Задача для самостоятельного решения
МиНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ государственное БЮДЖЕТНОЕ образовательное учреждение высшего профессионального образования
«тюменский государственный нефтегазовый университет»
Институт Транспорта
Кафедра сервиса автомобилей и технологических машин
ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Теория массового обслуживания» для студентов всех форм обучения специальности 190600.62 – «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов»
Тюмень
ТюмГНГУ
2012
Утверждено редакционно-издательским советом
Тюменского государственного нефтегазового университета
Составители: Сергиенко Е.В., к.т.н., доцент;
© Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет», 2012 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 «Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания». 4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 «Одноканальная СМО с ожиданием». 8
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 «Многоканальная СМО с отказами». 12
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 «Многоканальная СМО с ожиданием». 16
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 «СМО с ограниченным временем
ожидания». 20
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА.. 22
|
|
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.. 22
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ. 22
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Теория массового обслуживания» относится к дисциплинам по выбору и имеет своей целью: обучение студентов методам организации систем массового обслуживания, направленных на повышение эффективности использования станций технического обслуживания автомобильного транспорта.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
знанием программно-целевых методов и методик их использования при анализе и совершенствовании производства (ПК-12);
знанием состояния и направлений использования достижений науки и практики в профессиональной деятельности (ПК-13);
знанием методик эффективной организации работы предприятий эксплуатационного комплекса (ПК-14);
знанием специальной литературы и других информационных данных (в том числе на иностранном языке) для решения профессиональных задач (ПК-15);
знанием методов теоретического и экспериментального исследования с использованием современных методов планирования эксперимента, средств вычислительной техники (ПК-28);
знанием организационной структуры, методов управления и регулирования, критериев эффективности применительно к конкретным видам транспортных и технологических машин (ПК-30);
|
|
знанием и умением использования компьютерной техники и основ информатики при учете и оценке экономической эффективности выполняемой работы, расходовании материалов и средств предприятия (ПК-41);
способностью использовать методы инженерных расчетов и принятия инженерных и управленческих решений (ПК-44);
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать:
теорию массового обслуживания как особый способ познания реальных процессов, протекающих в различных системах;
методы математического моделирования;
Уметь:
проводить анализ простейших данных и их обработку;
использовать методы и модели теории массового обслуживания в транспортных и технологических системах;
создавать математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;
рассчитывать вероятностные модели для конкретных процессов и методы расчета параметров модели.
Владеть:
навыками расчета систем массового обслуживания;
методами моделирования транспортно-технологических машин с точки зрения теории массового обслуживания.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
«Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания»
|
|
Цель работы: приобрести навыки, ознакомится с различными методами расчета производительности одноканальной модели массового обслуживания
Теоретическая часть
Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительности обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид
f1(t) = le-lt, (0.1)
)
где l – интенсивность поступления заявок в систему.
Плотность распределения длительностей обслуживания:
f2(t) = me-mt, (0.2)
где m – интенсивность обслуживания.
Потоки заявок и обслуживаний простейшие.
Пусть система работает сотказами. Необходимо определить, абсолютную и относительную пропускную способность системы.
|
|
Представим данную систему массового обслуживания в видеграфа (рис. 2.1), у которого имеются два состояния: S0 – канал свободен (ожидание); S1 – канал занят (идет обслуживание заявки).
Рис. 0.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Обозначим вероятности состояний:
P0(t) – вероятность состояния «канал свободен»;
P1(t) – вероятность состояния «канал занят».
По размеченному графу состояний (рис. 2.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
. (0.3)
Система линейных дифференциальных уравнений (3) имеет решение с учетом нормировочного условия P0(t) + P1(t) = 1. Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:
(0.4)
P1(t) = 1 – P0(t). (0.5)
Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.
Действительно, P0 – вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0(t),т.е.
q = P0(t). (0.6)
По истечении большого интервала времени (при ) достигается стационарный (установившийся) режим:
, (0.7)
где q – относительная пропускная способность(доля обслуженных заявок от общего их количества, поступающего в систему).
Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность А – среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
(0.8)
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:
(0.9)
Данная величина Pотк может быть интерпретирована как средняя доля не обслуженных заявок среди поданных.
Типовая задача
Пример 1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей l = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания tоб=1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживаний являются простейшими. Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q; абсолютной пропускной способности А; вероятности отказа Ротк. Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.
Решение
1. Определим интенсивность потока обслуживания:
авто/час .
2. Вычислим относительную пропускную способность:
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.
3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:
А = lq = 1×0,356 = 0,356 авто.
Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.
4. Вероятность отказа:
Pотк = 1 - q = 1 - 0,356 = 0,644.
Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.
5. Определим номинальную пропускную способность системы:
(автомобилей в час).
Оказывается, что Аном в 1,5 раза (0,555/0,356 » 1,5) больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.
Задача для самостоятельного решения
Задание. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телефонном ателье поступают с интенсивностью, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону to6=2 мин.
Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
«Одноканальная СМО с ожиданием»
Цель работы: приобрести навыки, ознакомится с различными методами расчета производительности многоканальной модели массового обслуживания
Теоретическая часть
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью l. Интенсивность потока обслуживания равна m (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать m обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 2.
Рис. 0.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 «канал свободен»;
S1 «канал занят» (очереди нет);
S2 – «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);
Sk – «канал занят» (k-1 заявокстоит в очереди);
Sm+1 – «канал занят» (m заявок стоит в очереди).
Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
Пользуясь уравнениями для процесса гибели и размножения получим:
(0.10)
где – приведенная интенсивность (плотность) потока;
Тогда вероятность что занят 1 канал и к-1 мест в очереди:
Следует отметить, что выполнение условия стационарности < 1 для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать m), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N - 1):
вероятность отказа в обслуживании заявки;
; (0.11)
относительная пропускная способность системы:
; (0.12)
абсолютная пропускная способность:
А = ql; (0.13)
среднее число заявок, находящихся в очереди:
; (0.14)
среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:
(0.15)
среднее число заявок, находящихся в системе(связанных с СМО):
; (0.16)
среднее время пребывания заявки в системе:
Тсист.= Тож. + tоб; (0.17)
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
. (0.18)
Если имеется неограниченное число мест ожидания в очереди m, то вышеуказанные формулы справедливы только при ρ < 1, так как при ρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и при q=1, A=λq=λ.
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Типовая задача
Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность l = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение.
Интенсивность обслуживания автомобилей:
.(авто/час)
Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей l и m, т. е.
Вычислим предельные вероятности системы:
Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
Pотк = P4 = r4×P0 » 0,158.
Относительная пропускная способность поста диагностики:
q = 1 - Pотк= 1 - 0,158 = 0,842.
Абсолютная пропускная способность поста диагностики
А = lq = 0,85 × 0,842 = 0,716 (автомобиля в час).
Среднее число автомобилей, находящихся в системе – среднее число заявок, находящихся в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:
Среднее время пребывания автомобиля в системе складывается из среднего времени ожидания в очереди и продолжительности обслуживания (если заявка принята к обслуживанию):
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк = 0,158).
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 744; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!