ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

Тема: «Законы распределения случайных величин»

НОРМАЛЬНОЕ (ГАУССА) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Нормальное распределение является наиболее часто используемой статистической моделью.

Теорема Для случайной величины, представляющей собой общий результат большого числа независимых воздействий, можно ожидать, что закон распределения будет тем ближе к нормальному, чем больше число наблюдений. Этот результат справедлив независимо от того, по какому закону распределена каждая из случайных величин, средняя из которых рассматривается.

Плотность нормального распределения:

Интегральная функция распределения:

где – соответственно математическое ожидание и стандарт.

Вид плотности вероятности для нормального распределения показан на рис. 1. Чем больше стандарт , тем значительнее разброс случайной величины вокруг ее среднего значения (при повышении точности результаты группируются около центра, при снижении точности рассеивание результатов увеличивается).

Рис. 1.

Для определения интеграла пользуются специальными таблицами интеграла вероятности Лапласа:

Интегральный закон принимает вид:

Вероятность того, что случайная величина окажется в интервале :

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :

ПРИМЕР 1

Случайная величина распределена по нормальному закону (рис. 2).

Найти вероятность отклонение случайной величины от среднего значения: , , .

Рис. 2. Плотность нормального распределения случайной величины

РЕШЕНИЕ

Вероятность обнаружить отклонение нормально распределенной величины от среднего значения, больше :

;

(68,27 %);

больше :

;

(95,44 %);

больше :

;

(99,73 %).

ПРИМЕР 2

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равны 10 и 2.

Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (12;14).

РЕШЕНИЕ

ПРИМЕР 3

Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью .

Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (-10;7).

РЕШЕНИЕ

ПРИМЕР 4

При изготовлении детали допускается случайная ошибка со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием .

Найти вероятность того, что в деталь изготовлена с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

РЕШЕНИЕ

ПРИМЕР 5

При изготовлении деталей размер - случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм.

Определить процент изготовленных деталей с отклонением от проектного размера менее 0,7 мм.

РЕШЕНИЕ

Вероятность отклонения размера, меньшего 0,7 мм равна 92%.

ПРИМЕР 6

Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием . Вероятность попадания в интервал (10;20) равна 0,3.

Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (0;10).

РЕШЕНИЕ

; .

Вероятность попадания в интервал (0;10):

БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Это распределение дискретной случайной величины вида

где - общее число реализаций случайной величины;

- вероятность появления искомого события при каждом независимом испытании;

;

- число сочетаний из элементов по .

Вероятность того, что случайная величина окажется в интервале :

ПРИМЕР 7

При проверке размеров детали вероятность нахождения ошибки равна 0,2. На проверку поступило 500 деталей.

Найти вероятность того, что ошибка будет обнаружена:

А) не более, чем в 120 деталях;

Б) не менее, чем в 130 деталях;

В) более, чем в 110, но менее, чем в 200 деталях.

РЕШЕНИЕ

Случайная величина - количество деталей , в которых обнаружена ошибка, подчиняется биноминальному закону.

А) ,

Б) ,

В) ,

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью

где - постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины , распределенной по показательному закону:

Математическое ожидание показательного распределения:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

ПРИМЕР 8

Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности

Найти вероятность того, что в результате испытания попадет в интервал (0,13;0,7).

РЕШЕНИЕ

ПРИМЕР 9

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности

РЕШЕНИЕ

; .

ПРИМЕР 10

Время прохождения машин через пост ДПС распределено по показательному закону .

Найти время ожидания очередной машины.

РЕШЕНИЕ

часа (12 минут).

ФУНКЦИЯ НАДЕЖНОСТИ

Экспоненциальное распределение служит распространенной статистической моделью для времени безотказной работы. Оно предполагает, что отказы происходят независимо друг от друга с постоянной интенсивностью.

Экспоненциальное распределение часто успешно описывает распределение времени безотказной работы систем, в которых каждый отказавший элемент заменяется работоспособным.

Пусть элемент начинает работать в момент времени , а в момент происходит отказ. - непрерывная случайная величина – длительность времени безотказной работы элемента; - интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Функция распределения длительности времени безотказной работы элемента:

определяет вероятность отказа элемента за время .

Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время :

Вероятность безотказной работы элемента в интервале не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала.

ПРИМЕР 11

Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение .

Найти вероятность того, что за время часов элемент откажет (не откажет).

РЕШЕНИЕ

- откажет;

- не откажет.

ПРИМЕР 12

Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы элементов имеет показательное распределение:

1-го элемента ;

2-го элемента .

Найти вероятность того, что за время часов:

А) оба элемента откажут;

Б) оба элемента не откажут;

В) только один элемент откажет;

Г) хотя бы один элемент откажет.

РЕШЕНИЕ

А) Вероятность отказа первого элемента

;

Вероятность отказа второго элемента

;

Вероятность отказа обоих элементов

Б) Вероятность безотказной работы первого элемента

;

Вероятность безотказной работы второго элемента

;

Вероятность безотказной работы обоих элементов

В) Вероятность того, что откажет только один элемент

Г) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет

ПРИМЕР 13

Испытывают три независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы элементов имеет показательное распределение:

1-го элемента ;

2-го элемента ;

3-го элемента .

Найти вероятность того, что за время часов откажут:

А) только один элемент;

Б) только два элемента;

В) все три элемента;

Г) хотя бы один элемент.

РЕШЕНИЕ

Вероятность отказа первого элемента

;

Вероятность отказа второго элемента

;

Вероятность отказа третьего элемента

Вероятность безотказной работы первого элемента

;

Вероятность безотказной работы второго элемента

;

Вероятность безотказной работы третьего элемента

А) Вероятность того, что только один элемент откажет

Б) Вероятность того, что только два элемента откажут

В) Вероятность того, что все три элемента откажут

Г) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу

где - число появлений события в независимых испытаниях;

- среднее число появлений события в испытаниях.

ПРИМЕР 14

Изготовили 1000 деталей. Вероятность того, что деталь имеет брак 0,01.

Найти вероятность того, что среди 1000 деталей будет 5 бракованных.

РЕШЕНИЕ

Число велико, вероятность - мала, рассматриваемые события независимы, поэтому:

где .

При :

ПРИМЕР 15

Магазин получил 500 бутылок. Вероятность повреждения бутылки в пути 0,002.

Найти вероятность того, что в пути было повреждено:

- три бутылки;

- менее трех бутылок;

- более трех бутылок;

- хотя бы одна бутылка.

РЕШЕНИЕ

Число велико, вероятность - мала, рассматриваемые события независимы, поэтому:

где .

При :

Более трех и не более трех – противоположны:

. Хотя бы одна и ни одной – противоположны:

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 397; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!