Вектор как направленный отрезок
Вектор – это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:
Здесь точка А – начало вектора, а точка В – его конец. У вектора есть два параметра: его длина и направление.
Длина вектора – это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается
Равенство векторов.
Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули.
, т.е, если они совмещаются параллельным переносом (существует такой параллельный перенос, при котором начало и конец одного вектора совмещается с началом и концом другого вектора соответственно).
Операция умножения вектора на число и её свойства.
Произведением вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа, а направление совпадает с направлением умножаемого вектора, если число больше нуля, и противоположно ему, если число меньше нуля. (Если совсем просто, то это вектор в n раз длиннее данного, где n - данное число). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор
Свойства операций умножения вектора на число:
1) Сочетательное свойство умножения
2) Первое распределительное свойство
3) Второе распределительное свойство .
4) Нейтральным числом по умножению является единица, то есть .
При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.
|
|
5)
6)
Здесь и - произвольные векторы, а и - произвольные числа.
Коллинеарные векторы.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Выражение коллинеарных векторов друг через друга.
Пусть ,и пусть модуль вектора в раз превышает модуль вектора , т. е. .
Тогда .Таким образом, в векторе укладывается векторов .
Пусть теперь и . Тогда .
Сумма векторов и её свойства.
Суммой векторов с координатами a1, a2 и с координатами b1, b2 называется такой третий вектор с координатами а1 + b1, a2 + b2. Начало этого вектора совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольников)
А при совмещенных началах этих трех векторов, векторы и служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю . (правило параллелограмма)
Свойства суммы векторов:
1° - коммутативность
2° - ассоциативность
3°
4°
Противоположный вектор.
Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.
Разность векторов.
|
|
Разностью векторов и с координатами и называется вектор с координатами , т.е. это такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор.
2. Экстремумы: определение, необходимое условие, достаточные условия.
Экстре́мумы — максимальные или минимальные значения функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума
Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .
Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .
Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.
Точка называется точкой строгого локального максимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .
|
|
Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .
Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
необходимое условие
Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю , либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует. Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум
Достаточные условия
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
1. функция непрерывна в окрестности точки ;
2. или не существует;
3. производная при переходе через точку меняет свой знак.
Тогда в точке функция имеет экстремум,
|
|
причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс;
максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
1. найти производную ;
2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;
3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
4. найти значение функции в экстремальных точках.
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
1. она непрерывна в окрестности точки ;
2. первая производная в точке ;
3. в точке .
Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.
Билет 4
1. Линейная комбинация векторов.
Линейной комбинацией векторов называется вектор , получаемый из векторов этой системы путем умножения их на коэффициенты линейной комбинации и сложения, т. е.
Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.
Любой вектор можно разложить, и при том единственным образом, по двум данным неколлинеарным векторам. Т. е. если , где и – данные векторы, x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен на векторы и , причем x и y – коэффициенты разложения, определяемые единственным образом.
Компланарные векторы.
Компланарные векторы — это векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Вектор разложен по трём некомпланарным векторам , и , если его можно представить в виде , где , и — коэффициенты разложения. Числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. В этом случае пишут
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 989; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!