ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Лабораторная работа №1
ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА
Цель работы
Изучение методики построения вариационного ряда.
Закрепление навыков составления программ для ЭВМ.
Краткая теория
Все допустимые значения случайной величины образуют генеральную совокупность. Ограниченный набор значений из генеральной совокупности называют выборкой. Количество элементов в выборке называют объемом выборки.
Обычно элементы в исходной выборке не упорядочены, то есть их последовательность не подчиняется какой-либо закономерности. На первом этапе обработки выборки ее элементы переставляют так, чтобы образовалась последовательность в порядке возрастания значений:
.
.
Такая последовательность называется вариационным рядом. Здесь n – объем выборки.
При большом объеме выборки n построение вариационного ряда рекомендуется производить с помощью ЭВМ. Для составления программы на алгоритмическом языке QBASIC в приложении приведены некоторые типовые операторы, а также примеры составления программ с использованием указанных операторов (применительно к статистическим расчетам).
Задание на выполнение работы
1. Составить блок-схему и программу для построения вариационного ряда.
2. Получить у преподавателя выборку случайной величины.
3. Ввести программу в ЭВМ, произвести ее отладку и переписать вариационный ряд в свой отчет.
|
|
|
Контрольные вопросы
1. Что понимается под генеральной совокупностью?
2. Что понимается под выборкой случайной величины?
3. Что такое объем выборки?
4. Сколько выборок может включать в себя генеральная совокупность?
5. Что понимается под вариационным рядом?
6. Расскажите о программе для построения вариационного ряда.
Лабораторная работа №2
ПОСТРОЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА
Цель работы
Изучение методики построения статистического ряда.
Представление ряда в табличной и графической формах.
Краткая теория
В статистическом ряду весь диапазон изменения значений элементов выборки, называемый размахом варьирования, делится на несколько интервалов или классов. Всем элементам выборки, относящимся к конкретному классу, присваивается новое значение, равное середине этого класса. Статистический ряд представляет собой зависимость числа элементов выборки, попавших в тот или иной класс, от значения середины класса.
Порядок построения статистического ряда
1. Определяется размах варьирования случайной величины
, (2.1)
|
|
|
где 
– левая граница размаха варьирования; 
– первый элемент вариационного ряда; 
– правая граница размаха варьирования; 
– старший (последний) элемент выборки.
2. Определяется число классов, на которое будет делиться размах варьирования:
. (2.2)
Здесь n – объем выборки. Полученное по формуле (2.2) число округляется до целого числа.
3. Определяется ширина одного класса:
. (2.3)
Значение ширины класса b должно быть удобным для построения графиков. Для этого в этом числе должно быть по возможности минимальное количество значащих (отличных от нуля) разрядов. Это достигается путем подбора значений 
, 
и k.
4. Определяются левые и правые границы отдельных классов:
или
, (2.4)
где 
.
5. Определяются значения случайной величины в середине каждого класса:
. (2.5)
6. Определяется (абсолютная) частота попадания 
случайной величины в j-й класс. Для этого элементы вариационного ряда сравниваются с границами j-го класса. Если элемент 
вариационного ряда удовлетворяет условию:
|
|
|
(2.6)
тогда его относят к j-му 
классу.
7. Рассчитывается относительная частота попадания 
случайной величины в j-й класс.
8. Статистический ряд представляется в табличной форме (см. табл. 1).
9. Статистический ряд представляется на графике в виде гистограммы и полигона (многоугольника) распределения (см. рис. 2.1).
10. По графику оценивается наиболее вероятное значение случайной величины.
Таблица 1. Статистический ряд
Номер  класса
j
|
|
|
|
|
|
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| . | |||||
| . | |||||
| . | |||||
| k | |||||
| Сумма | 
| 
|
Задание на выполнение работы
1. Составить блок-схему и программу для построения статистического ряда.
2. Набрать программу вместе с полученной у преподавателя выборкой в ЭВМ.
3. Отладить программу и построить статистический ряд в табличной форме.
4. Графически представить статистический ряд.
5. Сделать выводы по обработанной выборке о распределении случайной величины по числовым значениям.
|
|
|
 |
Многоугольник Гистограмма
распределения
 |
0 
x
Рис. 2.1. Гистограмма и многоугольник распределения
Контрольные вопросы
1. В чем отличие статистического ряда от вариационного?
2. Как Вы выбрали размах варьирования?
3. Как Вы выбрали число классов и почему?
4. Что такое частота попадания случайной величины в тот или иной класс?
5. Чему должна быть равна сумма частот попадания по всем классам?
6. Чему равна сумма относительных частот попадания по всем классам?
7. Как Вы определили наиболее вероятное значение случайной величины в Вашей выборке?
Лабораторная работа №3
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Цель работы
Определение выборочных числовых характеристик дискретной случайой величины.
Краткая теория
Иногда выборку достаточно описать числовыми характеристиками. К ним относятся прежде всего начальные и центральные моменты.
Начальный момент l-го порядка дискретной случайной величины X представляет собой оценку математического ожидания значения 
:
(3.1)
где n – объем выборки; 
– i-й элемент вариационного ряда 
; 
- относительная частота попадания случайной величины в
j-й класс 
; k – количество классов статистического ряда.
Знак приближенного равенства в формуле (3.1) указывает на то, что моменты 
, вычисленные для статистического ряда, могут не совпадать с моментами, вычисленными для вариационного ряда той же самой выборки.
Одной из важнейших числовых характеристик является начальный момент первого порядка, который называют выборочным средним значением:
(3.2)
Центральный момент l-го порядка дискретной случайной величины является оценкой математического ожидания значения 
:
. (3.3)
Другой важной числовой характеристикой выборки является выборочная дисперсия, представляющая собой второй центральный момент, то есть:
. (3.4)
Значение 
дает оценку генеральной дисперсии 
, умноженной на 
:
.
Другими словами, смещена относительно на величину 
.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является другая выборочная дисперсия, а именно:
. (3.5)
Здесь b - ширина классов статистического ряда; 
- поправка Шеппарда.
Для повышения точности вычисления 
рекомендуется пользоваться формулой
. (3.6)
Квадратный корень из выборочной дисперсии называют выборочным средним квадратическим отклонением:
. (3.7)
Для характеристики выборок иногда пользуются и другими величинами.
Такими величинами являются коэффициент (или показатель) асимметрии («скошенности»)
(3.8)
и показатель эксцесса («крутости»)
(3.9)
Задание на выполнение работы
Используя вариационный и статистический ряды, определить выборочные числовые характеристики: среднее значение, смещенную и несмещенную дисперсии, среднее квадратическое отклонение, показатели асимметрии и эксцесса. Сравнить друг с другом значения числовых характеристик, вычисленные для вариационного и статистического рядов. Обратить внимание на разницу между смещенной и несмещенной дисперсией.
Порядок выполнения работы
1. Дополнить программу, составленную на предыдущих занятиях, блоком для вычисления выборочных числовых характеристик.
2. Отладить программу и определить выборочные числовые характеристики для Вашей выборки.
3. Сделать выводы по работе. Обратите внимание на форму гистограммы и значения показателей асимметрии и эксцесса.
Контрольные вопросы
1. Запишите формулу начального момента второго порядка для вариационного ряда; для статистического ряда.
2. Что понимается под выборочным средним значением?
3. Как вычислить центральный момент третьего порядка для вариационного ряда? Для статистического ряда?
4. Запишите формулы для смещенной и несмещенной дисперсии.
5. Как определить среднее квадратическое отклонение?
6. Что характеризуют асимметрия и эксцесс?
7. Как повысить точность вычислений центральных моментов второго и более старшего порядков?
Лабораторная работа №4
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 400; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!