Совокупность каких-либо n векторов, взятых из системы векторов ранга n, образующая линейно независимую систему, называется базисом исходной системы векторов

Учитывая это определение, из ранее рассмотренного следует справедливость следующих утверждений:

1. Любая пара неколлинеарных векторов системы векторов на плоскости может быть взята как базис этой системы, т.е., если  и  - неколлинеарны и взяты как базис этой системы векторов на плоскости, то любой вектор  этой системы может быть выражен через выбранный базис равенством:    , где  - координаты вектора  относительно базиса  и , т.е.  

2. Любая тройка некомпланарных векторов системы векторов в пространстве может быть взята как базис этой системы, т.е., если  - некомпланарны и взяты как базис системы векторов в пространстве, то любой вектор  этой системы может быть выражен через выбранный базис равенством: , где  - координаты вектора  относительно базиса , т.е. .

 

Равенства  и  называются формулами разложения векторов системы по выбранным базисным векторам.

    Выбор базиса дает возможность однозначно поставить в соответствие каждому вектору системы упорядоченный набор чисел – координат вектора в выбранном базисе. И наоборот, каждому упорядоченному набору чисел в некотором базисе однозначно соответствует некоторый вектор.

 

Замечания:       1. Наиболее рационально выбирать в виде базиса орты  и                на плоскости и орты  в пространстве, т.е., разложение в этих случаях имеет вид:

                                  

                       или

2. Чтобы проверить линейную независимость векторов ,

 надо составить определитель из координат этих векторов и найти его значение. Если  векторы линейно независимы и образуют базис. Иначе, эти векторы называют компланарными.

    3.Чтобы найти координаты вектора в данном базисе    т.е.,  если выполняется равенство  необходимо составить систему уравнений относительно переменных x,y,z:

                                                          

    и решить эту систему уравнений любым из известных методов.

Найденные значения переменных x,y,z есть координаты вектора  в базисе

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

№ 1 а) Длина вектора на плоскости находится по одной из формул:

,   где .

или , где .

Найти длину вектора:

1)                 2) , где .

б) Длина вектора в пространстве находится по одной из формул:

где

или   где .

Найти длину вектора:

1)        2) , где .

 

№ 2 Направляющими косинусами вектора  называются числа  где

;    ; .

Найти длину вектора  и его направляющие косинусы.

№ 3 Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

.

Если векторы заданы в координатной форме, то скалярное произведение находят по формуле:

, если

или , если

Найти скалярное произведение векторов:

1)  если , .

2) , если

№ 4 Для нахождения угла между векторами используют одну из формул:

или       или 

Найти угол между векторами:

1)

2)  

3)  и   где А(6;-2), В(-4;8), С(0;-4), D(6;0).

№ 5 Правило умножения вектора на число:

.

Правило сложения векторов:

Выполнить действия:

 где

№ 6 Базисом  - мерного пространства  называют множество  линейно независимых векторов  - мерного пространства. Векторы  и  линейно независимы, если определитель, составленный из их координат, отличен от нуля:

Разложить вектор  по базису – значит представить этот вектор как линейную комбинацию базисных векторов:

Для нахождения неизвестных чисел  необходимо составить систему линейных алгебраических уравнений и решить ее любым способом.

Проверить, составляют ли векторы  и  базис в пространстве R³ и найти координаты вектора  в этом базисе:

№ 7 Два вектора  и  или  и  перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.

а) Перпендикулярны ли векторы:

б) При каком х перпендикулярны векторы   и ?

№ 8 Два вектора  и  или  и  коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.  или .

а) Коллинеарны ли векторы

б) При каком m коллинеарны векторы  и ?

II. «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА ПЛОСКОСТИ»

 

Уравнение кривой линии»

 

Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

Пусть на плоскости задана некоторая кривая линия. Координаты х и у точки, лежащей на этой линии, связаны определенным образом. Такая связь аналитически записывается в виде некоторого уравнения.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнением кривой линии на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

 

Общий вид такого уравнения:

.

 

Если точка М (х; у) передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты М (х; у) называются текущими координатами.

 

Установленная связь между линиями и их уравнениями позволяет изучать свойства линий путем анализа уравнений, соответствующих этим линиям. Отсюда и название предмета – аналитическая геометрия.

 

Уравнение прямой»

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение первой степени относительно переменных

х и у вида

                  Ах+Ву+С=0    

при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.

Виды уравнения прямой

Способ задания прямой	Вид уравнения	Пример
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом - , где  - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ox, прямая пересекает ось Oy в точке (0;b)		Дано: . Составить уравнение прямой и построить её.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом , прямая проходит через точку (x0;y0)
3. Уравнение прямой в отрезках – прямая пересекает ось Ox в точке (a, 0) и ось Oy в точке (0;b)	,
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки  и  (несовпадающие)
5. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку  параллельно направляющему вектору	,
6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку  перпендикулярно нормальному вектору
7.Уравнение прямой, проходящей через начало координат
8.Уравнение прямой, параллельной: оси оси
9.Уравнение прямой, совпадающей: с осью с осью
10. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку	, где  - произвольное число, кроме

 

I. Прикладные задачи.

v Деление отрезка в заданном отношении.

Точки  и  являются концами отрезка , а точка Î  делит его в отношении , т.е. .Координаты  точки  находят по формулам: ; .Если же  то получаем формулы для нахождения координат середины отрезка АВ:

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 339; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!