Измерения с однократными и многократными измерениями. Методы обработки результатов измерений
Однократные измерения.
Большинство технических измерений являются однократными. В производственных условиях их точность может быть вполне приемлемой. При однократных измерениях процедура измерений регламентируется заранее, с тем чтобы при известной точности средств измерений и условиях измерений погрешность не превзошла определенное значение. Так как такие измерения выполняют без повторений, то нельзя отделить случайные погрешности от систематических. Для оценки погрешность дают лишь ее границы с учетом возможных влияющих величин.
Однократные измерения возможны при следующих условиях:
- объем априорной информации об объекте измерений такой, что однократные измерения не вызывают сомнений;
- изучен метод измерения, его погрешности заранее устранены, либо оценены;
- метрологические характеристики средств измерений соответствуют установленным нормам.
При однократных измерениях возможно образование инструментальной, методической, субъективной погрешностей. Если последние две погрешности не превышают 15% погрешности средства измерений, то погрешность измерения принимают равной погрешности используемого средства измерений.
Однократный отсчет показаний может содержать промах. Во избежание промаха рекомендуется повторять измерения 2-3- раза, приняв за результат среднее арифметическое.
В простейшем случае, если влияющие величины соответствуют нормальной области значений, погрешность результата прямого однократного измерения равна основной погрешности средства измерений Δ, определяемой по нормативно-технической документации. Тогда результат измерения записывают в виде:
|
|
А = xСИ ± ΔСИ, Р, (10)
где xСИ– результат (среднее арифметическое значение из 2-3 единичных измерений), зафиксированный средством измерений.
Доверительная вероятность Р, как правило, составляет 0,95. При проведении измерений в условиях, отличающихся от нормальных, необходимо определять и учитывать пределы дополнительных погрешностей, вызванных имеющимися отличиями.
Пример. Произведены измерения длины L = 50 ± 0,3 ммстержня штангенциркулем ШЦ-П, основная погрешность которого составляет ΔСИ = ± 0,05 мм. Получены следующие результаты x1 = 50,10 мм; x2= 50,20 мм; x3 = 50,15 мм.Записать окончательный результат измерений в стандартной форме.
Среднее арифметическое измеряемого размера: = 50,15.
Результат измерения запишем в виде: А = 50,15 ± 0,05; 0,95.
Многократные измерения.
Основная задача обработки многократных измерений заключается в нахождении результата измерения физической величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное (действительное) значение.
|
|
Исходной информацией для обработки является ряд из n(n>4) результатов единичных измерений x1, x2, …, xn, из которых исключены известныесистематические погрешности. Число измерений зависит от требований точности получаемого результата и от реальной возможности выполнения повторных измерений.
Последовательность обработки результатов многократных измерений включает в себя ряд этапов:
1) исключение из результатов измерений известных систематических погрешностей;
2) вычисление среднего арифметического значения измеряемой величины из n единичных результатов;
3) вычисление среднего квадратического отклонения единичных измерений в ряду измерений σx;
4) исключение промахов (грубых погрешностей измерений);
5) вычисление среднего квадратического отклонения результата измерений среднего арифметического ;
6) проверку гипотезы о принадлежности результатовизмерений нормальному закону;
7) вычисление доверительных границ случайной погрешности измерений ±ε;
8) вычисление доверительных границ неисключенной систематической погрешности результата измерений ±θ;
9) вычисление доверительных границ погрешности результата измерений ±Δ;
|
|
10) представление результата измерения в виде А = ± ΔР, где Р – доверительная вероятность.
Известные систематические погрешности исключают введением в результат измерений соответствующих поправок, численно равным систематическим погрешностям, но противоположным им по знаку. Поправку вводят в результаты единичных измерений, а если известно, что результаты всех единичных измерений имеют одинаковые систематические погрешности, ее исключают из среднего арифметического значения измеряемой величины.
Среднее арифметическое значение измеряемой величины из n единичных результатов рассчитывают по формуле:
Для определения среднего квадратическогоотклонения (СКО) единичных измеренийв ряду измерений используют формулу:
Промахи (грубые погрешности) могут сильно исказить результат измерений, поэтому их исключение из ряда измерений обязательно.
Среднее квадратическоеотклонение результата измерений (СКО)среднего арифметического значения σxвычисляют по формуле:
Гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному закону проверяют с помощью специальных критериев, если число измерений n > 50; составной критерий используют, если 15 < n < 50. При n≤15 гипотезу о нормальном законе распределения результатов измерений не проверяют, предполагая, что вид закона распределения известен заранее. Это, как правило, нормальный закон распределения.
|
|
При заданном значении доверительной вероятности Р и числе единичных измерений n по таблицам функций определяют значения параметров.
Рассмотрим определение доверительного интервала результата измерений при отсутствии систематической погрешности.
Вероятность того, что истинное значение x измеряемой величины находится в пределах от xн до xв:
(14)
где q - уровень значимости.
Здесь Р называют доверительной вероятностью, а интервал от xн до xв– доверительным интервалом результатов измерений.
Будем полагать, что значение случайной величины xподчиняется нормальному закону распределения, то доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки и определяется из таблиц значений интегральной функции Лапласа Φ0(z):
(15)
где - аргумент функции Лапласа Φ0(z), отвечающий вероятности Р/2;
– доверительные границы погрешности результата измерений.
Полученный доверительный интервал определяется по формуле:
(16)
Вычисление доверительных границ производится, как правило, с доверительной вероятностью Р = 0,90; 0,95 или 0,99.
Пример. При многократном измерении диаметра вала равного 30 мм микрометром МК25-1 получены следующие результаты:
29,94 29,95 29,96 29,97 29,97 29,98 29,98.
Не учтенная систематическая погрешность, вызванная отклонением температуры вала от нормальной, θ = 2 мкм.
Определить, является ли результат x1 = 29,94 ммпромахом, найти и записать в стандартной форме результат измерений (доверительная вероятность Р = 0,95).
1. Определим среднее арифметическое значение измеряемой величины, мм:
2. Рассчитаем СКО единичных измерений, мм:
3. Так как число измерений n< 10,а закон распределения результатов единичных измерений неизвестен, промах вычислим с использованием критерия Романовского:
Для ближайшего меньшего n = 6 и q = 0,05(при Р = 0,95) по таблице Романовского найдем βт = 2,10, т.е. β < βти результат x1 = 29,94 промахом не является.
Таблица 1. Значения .
Уровень значимости q | Число измерений | ||||||
n=4 | n=6 | n=8 | n=10 | n=12 | n=14 | n=16 | |
0,01 | 1,73 | 2,16 | 2,43 | 2,62 | 2,75 | 2,90 | 3,08 |
0,02 | 1,72 | 2,13 | 2,37 | 2,54 | 2,66 | 2,80 | 2,96 |
0,05 | 1,71 | 2,10 | 2,27 | 2,41 | 2,52 | 2,69 | 2,78 |
0,10 | 1,69 | 2,00 | 2,17 | 2,29 | 2,39 | 2,49 | 2,62 |
4. Определим СКО результата измерений среднего арифметического значения, мм:
5. Для заданной вероятности Р = 0,95 и числа измерений n = 7по таблице коэффициентов Стьюдента (приК = 6) установим значение коэффициента Стьюдента tp = 2,45.
Таблица 2. Критерий Стьюдента (квантили Стьюдента).
Число степеней свободы k | ||||||||||||||
Довери-тельная вероят- ностьp | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 18 | 22 | 30 | 40 | 60 | 120 | |
0,90 | 2,35 | 2,13 | 2,01 | 1,94 | 1,86 | 1,81 | 1,78 | 1,73 | 1,72 | 1,70 | 1,68 | 1,67 | 1,66 | 1,64 |
0,95 | 3,18 | 2,78 | 2,57 | 2,45 | 2,31 | 2,23 | 2,18 | 2,10 | 2,07 | 2,04 | 2,02 | 2,00 | 1,98 | 1,96 |
0,99 | 5,84 | 4,60 | 4,03 | 3,71 | 3,36 | 3,17 | 3,06 | 2,98 | 2,82 | 2,75 | 2,70 | 2,86 | 2,62 | 2,58 |
Тогда доверительные границы случайной погрешности результата измерений, мм:
ε = ± 2,45·0,0057 = 0,013965 = ± 0,014.
6. Результат измерений запишем в виде: А = 29,964 ± 0,014, Р = 0,95.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 3549; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!