Погонная индуктивность коаксиального кабеля
Найдем энергию магнитного поля <DWm> на отрезке кабеля длиной Dl. Эту энергию найдем, проинтегрировав плотность энергии магнитного поля по объему между двумя цилиндрами отрезка кабеля. Интегрировать будем в цилиндрической системе координат.
Подставим в явное выражение для плотности магнитной энергии, в результате получим следующее выражение:
Индуктивность DL отрезка кабеля Dl найдем с помощью энергии магнитного поля на этом отрезке. Для этого напишем формулу аналогичную формуле, для энергии магнитного поля в катушке.
(6.84)
В формуле (6.84) электрический ток берется в действительном виде. Найдем квадрат тока, используя выражение (6.57) для волны тока бегущей вдоль кабеля.
(6.85)
При усреднении по времени за один период колебания, экспоненты в формуле (6.85) исчезают. Поэтому поучаем следующее значение для среднего квадрата тока.
(6.86)
Теперь в формулу (6.84) подставим выражение (6.83) для энергии магнитного поля и выражение (6.86) для квадрата тока. В результате получаем следующую формулу для индуктивности отрезка кабеля.
(6.87)
В дальнейшем нам понадобится погонная индуктивность кабеля , или индуктивность единицы длины кабеля. Погонная индуктивность кабеля определяется следующим выражением.
(6.88)
(6.89)
Решение телеграфных уравнений для коаксиального кабеля.
|
|
Применим телеграфные уравнения для исследования распространения электромагнитного излучения вдоль коаксиального кабеля. Будем предполагать, что нет тока утечки между проводами. Поэтому будем использовать телеграфные уравнения в виде (6.142). Погонную емкость и погонную индуктивность кабеля будем вычислять по следующим формулам.
(6.144)
Погонное сопротивление будем считать заданной величиной.
Вначале рассмотрим волну в идеальном кабеле, и положим в уравнениях (6.142) погонное сопротивление равным нулю . Далее будем предполагать монохроматическую зависимость напряжения и тока от времени. (6.145)
Подставляем (6.30) в формулы (6.142), и получаем следующие уравнения.
(6.146)
Подставляем одно уравнение в системе (6.146) в другое. В результате получаем следующее дифференциальное уравнение для напряжения.
(6.147)
Аналогично получается дифференциальное уравнение для тока.
(6.148)
Общим решением уравнений (6.147), (6.148) являются следующие выражения.
(6.149)
|
|
Постоянные амплитуды напряжения и тока связываются друг с другом с помощью уравнений (6.146). В результате получаются следующие соотношения.
(6.150)
Объединяя формулы (6.145), (6.149) и (6.150) получаем решение телеграфных уравнений в виде бегущих монохроматических волн напряжения и тока.
(6.151)
Монохроматическая волна с амплитудой бежит в положительную сторону оси z, а волна с амплитудой бежит в отрицательную сторону оси z. Дисперсионное соотношение для этих волн имеет следующий вид.
(6.152)
Подставим значения погонной емкости и погонной индуктивности из формул (6.144) в формулу (6.152). В результате поучим следующее выражение.
(6.153)
Отсюда получаем фазовую скорость для волн напряжения и тока.
(6.154)
Эта фазовая скорость совпадает с фазовой скоростью монохроматического излучения в идеальной длинной линии (6.10).
Рассмотрим кабельную линию, ограниченную с одного конца. Пусть на расстоянии z = l кабель обрезан и нагружен на сопротивление нагрузки . На нагрузке выполняется закон Ома.
(6.155)
|
|
На решение (6.151) накладываем граничное условие (6.155). В результате получаем следующее отношение амплитуд отраженной и падающей волны.
(6.156)
Здесь – волновое сопротивление кабельной линии. Если выполняется условие , то в линии нет отраженной волны. Такой режим называют режимом бегущей волны.
Теперь в телеграфных уравнениях (6.142) учтем член с погонным сопротивлением, т.е. учтем наличие потерь в кабельной линии. Будем искать решение телеграфных уравнений (6.142) в виде монохроматической волны с затуханием вдоль оси z.
(6.157)
В формулах (6.157) постоянная распространения p является, вообще говоря, комплексным числом. Подставляем формулы (6.157) в телеграфные уравнения (6.142). В результате получаем следующую систему алгебраических уравнений.
(6.158)
Из системы (6.158) получаем следующее уравнение.
(6.159)
Постоянную распространения p разбиваем на действительную и мнимую части.
(6.160)
После подстановки (6.160) и простых преобразований, получаем следующие выражения.
(6.161) Если потери в линии малы, то чаще всего выполняется следующее условие. (6.162)
|
|
Условие (6.162) позволяет упростить формулы (6.161). В результате получаем более простые выражения.
(6.163)
Первое уравнение в (6.163) определяет действительную часть b постоянной распространения p. Она совпадает с постоянной распространения (6.152). Мнимая часть a постоянной распространения называется коэффициентом затухания. После подстановки выражения (6.160) в уравнения (6.157), последние принимают следующий вид.
(6.164)
Найдем отношение напряжений и токов в волнах (6.164) в двух точках на оси z, отстоящих на расстоянии l.
(6.165)
Как видно из формул (6.165) величины напряжений и токов уменьшаются в раз. Это отношение может быть измерено, а значит, может быть найден коэффициент затухания a. Затем по формуле (6.163) может быть определено погонное сопротивление .
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 987; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!