СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ
ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
При выявлении и описании зависимостей между случайными величинами по данным пассивного эксперимента применяют методы корреляционного и регрессивного анализов. Между случайными величинами может существовать, так называемая, корреляционная связь, при которой с изменением одной величины изменяется распределение другой. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости пользуются управлением регрессии.
Лабораторная работа №1 (6 часов)
Определение коэффициентов уравнения множественной регрессии.
Уравнение множественной регрессии, полученное по данным пассивного эксперимента, чаще всего записывается в виде линейного полинома:
; 2.1
где b0 – выборочный коэффициент, который называется свободным членом уравнения;
bj- выборочные коэффициенты, называемые линейными эффектами;
xj– входные измеряемые и регулируемые параметры технологического процесса (факторы);
y^– оценка выходного измеряемого параметра процесса;
к – число факторов.
В реальном технологическом процессе всегда существуют неуправляемые и неконтролируемые параметры и изменение величины выходного параметра у носит случайный характер. Поэтому при обработке экспериментальных данных получают выборочные коэффициенты b0 bj являющиеся оценками теоретических коэффициентов . Уравнение (2.1.) применяется для построения статистических моделей статики процессов химической технологии. Такая модель не несет необходимой информации о механизме процесса, его физико-химических свойствах. Однако уравнение регрессии может быть использовано для определения оптимальных условий протекания процессов, оптимальных составов приготовления смесей и т.п.
|
|
Предположим, что проведен пассивный эксперимент и полученные данные сведены в таблицу 2.1.
Таблица 2.1
№ опыта | Факторы | Выходной параметр (параллельные опыты) | |||||
X1 | X2 | y1 | …… | yu | ……….. | ym | |
1 | X11 | X21 | Y11 | …… | Y1u | …… | Y1m |
2 | X12 | X22 | Y21 | …… | Y2u | …… | Y2m |
….. | …… | …… | …… | …… | ….. | …… | …… |
i | X1i | X2i | Yi1 | …… | Yiu | …… | Yim |
…….. | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
N | X1N | X2N | yN1 | …… | YNu | …… | Ynm |
Здесь число N - число опытов параллельных опытов. Требуется определить математическую модель в виде линейного полинома для некоторого процесса, имеющего входные параметры X1 X2 и выходной параметр y .
(2.2.)
и выполнить корреляционный и регрессионный анализ.
Приведем схему корреляционного и регрессивного анализа по экспериментальным данным, когда каждый из N опытов повторен m раз. (табл. 2.1.)
|
|
В каждой строчке табл. 2.1 находится среднее значение величины по m параллельным опытам;
i=1,2,……N (2.3)
Затем вычисляется среднее значение выходного параметра по N опытам.
(2.4)
и среднее значение факторов
j = 1,2,…k (2.5)
находятся средние квадратические отклонения у хj соответственно Sy Sxj
(2.6)
j= 1,2….k; (2.7)
Для уменьшения трудностей, связанных с расчетом коэффициентов уравнения регрессии перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех значений по формулам:
(2.8)
I= 1,2,…N. (2.9)
Где Уоi Xjio -нормированные значения выходной величины и факторов. Результаты нормировки всех значений сводятся в табл. 2.2
Таблица 2.2
№ опыта | Факторы | Входной параметр | |
X1o | X2o | Уоi | |
1 | X11o | X21o | Уо1 |
2 | X12o | X22o | Уо2 |
.. | … | … | … |
I | X1io | X2io | Уоi |
…. | …. | … | … |
N | X1No | X2No | УоN |
В новом масштабе:
|
|
(2.10)
выборочные коэффициенты корреляции рассчитываются так:
(2.11)
выборочные коэффициенты корреляции, вычисленные по формулам (2.11) равны коэффициентам корреляции между переменными, выраженными в натуральном масштабе, т.е.
(2.12)
Доказано в математической статистике, что уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена:
(2.13)
Коэффициенты уравнения (2.13) а1 и а2 определяется методом наименьших квадратов.
(2.14)
или
(2.15)
Процедура нахождения коэффициентов а1 и а2 с сводится к задаче определения минимума функции Ф(а1,а2) . Необходимым условием минимума функции Ф(а1,а2) является.
(2.16)
Продифференцировав выражение (2.15) получим:
(2.17)
систему уравнений (2.17) можно записать так:
(2.18)
|
|
Перейдем к системе нормальных уравнений:
(2.19)
Уложим левую и правую части системы (2.19) на I(V-I). В первом уравнении получим следующие выражения при а1 и а2 (сравните выражения (2.10) и (2.11)).
(2.20)
(2.21)
Известно:
Учитывая выражения (2.20),(2.21) и (2.12), получим систему нормальных уравнений в виде:
(2.22)
Решив систему уравнений (2.22) находим коэффициенты а1 а2 . Значения , рассчитывают по формулам (2.11), используя данные таблицы 2.2 .
Пример:
Таблица 3.1
№ опыта | ФАКТОРЫ | Значения У в параллельных опытах
| |||
Х1 | Х2 | У1 | У2 | У3 | |
1 | 442 | 23 | 41 | 42,54 | 39,35 |
2 | 430 | 21 | 47,51 | 49,5 | 51,36 |
3 | 432 | 16 | 44,97 | 41,59 | 43,2 |
4 | 442 | 22 | 41,52 | 39 | 38,4 |
5 | 427 | 22 | 51,7 | 49,76 | 53,8 |
6 | 432 | 22 | 46,76 | 48,6 | 50,55 |
7 | 430 | 23 | 52,44 | 48,5 | 50,4 |
По результатам пассивного эксперимента (табл. 3.1) необходимо:
1. Найти математическую модель процесса в виде уравнения регрессии: (3.1)
2. Провести корреляционный и регрессионный анализ.
3. Используя полученную адекватную модель процесса, определить:
А. Направление изменения значений факторов, увеличивающее выход продукта;
Б. Максимальный выход продукта в исследуемой области изменения факторов.
Решение:
По формуле (2.3) для каждой строки табл. 3.1 находится среднее значение по трем (m=3) параллельным опытам.
40,963; 49,457; 43,253; 39,64;
51,753; 48,637; 50,447; (3.2)
среднее значение выходного параметра и факторов по 7 опытам вычисляются по формулам (2.4),(2.5):
среднее квадратичное отклонения (формулы (2.6), (2.7)
выполним нормировку всех значений по формулам (2.8),(2.9) и результаты запишем в табл. 3.2.
таблица 3.2
№ опыта | |||
1 | 1.406 | 0.704 | -1.09 |
2 | -0.595 | -0.119 | 0.642 |
3 | -0.262 | -2.177 | -0.623 |
4 | 1.406 | 0.292 | 1.359 |
5 | -1.096 | 0.292 | 1.108 |
6 | -0.262 | 0.292 | 0.475 |
7 | -0.595 | 0.704 | 0.843 |
В новом масштабе соответственно выражениям (2.10)
Выборочные коэффициенты корреляции рассчитываем по формулам(2.11).
Известно:
Определяем коэффициенты уравнения регрессии между нормированными переменными (2.13):
Соответственно выражению (2.22) записываем систему нормальных уравнений в виде:
(3.3)
Решив систему (3.3), находим коэффициенты и уравнение регрессии (2.13).
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 226; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!