюдения дифракции Х-лучей на регулярных пространственных структурах монокристаллов. В том же году его коллеги по Мюнхенскому университету Вальтер Фридрих и Пауль Книппинг поставили успешный опыт. В качестве дифракционной решётки они использовали монокристалл берилла.

Кристалл К, расположенный на подставке, освещается Х-лучами непрерывного (тормозного) спектра (рис.238). Те лучи, для которых выполняется условие дифракционных максимумов, концентрируются в направлении определённых углов.

В результате на фотопластинке Ф на общем фоне диффузно рассеянных лучей появляются точечные почернения, соответствующие дифракционным максимумам. Такие рентгено-граммы стали называть лауэграммами, а метод наблюдения дифракции Х – лучей на монокристаллах – методом Лауэ.

В 1913 г. Лоуренс Брэгг и независимо Георгий Вульф предложили более наглядную, чем у Лауэ, трактовку возникновения дифракции на кристалле. Они интерпретировали её как интерференцию параллельного пучка Х-лучей, падающего на атомную плоскость кристалла (рис.239).

Чтобы произошло сложение амплитуд, нужно, чтобы разность хода лучей 1 и 2, отражённых от соседних атомных плоскостей, была кратна длине волны λ. Если q - угол скольжения, а d – расстояния между атомными плоскостями, то разность хода Δ = 2d Sinq. Отсюда получаем условие дифракционных максимумов.

2d Sinq = kλ. Формула Вульфа – Брэгга, 1913.                                                  (31.1)

Исследуя дифракционные картины, с помощью формулы Вульфа – Брэгга можно решать две задачи:

а. По значениям λ и q определять межатомные расстояния d в кристаллах (рентгеноструктурный анализ);

б. По известным значениям d и q определять длину волны λ Х – лучей (рентгеновская спектроскопия).

4. Спектры рентгеновских лучей – бывают двух видов – сплошные (тормозные) и линейчатые (характеристические).

а. Сплошные спектры излучаются при ускоренном движении электронов в процессе их торможения об анод. Тормозные спектры имеют резкую границу с коротковолновой стороны (рис.240). Минимальная длина волны λ_min определяется энергией электронов.

Из закона сохранения энергии hν £ еU, Þ , .     (31.2)

Интересно, что из выражения минимальной длины волны можно сконструировать формулу, напоминающую закон Вина. .                                         (31.3)

б. Линейчатые спектры излучаются тогда, когда энергия возбуждающих Х – лучи электронов достигает некоторого критического, характерного для материала анода значения, или превышает его. При этом на фоне сплошного спектра появляются интенсивные максимумы с дискретными значениями энергии.

Эти линейчатые рентгеновские спектры зависят от материала анода, поэтому их называют характеристическими. Они не зависят от того, изолирован испускающий их атом или входит в состав конденсированного вещества. Поэтому характеристические рентгеновские спектры удобнее оптических для спектроскопии веществ.

5. Рассеяние рентгеновских лучей. Эффект Комптона. В 1922 г. Артур Комптон обнаружил, что рассеянные в парафине Х-лучи имеют бóльшую длину волны λ, чем падающие λ₀.

Схема опыта Комптона показана на рис.241. Выходящие из рентгеновской трубки РТ Х-лучи формировались с помощью отверстия в свинцовом экране в узкий пучок с длиной волны λ₀. Проходя через блок парафина П, они рассеивались под разными углами q. Сфотографировав рентгенограммы при разных углах q (рентгеновский спектрограф РСп), Комптон обнаружил, что длина волны λ рассеянных лучей с ростом q растёт, причём приращение длины Δλ = λ – λ₀ определяется формулой: Δλ = λ – λ₀ = L(1 – Cosq).                                                                                 (31.4)

Это явление некогерентного (изменяется длина волны) рассеяния Х-лучей называют эффектом Комптона. Коэффициент пропорциональности L, одинаковый для всех рассеивающих веществ, называют длиной волны Комптона. Основные положения теории эффекта Комптона разработали сам автор и, независимо, Дебай. Они состоят в следующем.

Рентгеновский фотон взаимодействует с электронами рассеивающего вещества. При этом фотон ведёт себя как частица, а электрон при встрече ведёт себя как практически свободный. Столкновение происходит абсолютно упруго, поэтому выполняются законы сохранения импульса и энергии. Сохранение энергии, hν₀ + m₀ c² = hν + mc²,     (31.5)

Сохранение импульса, .                                                             (31.6)

Здесь m₀ – масса покоя электрона,  - масса движущегося электрона со скоростью v, β = vçс, n₀ – частота падающего фотона, n – частота рассеянного фотона.

Из векторного треугольника импульсов (рис.242) выразим по теореме косинусов импульс электрона.

.   (31.7)

Преобразуем уравнения системы.

(31.8)

Возведём 1-е уравнение в квадрат и вычтем из него второе.

1-е, m²c⁴ = h²ν₀² + h²ν² – 2h²νν₀ + m₀²c⁴ + 2h(ν₀ – ν)m₀c²,

2-e, m² v ²c² = h²ν₀² + h²ν² – 2h²νν₀ сosq. Получаем:

.                            (31.9)

Первые слева два члена в (31.9) уничтожаются, поскольку . Разделив оставшееся выражение на 2hm₀c²nn₀, получаем:

, или .                                  (31.10)

Умножив обе части равенства на с и приняв во внимание, что сçn₀ = λ₀, сçn = λ, получаем найденную в опытах закономерность. .   (31.11)

Теория расшифровывает найденную в опытах комптоновскую длину волны L. Оказывается, она представляет собой комбинацию из трёх фундаментальных констант,

.                                            (31.12)

Изменение длины волны Δλ растёт с увеличением угла рассеяния q. Оно максимально при q = π и составляет 2L = 4,84·10^–3 нм. При q = 0 Δλ = 0.

Изменение длины волны Δλ не зависит от λ падающего излучения. Оно заметно лишь тогда, когда λ соизмеримо с L = 2,42·10^–3 нм. Рассеяние видимых лучей, даже если оно и существует, не заметно, поскольку относительное изменение λ ничтожно мало. Для зелёных фотонов Δλçλ = 2Lçλ = 2,42·10^–3 нмç555 нм » 10^–5 ( » 0,001%).

6. Квантовая структура ЭМ излучения. Опыт Иоффе и Добронравова. Когда выяснилось, что тепловое излучение и фотоэффект объясняются лишь в рамках квантовой модели света, возникла необходимость прямого опытного доказательства квантовой структуры света.

В 1922 г. Абрам Иоффе и Николай Добронравов поставили опыт по элементарному фотоэффекту с помощью рентгеновских лучей. Целью опыта было выяснение того, всю ли энергию фотона забирает фотоэлектрон или только часть её.

Схема установки показана на рис.243. В толстой эбонитовой пластине делалась полость, из которой через трубку R откачивался воздух. Эта полость играла роль миниатюрной рентгеновской трубки. Её катодом служил конец тонкой алюминиевой проволоки К, освещаемый для улучшения эмиссии электронов УФ – лучами через отверстие L. Анодом служила металлическая пластина А.

Над пластиной А в электрическом поле конденсатора АВ подвешивалась заряженная висмутовая пылинка, наблюдаемая в микроскоп М. Освещение катода К УФ – лучами подбиралось настолько слабым, чтобы с К срывалось около 1000 электронов в секунду. Вырванные фотоэлектроны ускорялись полем высокого напряжения. Ударяясь о пластинку А, они резко тормозились и испускали Х – лучи. В результате из анода А испускалось около 1000 рентгеновских фотонов в 1 с. Висмутовая пылинка, облучаемая этими фотонами, время от времени теряла электрон.

Средний промежуток времени потери электрона оказался равным 30 минутам. Анализ опыта показал, что фотоэлектрон пылинки забирает всю энергию Х-фотона.

Действительно, если бы энергия рентгеновских квантов в соответствии с волновой теорией распространялась бы равномерно по всему сферическому фронту волны, то на долю одного электрона пылинки пришлось бы очень малое количество энергии, недостаточное для его вырывания. Получается, что или один электрон накапливает целых 30 минут энергию, не отдавая её соседним частицам, или все электроны пылинки вдруг отдают свою энергию какому-то одному электрону.

Оба эти предположения очень слабые. Более убедительным представляется вывод:

а. Каждый фотоэлектрон пылинки воспринимает из потока Х-фотонов энергию одного фотона.

б. Рентгеновский фотон, имеющий энергию hn, достаточную для вырывания из металла сотен и тысяч электронов, поглощается только одним из них.

7. Квантовая структура ЭМ – излучения. Опыт Боте. В 1925 году Вальтер Боте поставил изящный опыт, прямо подтвердивший существование фотонов.

Тонкая металлическая фольга помещалась между двумя газоразрядными счётчиками Сч и освещалась пучком Х-лучей (рис.244). Под их воздействием она сама излучала рентгеновские лучи (явление рентгеновской флуоресценции).

Вследствие малой интенсивности первичного пучка количество квантов, испускаемых фольгой, было невелико. При попадании Х-кванта в счётчик Сч счётчик срабатывал, и самописец Сп оставлял на ленте метку.

Если бы излучение распространялось во все стороны равномерно в соответствии с волновой теорией, то оба счётчика срабатывали бы одновременно, и на ленте появлялись бы две отметки одна против другой. В опыте же наблюдалось беспорядочное расположение отметок. Это значит, что в отдельных актах испускания возникают световые частицы, движущиеся то в одном, то в другом направлении.

Итоги рассмотренных и других опытов позволили придти к убедительному выводу: существует световая частица – фотон – с энергией hν и импульсом hνçc. Масса фотона m = hνçc². Например, зелёный фотон с λ = 555 нм имеет энергию hν = 2,23 эВ и массу m = 0,4·10^–35 кг. Фотон существует только в движении. Его масса покоя равна нулю.

8. Источники рентгеновских лучей – это не только рентгеновские трубки, но и ускорители и накопители элементарных частиц с энергиями в несколько гигаэлектронвольт и более. В микромире источниками рентгеновских фотонов являются ядра некоторых радиоактивных изотопов, а в космосе – Солнце, звёзды и другие объекты.

Оглавление

 

Глава 1. Предмет оптики. Световые измерения..................................................... 1

Литература..................................................................................................................................... 3

§1. Предмет оптики........................................................................................................................ 3

§2. Световые измерения. Энергетические величины................................................................. 4

§3. Световые измерения. Визуальные величины....................................................................... 8

Глава 2. Геометрическая оптика................................................................................ 12

§4. Предмет геометрической оптики (ГО)................................................................................. 12

§5. Зеркала.................................................................................................................................... 16

§6. Тонкие линзы.......................................................................................................................... 20

§7. Аберрации изображений....................................................................................................... 23

§8. Глаз человека. Оптические иллюзии................................................................................... 28

§9. Оптические приборы.............................................................................................................. 31

Глава 3. Интерференция света........................................................................................ 38

§10. Сложение световых волн.................................................................................................... 38

§11. Интерференция в тонких пленках..................................................................................... 41

§12. Многолучевая интерференция........................................................................................... 46

Глава 4. Дифракция света.................................................................................................. 49

§13. Дифракция в сходящихся лучах....................................................................................... 49

§14. Дифракция в сходящихся лучах на щели........................................................................ 53

§15. Дифракция в параллельных лучах.................................................................................... 56

§16. Дифракционная решетка как спектральный прибор....................................................... 61

ГЛАВА 5. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА............................................................................................. 66

§17. Взаимодействие света с границей раздела сред. Формулы Френеля............................ 66

§18. Распространение света в кристаллах............................................................................... 70

§19. Эллиптическая поляризация света................................................................................... 74

§20. Оптическая активность. Искусственная анизотропия................................................. 79

ГЛАВА 6. ДИСПЕРСИЯ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА............................................................... 84

§21. Дисперсия света................................................................................................................... 84

§22. Поглощение света. Фазовая и групповая скорость....................................................... 87

§23. Спектральный анализ......................................................................................................... 91

ГЛАВА 7. РАССЕЯНИЕ СВЕТА И ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ................. 96

§24. Рассеяние света................................................................................................................... 96

§25. Оптические явления в атмосфере.................................................................................... 100

ГЛАВА 8. ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД............................................................................ 106

§26. Измерение скорости света................................................................................................ 106

§27. Оптика движущихся сред................................................................................................. 110

§28. Теория относительности.................................................................................................. 114

ГЛАВА 9. КВАНТОВАЯ ОПТИКА............................................................................................. 119

§29. Тепловое излучение........................................................................................................... 119

§30. Фотоэффект и давление света.......................................................................................... 124

§31. Рентгеновские лучи........................................................................................................... 127

Оглавление.............................................................................................................................. 132

 

---

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 715; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!