Стична площина кривої. Теорема про стичну площину.
Векторна функція одного скалярного аргументу. Означення та приклади. Границя та неперервність векторної функції.
Векторною функцією (вектор – функцією ), заданою на множині , називається відображення, при якому кожному значенню відповідає вектор простору . .Постійний вектор називається границею векторної функції при , якщо для кожного існує таке, що для всіх , які задовольняють умові , виконується нерівність . Позначають: . Векторна функція називається неперервною в точці , якщо . Якщо векторна функція неперервна в усіх точках множини , то вона називається неперервною на цій множині.
Диференційованість векторної функції. Теорема про властивості диференційованих векторних функцій та наслідки з неї. Диференціювання складної векторної функції одного аргументу. Формула Тейлора.
Векторна функція називається диференційованою в точці , якщо при існує границя відношення .
(властивості диференційованих функцій). Якщо векторні функції , , і скалярна функція диференційовані в точці , то в цій точці диференційовані функції , , , , і мають місце рівності
1. ,
2. ,
3. ,
4. .
5.
(правило диференціювання складної функції). Нехай скалярна функція диференційована в точці , а векторна функція диференційована в точці . Тоді складна функція диференційована в точці , причому .
(формула Tейлора). Якщо векторна функція раз диференційована в точці й , то
|
|
,
де .
Поняття кривої. Способи завдання. Регулярність кривої. Особливі точки.
Параметризованой кривой наз. неп. отобр. γ :I→E3, при котором ∀ tϵI соотв. т. MϵE3 Кривой наз.годограф неп.векторной.фун-ии. Кривая задана при помощи вектор.функ-ии наз.гладкой кривой класса ck , если имеет неп.производные до порядка k включительно. Задаются явно, неявно, параметрически. Кривая наз.регалярной, если для любой ее т.при переходящем выборе прямоугольной декартовой сист.координ. x,y,z она допускает в окр.этой точки задание уравнениями y=y(x), z=z(x). Особливі точки кривої - будь-яка точки кривої, що не є реґулярними.
Заміна параметра на кривій. Властивість допустимої заміни.
Замена параметра на кривой при помощи фан-ии τ=τ(t) наз.допустимой, если ∀t∈I ≠ -доп.замена параметра. Доп.замена параметра на кривой сохранаяет свойство регулярности.
Неявне завдання кривої. Теорема про неявно задану криву.
Кривая задана неявно, если её декартовы координаты удовлетворяют систему:
Теорема. Пусть 𝜔-мн-во т.простор.E3 удовл.сист.(1). М0(x0,y0,z0)∈𝜔 и для неё выполняется условие ,тогда сущ.окресность т.M0 такая что пересечение -регул.параметризованная кривая.
|
|
Дотична пряма та нормальна площина неявно заданої кривої.
Пусть F и Ф заданы неявным уравнением кривой, диференцируемые в неособой т.М0(x0,y0,z0) этой кривой, тогда явл.направляющим вектором касательной прямой в т.М0.
Нормальной плоскостью кривой в т.М0 наз.плоскость проход.через эту точку и перпендикулярная касательной прямой в т.М0.
Стична площина кривої. Теорема про стичну площину.
Стичною площиною просторової кривої в даній її точці називається граничне положення, до якого прагне січна площина ( , за умови, що точки M1 й M2 прагнуть по кривій до точки .
Теорема. Усяка крива в будь-якій своїй бірегулярній точці має стичну площину, нормальним вектором якої є вектор [ ’( ), ’’( )].
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 491; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!