Некоторые распространенные весовые функции
Было предложено несколько вырезающих функций. Одной из наиболее широко используемых является весовая функция Хэмминга, которая определяется следующим образом:
= 0 в других случаях.
Характеристики функции Хэмминга и прямоугольной функции сравниваются на рис. 3 во временной и частотной областях. Во временной области функция Хэмминга более мягко выходит на нуль с обеих сторон. В частотной области амплитуда ее главного лепестка шире (примерно вдвое), чем амплитуда прямоугольной функции, но ее боковые лепестки меньше по сравнению с главным (примерно на 40 дБ меньше главного лепестка по сравнению с 14 дБ для прямоугольной функции). Вследствие этого функция Хэмминга даст фильтр с большей полосой перехода (поскольку у нее шире главный лепесток), но и большим затуханием в полосе подавления (поскольку уровни боковых лепестков меньше).
Связь ширины полосы перехода (от полосы пропускания к полосе подавления) фильтра, построенного на основе функции Хэмминга, с длиной фильтра выражается следующей формулой:
где N – длина фильтра, а – нормированная ширина полосы перехода. Максимальное затухание в полосе подавления, возможное при использовании функции Хэмминга, составляет порядка 53 дБ, а минимальная амплитуда неравномерности в полосе пропускания составляет около 0,0194 дБ.
Основные характеристики самых распространенных весовых функций собраны в табл. 3. Отметим, что первые четыре функции имеют фиксированные характеристики, такие как ширина перехода и затухание в полосе подавления. Следовательно, их использование ограничивает свободу разработчика. Отметим также, что фильтр, построенный с помощью метода взвешивания, имеет равные неравномерности в полосе пропускания и полосе подавления, т.е. . На практике это ограничение может дать фильтр, неравномерность которого в полосе пропускания будет излишне малой.
|
|
Таблица 3
Важные особенности распространенных весовых функций
Функция | Ширина перехода (нормированная), Гц | Неравномерность в полосе пропускания, дБ | Главный лепесток относительно бокового лепестка | Затухание в полосе подавления, дБ | Формула |
Прямоугольная | 0.9/N | 0.7416 | 13 | 21 | 1 |
Хеннинга | 3.1/N | 0.0546 | 31 | 44 | |
Хэмминга | 3.3/N | 0.0194 | 41 | 53 | |
Блэкмена | 5.5/N | 0.0017 | 57 | 75 | |
Кайзера | 2.93/N(β=4.54) 4.32/N(β=6.76) 5.71/N(β=8.96) | 0.0274 0.00275 0.000275 | 50 70 90 |
Рис. 3. Сравнение характеристик распространенных весовых функций во временной и частотной областях: а) прямоугольная функция; б) функция Хэмминга; в) функция Блэкмена
|
|
Окно Кайзера (Kaiser window function) несколько сглаживает очерченные выше проблемы, поскольку имеет параметр, управляющий неравномерностью, β, что позволяет разработчику играть на компромиссах между шириной перехода и неравномерностью. Функция Кайзера задается следующим образом:
= 0 в других случаях
где — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Управляющий параметр β отвечает за спад вырезающей функции на краях (во временной области). Для вычисления обычно используется следующее разложение в степенной ряд :
причем обычно L < 25. Эффективной реализацией указанного уравнения является алгоритм Кайзера.
При β = 0 функция Кайзера соответствует прямоугольной весовой функции, а при β = 5,44 функция весьма похожа на функцию Хэмминга (хотя и не идентична ей). Значение β определяется требованиями к затуханию в полосе подавления и его можно оценить с помощью одного из приведенных ниже эмпирических соотношений:
β = 0, если А < 21 дБ,
β = 0,5842(A – 21)0,4 + 0,07886(А – 21), если 21 дБ < А < 50 дБ
|
|
β = 0,1102(A – 8,7), если А > 50 дБ,
где А = - 20lg(δ) – затухание в полосе подавления, δ = min(δp, δs), поскольку неравномерности в полосе пропускания и полосе подавления приблизительно равны, δp – желаемая неравномерность в полосе пропускания, a δs – желаемая неравномерность в полосе подавления. Число коэффициентов фильтра N подчиняется зависимости
где – нормированная ширина полосы перехода. Далее полученные значения β и N используются для вычисления коэффициентов функции Кайзера w(n).
Метод взвешивания: резюме
1) Задать "идеальную" или желаемую частотную характеристику фильтра HD(ω)
2) Получить импульсную характеристику hD(n) желаемого фильтра, найдя
для этого Фурье–образ частотной характеристики. Выражения для
hD(n) стандартных частотно-избирательных фильтров приведены в табл. 2.
3) Выбрать весовую функцию, которая удовлетворяет требованиям к полосе пропускания или затуханию , а затем определить число коэффициентов фильтра, использовав подходящее выражение для связи длины фильтра с шириной перехода, (записываются через частоту дискретизации).
4) Получить значения выбранной весовой функции w(n) и значения коэффициентов реального КИХ–фильтра h(n), умножив hD(n) на w(n):
|
|
h(n) = hD(n) w(n).
Очевидно, что метод вырезания – это прямолинейный метод, включающий минимум вычислений. В действительности при таком подходе коэффициенты можно вычислить с помощью карманного калькулятора. Впрочем, существуют и компьютерные программы вычисления h(n), но следует отметить, что фильтр, полученный описанным способом, не является оптимальным, т.е. во многих случаях иные методы позволяют получить аналогичный фильтр с меньшим числом коэффициентов.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 1019; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!