Система двох випадкових величин.
ФУНЦІЇ ВИПАДКОВИХ АРГУМЕНІВ. СИСТЕМА ДВОХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН ш
Функція одного випадкового аргументу.
Якщо кожному можливому значенню випадкової величини 
відповідає одне можливе значення випадкової величини 
, то називають функцією випадкового аргументу і записують 
.
Якщо - дискретна випадкова величина і функція монотонна, то різним значенням відповідають різні значення , причому ймовірності відповідних значень і однакові. Іншими словами, можливі значення знаходять з рівності
, (4.1)
де 
- можливі значення ; ймовірності можливих значень знаходять з рівності
(4.2)
Якщо - немонотонна функція, то, взагалі кажучи, різним значенням 
можуть відповідати однакові значення ( так буде, якщо можливі значення попадуть в інтервал, в якому функція 
не є монотонною). В цьому випадку для відшукання ймовірностей можливих значень слід скласти ймовірності тих можливих значень , при яких приймає однакові значення. Іншими словами, ймовірність значення , яке повторюється, дорівнює сумі ймовірностей тих можливих значень , при яких приймає одне й теж значення.
Якщо - неперервна випадкова величина, задана щільністю розподілу 
, і якщо 
- диференційована строго зростаюча або строго спадаюча функція, обернена функція до якої 
, то щільність розподілу 
випадкової величини знаходять з рівності
|
|
|
. (4.3)
Якщо функція в інтервалі можливих значень не монотонна, то слід розбити цей інтервал на такі інтервали, в яких функція монотонна, і знайти щільності розподілів 
для кожного з інтервалів монотонності, а потім знайти у вигляді суми:
(4.4)
Наприклад, якщо функція монотонна в двох інтервалах, в яких відповідні обернені функції дорівнюють 
і 
, то
. (4.5)
Функція двох випадкових аргументів.
Якщо кожній парі можливих значень випадкової величини і відповідає одне можливе значення випадкової величини 
, то називають функцією двох випадкових аргументів і і пишуть
. (4.6)
Якщо і - дискретні незалежні випадкові величини, то, для того щоб знайти розподіл функції 
, потрібно знайти всі можливі значення , для цього достатньо скласти кожне можливе значення зі всіма можливими значеннями ; ймовірності знайдених можливих значень дорівнюють добуткам ймовірностей значень і , які додаються.
|
|
|
Якщо і - неперервні незалежні випадкові величини, то щільність розподілу 
суми (при умові, що щільність розподілу хоча б одного з аргументів задана в інтервалі 
однією формулою) може бути знайдена по формулі
, (4.7)
або
, (4.8)
де 
і 
- щільності розподілу аргументів; якщо можливі значення аргументів невід’ємні, то щільність розподілу величини знаходять за формулою
, (4.9)
або
. (4.10)
В тому випадку, коли обидві щільності 
і 
задані на скінчених інтервалах, для відшукання щільності величини доцільно спочатку знайти функцію розподілу 
, а потім диференціювати її по z:
. (4.11)
Якщо і - незалежні випадкові величини, задані відповідними щільностями розподілів і , то ймовірності попадання випадкової точки 
в область 
дорівнює подвійному інтегралу по цієї області від добутку щільностей розподілу:
|
|
|
(4.12)
Система двох випадкових величин.
Двовимірною називають випадкову величину , можливі значення якої є пари чисел 
. Складові і , які розглядаються одночасно, утворюють систему двох випадкових величин.
Двовимірну величину геометрично можна тлумачити як випадкову точку 
на площині 
, або як випадковий вектор 
.
Дискретною називають двовимірну величину, складові якої дискретні. Неперервною називають двовимірну величину, складові якої неперервні.
Законом розподілу ймовірностей двовимірною випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями.
Функцією розподілу ймовірностей двовимірною випадкової величини називають функцію 
, яка визначає для кожної пари чисел ймовірність того, що прийме значення, менше ніж 
, і при цьому прийме значення, менше ніж 
:
. (4.13)
|
|
|
Геометрично цю рівність можна тлумачити так: є ймовірність того, що випадкова точка потрапить в нескінчений квадрант з вершиною , який розташований лівіше на нижче цієї вершини.
Функція розподілу має наступні властивості:
1) 
;
2) 
, якщо 
,
, якщо 
.
3) 
; 
;
; 
.
4) 
,
.
Використовуючи функцію розподілу, можна знайти ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник 
, 
:
.
Щільністю сумісного розподілу ймовірностей (двовимірною щільністю ймовірностей) неперервної двовимірної випадкової величини називають другу змішану похідну від функції розподілу:
. (4.14)
Знаючи щільність розподілу, можна знайти функцію розподілу за формулою
. (4.15)
Ймовірності попадання випадкової точки в область визначається рівністю:
(4.16)
Двовимірна щільність розподілу має наступні властивості:
1) 
;
2) 
.
Нехай складові і дискретні і мають відповідно наступні можливі значення: 
; 
. Умовним розподілом складової при 
( 
зберігає одне й те саме значення при всіх можливих значеннях ) називають сукупність умовних ймовірностей
, 
, ..., 
.
Аналогічно визначається умовний розподіл .
Умовні ймовірності складових і обчислюють відповідно за формулами
; 
. (4.17)
Для контролю обчислень доцільно переконатися, що сума ймовірностей умовного розподілу дорівнює одиниці.
Якщо складові і неперервні, щільність розподілу однієї зі складових дорівнює невласному інтегралу з нескінченими границями від щільності сумісного розподілу системи, причому змінна інтегрування відповідає другій складовій:
; 
. (4.18)
Умовною щільністю розподілу складової при заданому значенні 
називають відношення щільності сумісного розподілу системи до щільності розподілу складової :
. (4.19)
Аналогічно визначається умовна щільність розподілу складової :
. (4.20)
Якщо умовні щільності розподілу випадкових величин і дорівнюють їх безумовним щільностям, то такі величини незалежні.
Рівномірним називають розподіл двовимірної неперервної випадкової величини , якщо в області, якої належать можливі значення , щільність сумісного розподілу ймовірностей зберігає постійне значення.
Знаючи щільності розподілів складових і неперервної двовимірної випадкової величини , можна знайти їх математичне сподівання і дисперсії:
; 
; (4.21)
; (4.22)
; (4.23)
Іноді зручніше використовувати формули, які містять двовимірні щільності ймовірностей (подвійні інтеграли беруться по області можливих значень системи):
; 
; (4.24)
; (4.25)
; (4.26)
Початковим моментом 
порядку 
системи називають математичне сподівання добутку 
:
(4.27)
Центральним моментом 
порядку системи називають математичне сподівання добутку відхилень відповідно 
-го та 
-го степенів:
. (4.28)
Кореляційним моментом 
системи називають центральний момент 
порядку 1+1:
. (4.29)
Коефіцієнтом кореляції величин і називають відношення кореляційного моменту до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин:
. (4.30)
Коефіцієнт кореляції - безрозмірна величина, причому 
. Коефіцієнт кореляції служить для оцінки тісноти лінійного зв’язку між і : чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до одиниці, тим зв’язок сильніше; чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до нуля, тим зв’язок слабше.
Корельованими називають дві випадкові величини, якщо їх кореляційний момент не рівний нулю.
Некорельованими називають дві випадкові величини, якщо їх кореляційний момент дорівнює нулю.
Дві величини, які є корельованими також є залежними; якщо дві величини залежні, то вони можуть бути як корельованими, так і некорельованими.
Для неперервних величин і кореляційний момент може бути знайдений за формулами:
; (4.31)
. (4.32)
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Приклад 4.1. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу
| X | -2 | -1 | 1 | 2 |
| P | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Знайти закон розподілу випадкової величини 
.
Розв’язання: Знайдемо можливі значення :
; 
;
; 
.
Отже, різним значенням відповідають однакові значення . Це пояснюється тим, що можливі значення належать інтервалу, на якому функція не монотонна.
Знайдемо ймовірності можливих значень . Для того щоб величина прийняла значення 
, достатньо, щоб величина прийняла значення 
або 
. Останні дві події несумісні, їх ймовірності відповідно дорівнюють 0,3 і 0,2. Тому ймовірність події за теоремою додавання
.
Аналогічно, знайдемо ймовірність можливого значення 
:
Запишемо шуканий закон розподілу величини :
| Y | 1 | 4 |
| P | 0,5 | 0,5 |
Приклад 4.2.Випадкова величина розподілена рівномірно в інтервалі 
. Знайти щільність розподілу випадкової величини 
.
Розв’язання: Щільність розподілу випадкової величини X на інтервалі :
;
поза цим інтервалом 
.
З рівняння 
знайдемо обернену функцію 
. Оскільки в інтервалі функція не є монотонною, то розіб’ємо цей інтервал на інтервали 
; 
, в яких ця функція монотонна. В інтервалі обернена функція 
; в інтервалі обернена функція 
. Шукана щільність розподілу може бути знайдена з рівності (4.5).
Знайдені похідні обернених функцій:
; 
.
Модулі похідних:
; 
.
Враховуючи, що 
, отримуємо
; 
.
Підставляючи знайдене в (4.5), одержимо:
.
Так як 
, то при 
, 
. Таким чином, в інтервалі 
шукана щільність розподілу 
; за межами цього інтервалу 
.
Контроль: 
.
Приклад 4.3.Дискретні незалежні випадкові величини і задані розподілами:
| X | 1 | 3 |
| P | 0,3 | 0,7 |
| Y | 2 | 4 |
| P | 0,6 | 0,4 |
Знайти розподіл випадкової величини .
Розв’язання: Для того, щоб скласти розподіл величини , треба знайти всі можливі значення та їх ймовірності.
Можливі значення є суми кожного можливого значення зі всіма можливими значеннями :
; 
; 
; 
.
Знайдемо ймовірності цих можливих значень. Для того, щоб 
, достатньо, щоб величина прийняла значення 
і величина - значення 
. Ймовірності цих можливих значень відповідно дорівнюють 0,3 і 0,6. Так як аргументи і незалежні, то події 
і 
незалежні і ймовірності їх сумісної появи (тобто ймовірність події ) за теоремою множення дорівнює 
.
Аналогічно знайдемо:
;
;
;
Запишемо шуканий розподіл, додаючи ймовірних несумісних подій 
; 
:
| Z | 3 | 5 | 7 |
| P | 0,18 | 0,54 | 0,28 |
Контроль: 0,18+0,54+0,28=1.
Приклад 4.4.Незалежні випадкові величини і задані щільностями розподілів:
; 
.
Знайти композицію цих законів, тобто щільність розподілу випадкової величини .
Розв’язання: Так як можливі значення аргументів невід’ємні, то може бути застосована формула (4.7), тобто
.
Виконаємо елементарні перетворення, отримаємо
.
Тут 
, так як і можливі значення і невід’ємні. Отже, 
в інтервалі 
, поза межами інтервалу 
.
Приклад 4.5.Задано розподіл ймовірностей дискретної двовимірної випадкової величини:
| Y | Х | ||
| 3 | 10 | 12 | |
| 4 | 0,17 | 0,13 | 0,25 |
| 5 | 0,1 | 0,3 | 0,05 |
Знайти закони розподілу складових і .
Розв’язання: Додаючи ймовірності “по стовпцям”, отримаємо ймовірності можливих значень : 
, 
, 
. Запишемо закон розподілу складової :
| X | 3 | 10 | 12 |
| P | 0,27 | 0,43 | 0,3 |
Контроль: 0,27+0,43+0,3=1.
Додаючи ймовірності “по рядках”, знайдемо закон розподілу складової 
:
| Y | 4 | 5 |
| P | 0,55 | 0,45 |
Контроль: 0,55+0,45=1.
Приклад 4.6.Задана функція розподілу двовимірної випадкової величини
Знайти двовимірну щільність ймовірностей системи.
Розв’язання: Скористаємося формулою (4.14). Знайдемо частинні похідні:
; 
.
Отже, шукана двовимірна щільність ймовірностей
Приклад 4.7.Задана дискретна двовимірна випадкова величина :
| Y | Х | ||
| 2 | 5 | 8 | |
| 0,4 | 0,15 | 0,3 | 0,35 |
| 0,8 | 0,05 | 0,12 | 0,03 |
Знайти: а) безумовні закони розподілу складових; б) умовний закон розподілу складової при умові, що складова прийняла значення 
; в) умовний закон розподілу складової при умові, що складова прийняла значення 
.
Розв’язання: а)Додаючи ймовірності “по стовпцям”, запишемо закон розподілу складової :
| X | 2 | 5 | 8 |
| P | 0,2 | 0,42 | 0,38 |
Додаючи ймовірності “по рядках”, знайдемо закон розподілу складової :
| Y | 0,4 | 0,8 |
| P | 0,8 | 0,2 |
б) Знайдемо умовні ймовірності можливих значень при умові, що складова прийняла значення :
; 
;
.
Запишемо шуканий умовний закон розподілу :
| X | 2 | 5 | 8 |
|  
| 
| 
|
в) Аналогічно знайдемо умовний закон розподілу :
| Y | 0,4 | 0,8 |
| 
| 
|
Приклад 4.8.Задана щільність сумісного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини
.
Знайти: а) щільність розподілу складових; б) умовні щільності розподілу складових.
Розв’язання: а) Знайдемо щільність розподілу складової :
.
Винесемо з під знаку інтегралу множник 
, який не залежить від змінної інтегрування , і доповнимо показник ступеню до повного квадрату; тоді
Враховуючи, що інтеграл Пуассона 
, отримаємо щільність розподілу складової :
.
Аналогічно, знайдемо щільність розподілу складової :
.
б) Знайдемо умовні щільності розподілу складових. Отримаємо
,
,
Приклад 4.9.Задана щільність сумісного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини
.
Знайти: а) математичне сподівання; б) дисперсії складових і .
Розв’язання: а) Знайдемо спочатку щільність розподілу складової :
, 
.
Аналогічно отримаємо
, 
.
Знайдемо математичне сподівання складової :
.
Інтегруючи по частинах і враховуючи, що інтеграл Пуассона 
, одержимо 
. Аналогічно, 
.
б) Знайдемо дисперсію :
.
Аналогічно, 
.
ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ
ЗАВДАННЯ 4.1.
4.1.1. Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини дорівнюють відповідно 2 і10. Знайти математичне сподівання і дисперсію величини 
.
4.1.2. Дискретна випадкова величина має ряд розподілу
| X | 1 | 3 | 5 |
| P | 0,4 | 0,1 | 0,5 |
Побудувати ряд розподілу випадкової величини 
.
4.1.3. Дискретна випадкова величина має ряд розподілу
| X | 
| 
|  5
|
| P | 0,4 | 0,1 | 0,5 |
Побудувати ряд розподілу випадкової величини 
.
4.1.4. Дискретна випадкова величина має ряд розподілу
| X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| P | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Побудувати ряд розподілу випадкової величини 
.
4.1.5. В умовах попередньої задачі побудувати ряд розподілу випадкової величини 
.
4.1.6. Випадкова величина розподілена за нормальним законом зі щільністю ймовірностей
.
Знайти закон розподілу випадкової величини 
.
4.1.7. Випадкова величина має показниковий розподіл зі щільністю ймовірностей 
, 
. Знайти функцію розподілу і щільність ймовірностей випадкової величини 
.
4.1.8. Випадкова величина розподілена рівномірно в інтервалі 
. Знайти закон розподілу випадкової величини 
.
4.1.9. Випадкова величина розподілена рівномірно в інтервалі 
. Знайти закон розподілу випадкової величини 
.
4.1.10. Задана щільність розподілу випадкової величини : 
в інтервалі 
; за межами цього інтервалу 
. Знайти щільність розподілу випадкової величини 
.
4.1.11. Випадкова величина розподілена за нормальним законом зі щільністю ймовірностей
Знайти закон розподілу випадкової величини 
.
4.1.12. Випадкова величина розподілена за нормальним законом зі щільністю ймовірностей
.
Знайти закон розподілу випадкової величини 
.
4.1.13. Випадкова величина задана щільністю ймовірностей 
в інтервалі 
; за межами цього інтервалу . Знайти математичне сподівання випадкової величини .
4.1.14. Випадкова величина задана щільністю ймовірностей 
в інтервалі 
; за межами цього інтервалу . Знайти математичне сподівання випадкової величини .
4.1.15. Випадкова величина задана щільністю ймовірностей в інтервалі ; за межами цього інтервалу . Знайти дисперсію випадкової величини .
4.1.16. Випадкова величина задана щільністю ймовірностей в інтервалі ; за межами цього інтервалу . Знайти дисперсію випадкової величини .
4.1.17. Задана щільність розподілу випадкової величини , можливі значення якої знаходяться в інтервалі . Знайти щільність розподілу випадкової величини .
4.1.18. Задана щільність розподілу випадкової величини , можливі значення якої знаходяться в інтервалі . Знайти щільність розподілу випадкової величини 
.
4.1.19. Задана щільність розподілу випадкової величини , можливі значення якої знаходяться в інтервалі . Знайти щільність розподілу випадкової величини 
.
4.1.19. Задана щільність розподілу випадкової величини , можливі значення якої знаходяться в інтервалі . Знайти щільність розподілу випадкової величини 
.
4.1.20. Задана щільність розподілу випадкової величини , можливі значення якої знаходяться в інтервалі . Знайти щільність розподілу випадкової величини 
.
ЗАВДАННЯ 4.2.
4.2.1. Дискретні випадкові величини задані розподілами:
| X | 0 | 2 | 4 | Y | 1 | 3 | 5 | |
| P | 0,2 | 0,3 | 0,5 | P | 0,5 | 0,2 | 0,3 |
Знайти закон розподілу випадкової величини 
.
4.2.2. В умовах попередньої задачі знайти математичне сподівання випадкової величини 
.
4.2.3. Випадкові величини і - незалежні. Знайти дисперсію випадкової величини 
, якщо відомо, що 
, 
.
4.2.4. Незалежні випадкові величини 
і 
розподілені нормально, 
, 
, 
. Записати щільність ймовірності і функцію розподілу їх суми.
4.2.5. Випадкові величини і незалежні і розподілені за законом Пуассона:
; 
.
Знайти закон розподілу їх суми.
4.2.6. Випадкові величини і незалежні і мають однаковий показниковий розподіл із щільністю 
; 
. Знайти щільність ймовірності їх суми.
4.2.7. Випадкові величини і незалежні і мають рівномірний розподіл на відрізку 
: 
, при 
; 
, 
. Знайти функцію розподілу і щільність ймовірностей випадкової величини 
.
4.2.8. Дискретні випадкові величини задані розподілами:
| X | 10 | 12 | 16 | Y | 1 | 2 | |
| P | 0,4 | 0,1 | 0,5 | P | 0,2 | 0,8 |
Знайти закон розподілу випадкової величини .
4.2.9. Дискретні випадкові величини задані розподілами:
| X | 4 | 10 | Y | 1 | 7 | |
| P | 0,7 | 0,3 | P | 0,8 | 0,2 |
Знайти закон розподілу випадкової величини .
4.2.10. Незалежні випадкові величини і задані щільностями розподілів:
, 
; 
, 
.
Знайти щільність розподілу випадкової величини .
4.2.11. Незалежні нормально розподілені випадкові величини і задані щільностями розподілів:
, 
.
Знайти щільність розподілу випадкової величини .
4.2.12. Задані щільності розподілів незалежних рівномірно розподілених випадкових величин і : 
, при 
; 
, 
. Знайти функцію розподілу і щільність ймовірностей випадкової величини .
4.2.13. Задані щільності розподілів незалежних рівномірно розподілених випадкових величин і : , при 
; 
, 
. Знайти функцію розподілу і щільність ймовірностей випадкової величини .
4.2.14. У прямокутник з вершинами 
; 
; 
та 
навмання ставиться точка. Нехай 
- випадкові координати цієї точки. Обчислити 
, 
.
4.2.15. У прямокутник з вершинами ; ; та навмання ставиться точка. Нехай - випадкові координати цієї точки. Обчислити 
, 
.
4.2.16. У прямокутник з вершинами ; 
; 
та 
навмання ставиться точка. Нехай - випадкові координати цієї точки. Обчислити , .
4.2.17. Дискретні випадкові величини задані розподілами:
| X | -1 | 0 | 1 | Y | 10 | 22 | |
| P | 0,1 | 0,2 | 0,7 | P | 0,5 | 0,5 |
Знайти закон розподілу випадкової величини .
4.2.18 Дискретні випадкові величини задані розподілами:
| X | -10 | 0 | 10 | Y | 1 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 | P | 0,5 | 0,5 |
Знайти закон розподілу випадкової величини .
4.2.19. Випадкова величина має біноміальний закон розподілу
, 
.
Обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини 
.
4.2.20. Дискретні випадкові величини задані розподілами:
| X | 1 | 2 | 3 | Y | 10 | 22 | |
| P | 0,3 | 0,1 | 0,6 | P | 0,5 | 0,5 |
Знайти закон розподілу випадкової величини .
ЗАВДАННЯ 4.3.
4.3.1. Закони розподілу числа очок, які вибиває кожен з двох стрілків:
| X | 1 | 2 | 3 | Y | 1 | 2 | 3 | |
| P | 0,1 | 0,3 | 0,6 | P | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Знайти закон розподілу суми очок, які вибивають два стрілка.
4.3.2. Двовимірна випадкова величина 
має щільність розподілу ймовірностей
.
Знайти величину А та функцію розподілу 
величини .
4.3.3. В умовах попередньої задачі знайти ймовірність попадання випадкової точки у квадрат, обмежений прямими 
, 
, 
, 
.
4.3.4. Випадкові величини і незалежні і нормально розподілені з 
, 
. Знайти ймовірність того, що випадкова точка потрапить в кільце 
.
4.3.5. Знайти щільність ймовірності модуля радіус вектора 
, якщо випадкові величини і незалежні і нормально розподілені з , 
.
4.3.6. Визначити щільність ймовірності системи двох випадкових величин і за заданою функцією розподілу
4.3.7. Випадкова точка на площині розподілена за наступним законом:
| X\Y | -1 | 0 | 1 |
| 0 | 0,1 | 0,15 | 0,2 |
| 1 | 0,15 | 0,25 | 0,15 |
Знайти числові характеристики : математичне сподівання, дисперсію, коваріацію, коефіцієнт кореляції.
4.3.8. Двовимірна випадкова величина розподілена зі щільністю 
, в області і 
по за межами області. Область - трикутник, обмежений прямими 
; ; . Знайти: величину 
, математичне сподівання, дисперсію, коваріацію, коефіцієнт кореляції.
4.3.9. Задано розподіл ймовірностей дискретної двовимірної випадкової величини:
| Y\X | 26 | 30 | 41 | 50 |
| 2,3 | 0,05 | 0,12 | 0,08 | 0,04 |
| 2,7 | 0,09 | 0,3 | 0,11 | 0,21 |
Знайти закони розподілу складових.
4.3.10. Знайти ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник, обмежений прямими ; 
; 
; 
, якщо відома функція розподілу
.
4.3.11. Задана функція розподілу двовимірної випадкової величини
Знайти двовимірну щільність ймовірності системи .
4.3.12. Задана двовимірна щільність розподілу системи випадкових величин
.
Знайти функцію розподілу системи .
4.3.13. Задана двовимірна щільність розподілу системи випадкових величин
в квадраті 
, 
; 
по за межами квадрату.
Знайти функцію розподілу системи .
4.3.14. Задана двовимірна щільність розподілу системи випадкових величин
Знайти постійну 
.
4.3.15. В першому квадранті задана функція розподілу системи випадкових величин
Знайти двовимірну щільність розподілу системи, ймовірність попадання випадкової точки в трикутник з вершинами 
, 
, 
.
4.3.16. Щільність сумісного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини
.
Знайти постійну .
4.3.17. Щільність сумісного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини
.
Знайти математичне сподівання та дисперсію складових і
4.3.18. Щільність сумісного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини 
в квадраті 
, 
; по за межами квадрату. Знайти математичне сподівання складових і
4.3.19. Щільність сумісного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини 
в квадраті 
, ; по за межами квадрату. Знайти математичне сподівання та дисперсію складових і
4.3.20. Щільність сумісного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини 
в квадраті 
, 
; по за межами квадрату. Знайти математичне сподівання та дисперсію складових і .
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 459; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!