Тема 4. Основные понятия теории пределов
Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости с элементами векторной алгебры.
Нормальным вектором прямой называется вектор, перпендикулярный каждому вектору, лежащему на данной прямой.
Если известны координаты нормального вектора и известны координаты какой-либо точки прямой , то уравнение этой прямой можно записать в виде:
|
(1)
Прямая на плоскости может быть задана также своим общим уравнением:
|
(2)
Направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный любому вектору данной прямой.
Если известны координаты направляющего вектора и известны координаты какой-либо точки прямой , то уравнение этой прямой можно записать в виде:
|
(3)
Если известны координаты двух точек и прямой , то уравнение этой прямой имеет вид:
|
(4)
Расстояние от точки , не лежащей на прямой , до этой прямой можно найти по формуле:
|
|
|
(5)
где - коэффициенты общего уравнения (2).
Тема 2.Аналитическая геометрия в пространстве.
Нормальным вектором плоскости называется вектор, перпендикулярный каждому вектору, лежащему в данной плоскости.
Если известны координаты нормального вектора и известны координаты какой-либо точки плоскости , то уравнение этой плоскости можно записать в виде:
|
(6)
Плоскость в пространстве может быть задана также своим общим уравнением:
|
(7)
Расстояние от точки , не лежащей на плоскости , до этой плоскости можно найти по формуле:
|
, (8)
где - коэффициенты общего уравнения (11).
Рассмотрим в пространстве некоторую прямую , проходящую через точку и имеющую направляющий вектор . Уравнение этой прямой имеет вид:
|
(9)
|
|
Если известны координаты двух точек и прямой , то уравнение этой прямой можно записать в виде:
|
(10)
Угол между плоскостью, заданной общим уравнением (11), и прямой, заданной каноническими уравнениями (13), можно найти по формуле:
|
(11)
где - направляющий вектор прямой, - нормальный вектор плоскости.
Тема 3. Элементы линейной алгебры.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов. - элемент матрицы; i –номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Если число строк совпадает с числом столбцов , то матрица является квадратной.
Определителем 2-го порядка, соответствующим квадратной матрице , называется число, определяемое равенством:
|
(12)
Определителем 3-го порядка, соответствующим квадратной матрице , называется число, определяемое равенством:
|
(13)
Символически вычисление определителя 3-го порядка можно изобразить схемой:
|
|
т.е. с неизменным знаком берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; с противоположным знаком берутся произведения элементов, стоящих на второстепенной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными второстепенной диагонали.
Системой трёх линейных уравнений с тремя неизвестными называется система вида
где - числовые коэффициенты при неизвестных , образующие основную матрицу системы. Если определитель , соответствующий основной матрице, отличен от нуля (т.е. система невырожденная), то единственно существующее решение такой системы можно найти по формулам Крамера:
|
(14)
|
(15)
т.е. столбец коэффициентов при соответствующем неизвестном в главном определителе заменяется столбцом свободных членов, после чего определитель вычисляется по правилу треугольников (см. выше).
Тема 4. Основные понятия теории пределов.
| Число называется пределом функции при значениях аргумента , стремящихся к значению (обозначается ), если как бы малó ни было положительное число , всегда найдётся такое положительное число (зависящее от ), что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется и неравенство (то есть |
для всех значений аргумента , попадающих в интервал радиуса с центром в точке , разница между значениями функции и её пределом становится сколь угодно малой).
Число называется пределом функции при (обозначается ), если как бы малó ни было положительное число , всегда найдётся такое положительное число (зависящее от ), что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется и неравенство (то есть для всех значений аргумента , попадающих в интервалы или ( ), разница между значениями функции и её пределом становится сколь угодно малой).
Отметим некоторые свойства предела функции:
1) Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов слагаемых:
2) Предел произведения двух функций равен произведению пределов сомножителей:
3) Предел постоянной величины равен самой постоянной:
4) Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
5) Предел дроби равен отношению предела числителя к пределу знаменателя (если предел знаменателя отличен от нуля):
, при
Функция называется бесконечно большой при ( ), если ( ).
Функция называется бесконечно малой при ( ), если ( ).
Бесконечно малые и бесконечно большие функции связаны друг с другом следующим образом: если - бесконечно большая, то - бесконечно малая. И наоборот: если - бесконечно малая, то - бесконечно большая.
Если при отыскании предела рациональной дроби пределы числителя и знаменателя равны нулю (или бесконечны), то такие ситуации называют неопределённостями и символически обозначают (или ). Существуют и другие виды неопределённостей, например: , , , . Для каждого вида неопределённости существует свой метод её устранения.
Правило1: Для устранения неопределённости при , возникшей в пределе рациональной дроби, нужно в числителе и знаменателе выделить линейный множитель , дающий эту неопределённость, и сократить дробь.
Правило 2: Для устранения неопределённости при , возникшей в пределе рациональной дроби, нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень , присутствующую в этой дроби.
Число называется пределом функции слева в точке , если как бы малό ни было положительное число , всегда можно указать такое положительное число (зависящее от ), что для всех из интервала выполняется неравенство . Предел слева (левый предел) обозначается:
Аналогично определяется предел функции справа .
Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.
Функция называется непрерывной в точке ,если:
1) она определена в этой точке;
2)
Если нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то говорят, что функция терпит разрыв в точке а (или является разрывной).
Точки разрыва функции можно классифицировать следующим образом:
- если оба односторонних предела в точке а существуют и конечны (равные друг другу или различные), то точка а является точкой разрыва первого рода;
- если хотя бы один из односторонних пределов в точке а не существует или бесконечен, то точка а является точкой разрыва второго рода.
|
|
Поскольку определение вертикальной асимптоты совпадает с определением точки разрыва второго рода (см. выше), то можно утверждать, что вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва второго рода.
|
(16)
|
(17)
но только в том случае, если оба этих предела существуют и конечны.
В частности, при наклонная асимптота становится горизонтальной асимптотой .
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 219; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!