Пример реализации математической модели в системе Microsoft Excel
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В СХЕМАХ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Ознакомиться с методикой исследования переходных процессов в схемах с распределенными параметрами. Для заданного варианта схемы разработать математическую модель, реализовать ее на ПЭВМ, рассчитать переходный процесс и провести анализ полученных результатов.
ПРОГРАММА РАБОТЫ
1. Для заданного варианта схемы с распределенными параметрами (табл. П.3) разработать математическую модель, описывающую переходные процессы в исследуемой схеме.
2. Реализовать разработанный алгоритм в виде программы для ПЭВМ.
3. Рассчитать во временном диапазоне от 0 до 40 мкс изменения напряжения в узлах схемы при воздействии заданного импульса напряжения.
4. Составить отчет, который должен содержать:
- исходную расчетную схему и математическую модель для исследования
волновых процессов в заданной схеме;
- распечатку программы разработанного алгоритма;
- расчетные кривые изменения напряжения в исследуемых узлах схемы ;
- анализ полученных результатов.
ПОЯСНЕНИЯ К РАБОТЕ
При исследовании электромагнитных переходных процессов в электрической сети, последнюю можно представить в виде совокупности узлов, включающих элементы с сосредоточенными параметрами (моделирующими различное высоковольтное оборудование), соединенные между собой элементами с распределенными параметрами (воздушными или кабельными линиями). При этом в отличие от схем с сосредоточенными параметрами, где любая коммутация в схеме приводит к мгновенному изменению напряжения и тока во всех узлах цепи, в схемах, содержащих участки линий, изменения напряжений и токов в узлах происходят с некоторой задержкой по времени, поскольку узлы схемы соединены между собой элементами с распределенными параметрами, по которым электромагнитная волна распространяется с конечной скоростью, определяемой свойствами диэлектрической среды (воздуха для воздушной линии, элегаза – для газоизолированных линий, бумажно-пропитанная и пластмассовая изоляция – для кабельных линий). Определение изменения напряжения и токов в узлах такой схемы осуществляется на базе математической модели, которая содержит уравнения, описывающие переходные процессы в узлах схемы и уравнения длинной линии, связывающих эти узлы.
|
|
Рассмотрим математическую модель, описывающую переходные процессы в схеме, содержащей лишь два узла (рис.1), соединенные участком линии с параметрами l , n и ZВ , где l - длина линии, n - скорость распространения электромагнитной волны и ZВ - волновое сопротивление линии.
|
|
Рис. 1. К выводу уравнений, описывающих волновые
процессы в электрических сетях
При использовании метода обобщенных бегущих волн уравнения для узлов схемы записываются в виде
V21(t) = u1(t) + i21(t) ZВ ,
V12(t) = u2(t) + i12(t) ZВ ,
i1(t) = f1 [u1(t)] , (1) i2(t) = f 2[u2(t)] ,
где V12(t) и V21(t) – обобщенные волны, набегающие на узлы 1 и 2,
u1(t), u2(t) и i1(t), i2(t) - напряжения и токи в соответствующих узлах.
Уравнения (1) позволяют в каждый момент времени при известных значениях обобщенных волн, набегающих на узлы 1 и 2, определить напряжения и токи в этих узлах. Затем в этих узлах определяются обобщенные отраженные волны:
W21(t) = 2u2(t) – V12(t) ,
W12(t) = 2u1(t) – V21(t) . (2)
При неучете потерь в линии (R=G=0) отраженные волны будут падающими для узлов, через времена, равные временам пробега волн по линии, т.е. уравнения, связывающие узлы 1 и 2, записываются в виде
|
|
V12(t) = W12(t–t12) ,
V21(t)=W21(t–t21) , (3)
где t12= t21 = l/n - время пробега волны по линии длиной l,
0при t < t12 ,
=
1 при, t > t12 - обобщенная единичная функция.
Таким образом, математическая модель расчетной задачи состоит из уравнений (1), описывающих переходные процессы в узлах исследуемой схемы, и уравнений (2) и (3), описывающих волновые процессы в линии. На рис.2 приведена блок-схема и алгоритм, имитирующий движение прямых и обратных волн. Из рисунка видно, что для моделирования движения этих волн требуется два массива размерностью (N+1), где величина N зависит от времени пробега волны по линии и выбранного шага (h) расчета N= t12/h.
В общем случае шаг численного решения h определяется необходимой точностью решения узловых уравнений, временем пробега волны по линии, частотным спектром воздействующих на схему импульсов напряжения и видом нагрузки в узлах – наличием активных линейных или нелинейных элементов, а также элементов, запасающих энергию (емкостей или индуктивностей).
|
|
а)
б)
Рис. 2. Блок-схема программы (а) и алгоритм движения волн (б) для
исследования волновых процессов в схеме с двумя узлами 1 и 2,
соединенными линией с распределенными параметрами.
Современное развитие вычислительной техники позволяет не подходить строго к оптимальному выбору шага решения с точки зрения экономии машинного времени и обеспечения необходимой точности расчета, поэтому для исследования волновых процессов при воздействии на схему импульсов напряжения с достаточно крутыми фронтами и варьировании параметров R, L и C в реальных диапазонах их изменения согласно вычислительным экспериментам достаточно выбрать шаг расчета в диапазоне 0,01…0,1 мкс. При этом следует отметить, что шаг решения должен укладываться целое число раз во времени пробега волны по линии.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
При выполнении лабораторной работы каждому студенту выдается в соответствии с табл.П2 вариант расчетной схемы, для которой на базе разработанной математической модели, реализованной применительно к ПЭВМ, необходимо провести анализ волнового процесса при воздействии на схему (табл.П.3) импульса напряжения заданной формы (табл.П.4).
В качестве примера составим математическую модель, позволяющую исследовать электромагнитные переходные процессы, возникающие в схеме при ударе молнии в линию в непосредственной близости от кабельной вставки, в конце которой подключен ненагруженный трансформатор. На рис.3 представлены исходная и расчетная схемы замещения, содержащая три узла и связывающие эти узлы отрезки воздушной и кабельной линий. В схеме приняты следующие исходные данные:
e(t) - воздействующий импульс напряжения конечной длительности,
l1= 1500 м и l2= 600 м -соответственно, длины воздушной и кабельной линии,
n1= 300 м/мкс и n2= 150 м/мкс - скорости распространения электромагнитной волны по воздушной и кабельной линии,
Z = ZВ1= 400 Ом и ZВ2 = 40 Ом - волновые сопротивления ВЛ и КЛ,
Стр = 2000 пФ - входная емкость трансформатора на частоте грозового импульса напряжения.
Исходные уравнения для узлов записываются в виде:
узел 1:
V21(t) = u1(t) + i21(t) ZВ1 ,
u1(t) = e(t) – i(t) Z , (4)
i(t) = – i21(t),
W12(t) = 2u1(t) – V21(t).
а)
б)
Рис. 3. Исходная (а) и расчетная (б) схемы замещения для анализа
волновых процессов в схеме с распределенными параметрами
узел 2:
V12(t) = u2(t) + i12(t) ZВ1 ,
V32(t) = u2(t) + i32(t) ZВ2 ,
i12(t) = – i32(t), (5)
W21(t) = 2×u2(t) – V12(t) ,
W23(t) = 2×u2(t) – V32(t) .
узел 3:
V23(t) = u3(t) + i23(t) ZВ2 ,
i23(t) = Стр du3(t)/dt , (6)
W32(t) = 2u3(t) – V23(t) .
При неучете потерь в воздушной и кабельной линии приходящие в узлы волны определятся как:
V12(t) = W12(t–t12) ,
V21(t) = W21(t–t21) ,
V23(t) = W23(t–t23) , (7)
V32(t) = W32(t–t32) ,
где t12 и t23 - времена пробега волны по воздушной и кабельной линии, соответственно.
Для определения u1(t), u2(t) и u3(t) системы уравнений (4)…(6) целесообразно переписать в виде:
u1(t) = [V21(t) Z + e(t) ZВ1]/(Z + ZВ1) ,
u2(t) = [V12(t) ZВ2 + V32(t) ZВ1]/(ZВ1 + ZВ2) ,
du3(t)/dt = [V23(t) – U3(t)]/Cтр/ZВ2 , (8)
W12(t) = 2u1(t) – V21(t) , W21(t) = 2u2(t) – V12(t) ,
W23(t) = 2u2(t) – V32(t) , W32(t) = 2u3(t) – V23(t) .
При использовании для численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения dy(t)/dt = f [y(t), t], например, неявного метода трапеций, решение уравнения на (k+1)-м шаге интегрирования (t= k×h) запишется в виде
y[(k+1)h] = y(kh) + 0,5×h [f(yk+1,tk+1) + f(yk,tk)] . (9)
Соответственно, напряжение в узле 3 на (k+1)-ом шаге интегрирования можно определить как
u3(k+1) = [u3(k) + (V23(k) +V23(k+1) – u3(k))×h/2/ZВ2/Стр]/(1+ h/2/ZВ2/Cтр). (10)
Таким образом, расчет переходного процесса в исследуемой схеме сводится к решению системы уравнений (8) при известных значениях волн, приходящих в узлы схемы, определению волн, отраженных от узлов и имитации движения обобщенных волн по линиям в соответствии с волновыми уравнениями (7).
Для реализации этой модели может быть использована какая-либо из систем инженерных расчетов: MATLAB, Mathcad, EXCEL и др. Ниже приведены примеры использования для реализации рассмотренного алгоритма систем MATLAB и EXCEL
Пример реализации математической модели в системе MATLAB
Программа расчета переходных процессов в схеме, приведенной на рис.3, при использовании метода бегущих волн имеет вид:
% Исходные данные
tr=40e-6; - время расчета переходного процесса
h=0.1e-6; - шаг расчета
L1=1500;L2=600; - длина ВЛ и КЛ
v1=300.e6;v2=150.e6; - скорости распр. волн по ВЛ и КЛ
Z1=400;Z2=40; - волновые сопротивления ВЛ и КЛ
C=2e-9; - входная емкость трансформатора
U0=1; - амплитуда воздействующей волны
ti=2e-6; - длительность срезанного импульса
U3k=0; - начальное значение U3(t)
nt=tr/h; - количество циклов по времени
% Начальные значения массивов напряжений и времени
UM1=0;UM2=0;UM3=0;tm=0;
% Формирование размерности для массивов волн
N1=round(1+L1/v1/h);
N2=round(1+L2/v2/h);
% Формирование начальных (нулевых) массивов волн
V12=zeros(1,N1);
V21=zeros(1,N1);
V23=zeros(1,N2);
V32=zeros(1,N2);
% Расчет волнового процесса (цикл по времени)
for k=1:nt
t=k*h;
% if(t<=ti)
% e=2*U0-2*U0*(ti-t)/ti;
% else - срезанный импульс
% e=0;
% end
e=2*U0; - прямоугольный импульс
% Сдвиг волн на шаге расчета
for i=N1:-1:2
V12(i)=V12(i-1);
V21(i)=V21(i-1);
end
for i=N2:-1:2
V23(i)=V23(i-1);
V32(i)=V32(i-1);
end
% Вычисление значений напряжения в узлах
U1=(V21(N1)+e)/2;
U2=(V12(N1)*Z2+V32(N2)*Z1)/(Z1+Z2);
U3=(U3k+h*(V23(N2)+V23(N2-1)-U3k)/2/Z2/C)/(1+h/2/Z2/C);
U3k=U3;
% Формирование массивов напряжений и времени
UM1=[UM1 U1];
UM2=[UM2 U2];
UM3=[UM3 U3];
tm=[tm t*1.e6];
% Вычисление отраженных (падающих) волн
V12(1)=2*U1-V21(N1);
V21(1)=2*U2-V12(N1);
V23(1)=2*U2-V32(N2);
V32(1)=2*U3-V23(N2);
end
subplot(311),plot(tm,UM1,'blue'),grid;
title('Расчетные кривые изменения u(t) в узлах')
ylabel('u1(t)')
subplot(312),plot(tm,UM2,'blue'),grid; - вывод графиков ui(t)
ylabel('u2(t)')
subplot(313),plot(tm,UM3,'blue'),grid;
xlabel('t, мкс')
ylabel('u3(t)')
Для выяснения особенностей протекания переходных процессов в исследуемой схеме рассмотрено воздействие двух видов грозовых волн:
- по ВЛ набегает срезанная волна, образовавшаяся при перекрытии линейной изоляции воздушной линии (вариант №1 табл.П 4),
- по ВЛ набегает прямоугольная волна бесконечной длительности, имитирующая в первом приближении полную волну с крутым фронтом (вариант №7 табл.П.4 ).
На рис.4 и 5 приведены расчетные кривые изменения напряжения в узлах исследуемой схемы при воздействии импульса напряжения различной длительности. Из приведенных рисунков видно, что характер изменения напряжения в конкретных узлах схемы зависит как от формы воздействующего импульса напряжения, так и от параметров схемы, в частности, от соотношения волновых сопротивлений линий в месте их сопряжения и времени пробега волн по участкам линий.
Анализ приведенных на рис.4 расчетных осциллограмм показывает, что при воздействии на схему срезанной волны напряжения (импульса с длительностью tи= 2 мкс) форма изменения напряжения в исследуемых узлах повторяет форму воздействующего импульса напряжения, а амплитуда определяется коэффициентами преломления в соответствующих узлах. Последнее связано с отсутствием наложения преломленных и отраженных волн в любой точке схемы с распределенными параметрами. В рассматриваемом случае очень легко проверить работоспособность разработанной математической модели и правильность ее реализации на ПЭВМ.
Например, в первом узле второй импульс напряжения появляется через время t=2×t12=2×l1/n1=2×1500/300=10мкс с отрицательной амплитудой, определяемой коэффициентом отражения в узле b21= (ZВ2 –ZВ1)/ (ZВ2 +ZВ1) = (40 – 400)/(40 +400) = – 0,82.
Во втором узле через время, равное t12 = l1/n1=1500/300 = 5мкс , появляется импульс напряжения с амплитудой, определяемой коэффициентом преломления в месте сопряжения ВЛ и КЛ a12=2×Z2/(Z2 +Z1)= 0,18.
В третьем узле схемы напряжение на трансформаторе (емкости) появляется через время t = t12+t23 = 1500/300 + 600/150 = 9 мкс с практически удвоенной амплитудой по отношению к величине напряжения в узле 2. В дальнейшем появление импульсов напряжения в схеме с убывающими амплитудами обусловлено преломлением и отражением волн в кабельной вставке, нагруженной на входную емкость трансформатора.
Иной характер волнового процесса будет иметь место при воздействии на исследуемую схему импульса напряжения бесконечной длительности (рис.5,а). В этом случае за счет многократного отражения и наложения волн емкость кабельной вставки заряжается до существенно большего значения напряжения. Если же заменить кабельную вставку (волновое сопротивление которой на порядок меньше волнового сопротивления ВЛ) на участок воздушной линии (ZВ2=ZВ1), то преломленных и отраженных волн в узле 2 не будет (b21= 0, a12= 1) и вся схема зарядится до двойного напряжения по отношению к воздействующей волне U0=1 (рис.5,б). Это обусловлено тем, что при t = ¥ частота изменения воздействующего прямоугольного импульса напряжения равна нулю и нагрузка в узле 3 схемы представляет собой бесконечно большое сопротивление (XC=1/wC®¥), т.е. линия не нагружена. Следует также отметить кратковременное понижение напряжения в узлах 2 и 3 исследуемой схемы при приходе отрицательной отраженной волны от третьего узла (при tфр @ 0 w®¥ , XC®0 и следовательно b32= -1).
Рис.4. Расчетные кривые изменения напряжения в узлах исследуемой схемы
при воздействии импульса напряжения конечной длительности (tи= 2 мкс)
а)
б)
Рис. 5. Расчетные кривые изменения напряжения в узлах исследуемой схемы
при воздействии импульса напряжения бесконечной длительности и
варьировании значений ZВ1 и ZВ2 : а) - ZВ1 =10×ZВ2 , б) - ZВ1 = ZВ2
Пример реализации математической модели в системе Microsoft Excel
Для расчета переходных процессов с помощью метода бегущих волн можно использовать также систему Microsoft Excel. В этом случае составляется расчетная таблица, столбцы которой предназначены либо для вычисления по формулам (8) одной из величин (u1, W12, u2, W21, W23, u3, W32 ) либо для имитации в соответствии с уравнениями (7) запаздывания волн (волна отраженная от одного узла через время t=l/n станет для другого узла приходящей). Одна строка таблицы соответствует одному шагу расчета.
Пример использования системы Microsoft Excel для расчета переходных процессов в исследуемой схеме при воздействии срезанной волны с амплитудой U0=200 приведен в табл.1. Графическая иллюстрация полученных расчетных кривых дана на рис.6.
Рис. 6 Кривые изменения напряжения в узлах исследуемой схемы при
расчете переходного процесса с помощью Microsoft Excel
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Чем отличается моделирование электромагнитных переходных процессов в схемах с сосредоточенными и распределенными параметрами?
2. Какие основные факторы влияют на форму и амплитуду изменения напряжения в узлах исследуемой схемы?
3. Как влияют на характер волнового процесса сосредоточенные элементы (R, L и C) при воздействии на схему с распределенными параметрами прямоугольного импульса напряжения бесконечной длительности?
4. Для своего варианта схемы качественно оценить как изменится переходный процесс если изменить один из следующих параметров: форму воздействующего импульса напряжения, длину или волновое сопротивление i-го участка схемы)?
ЛИТЕРАТУРА
1. К.П. Кадомская.- Волновые процессы и перенапряжения в электрических сетях. Сб. задач/ Новосиб. гос. техн. ун-т.- Новосибирск 1994.- 89 с.
2. К.П. Кадомская, Н.В. Цуркан. – Волновые процессы в воздушных и кабельных линиях электропередачи. Методические указания к лабораторному практикуму по курсу "Вычислительная техника и программирование"/ НЭТИ.- Новосибирск 1991.- 23 с.
3. Перенапряжения в электрических системах и защита от них: Учебник для вузов/ В.В. Базуткин, К.П. Кадомская, М.В. Костенко, Ю.А. Михайлов.- СПб.: Энергоатомиздат, Санкт-Петербург.отд-ние,1995.- 320 с.
4. К.П. Кадомская. - Перенапряжения в энергосистемах.Часть 1.Волновые процессы в ВЛ и КЛ.Учебное пособие для студентов IV-V курсов электроэнергетического факультета/ Новосибирск, 1980.-100с.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 300; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!