Приложения определенного интеграла
Вначале рассмотрим три наиболее часто встречающихся случая геометрического приложения определенного интеграла.
Случай 1. Для неотрицательной непрерывной функции y = f (x), заданной на отрезке [a, b], площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, осью Ох и графиком функции y = f (x) (заштрихована на рис. 15), определяется формулой:
Рис. 15.
ПРИМЕР: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = x2, заданной на отрезке [0, 1].
Искомая площадь S будет равна:
Случай 2. Если на отрезке [a, b] заданы две непрерывные и неотрицательные функции f (x) и g (x), причем всюду на отрезке выполняется неравенство f (x) ≤ g (x), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b и графиками этих функций (заштрихована на рис. 16), будет определяться формулой:
Рис. 16.
ПРИМЕР: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y1= 1 – x2; y2= x2+ 2, x = 0, x = 1.
Поскольку на заданном отрезке интегрирования [0, 1] выполняется неравенство y2 > y1, искомая площадь будет равна:
Случай 3. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной только графиками функций f (x) и g (x). Для решения этой задачи обычно используется формула случая 2. При этом в качестве пределов интегрирования используются корни уравнения f (x) = g (x), а на первое место в формуле случая 2 ставится та функция, которая не превышает другую на отрезке, определяемом найденными пределами интегрирования. Итак, площадь фигуры, заштрихованной на рис. 17, будет определяться формулой:
|
|
Рис. 17.
ПРИМЕР: Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций: y1 = x2 и y2 = 2 – x2.
Вначале найдем пределы интегрирования, решив уравнение y1 = y2, или x2 = 2 – x2. В результате получим: a = - 1, b = 1. Поскольку на отрезке [-1, 1] выполняется неравенство y2 ≥ y1, искомую площадь найдем по формуле:
Теперь рассмотрим одно из экономических приложений определенного интеграла. Пусть функция f (t) задает производительность труда в момент времени t, тогда объем продукции, выпущенный за время T, будет определяться формулой:
ПРИМЕР: Найти объем продукции, произведенной за 3 часа, если производительность труда определяется функцией .
Этот объем равен:
Приближенное вычисление определенных интегралов
Выше уже упоминалось о том, что достаточно мощным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница. Однако ее практическое применение бывает связанным с существенными трудностями, возникающими при достаточно сложном аналитическом виде подынтегральной функции. С другой стороны, эта формула оказывается вообще неприменимой, когда речь идет о функциях, первообразные которых не выражаются в элементарных функциях. В этих и некоторых других случаях часто используют численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого определенного интеграла с требуемой точностью.
|
|
Существуют различные численные методы или формулы приближенного вычисления определенных интегралов. Ниже рассматривается наиболее распространенная из них – формула трапеций.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная и неотрицательная функция y = f (x). Мы уже знаем, что определенный интеграл от этой функции по отрезку [a, b] численно равен площади под кривой ее графика на этом отрезке. Очевидно, что мы получим приближенное значение искомого интеграла, если вместо площади под кривой возьмем площадь под ломаной, расположенной достаточно близко к исходной кривой. Для построения этой ломаной разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длиной h = (b – a)/n каждая, и на каждом из полученных отрезков разбиения заменим участок кривой хордой, стягивающей концевые точки (рис. 18).
Тогда можно записать следующее приближенное равенство:
где Si – площадисоответствующих трапеций, каждая из которых равна:
|
|
Рис. 18
Поэтому будет справедливо следующее равенство:
где: Полученная в итоге формула и носит название формулы трапеций.
Доказано, что абсолютная погрешность D результата вычислений по формуле трапеций, т.е. величина разности между этим и истинным значением интеграла, может быть оценена по формуле:
где: (b - a) – длина отрезка интегрирования, n – количество отрезков разбиения, М2 – максимальное значение модуля второй производной подынтегральной функции на отрезке [a, b].
ПРИМЕР: Пользуясь формулой трапеций, найти приближенное значение интеграла и сравнить результат с точным значением.
Разобьем отрезок [1, 5] на 10 равных отрезков, длиной 0,4 каждый. Вычислим значения функции в точках разбиения:
xi | 1 | 1,4 | 1,8 | 2,2 | 2,6 | 3,0 | 3,4 | 3,8 | 4,2 | 4,6 | 5,0 |
yi | 1 | 1,96 | 3,24 | 4,84 | 6,76 | 9,0 | 11,56 | 14,44 | 17,64 | 21,16 | 25,0 |
По формуле трапеций имеем: Точное значение этого интеграла (убедитесь в этом сами) равно 124/3, следовательно, абсолютная погрешность нашего приближенного вычисления будет равна:
С другой стороны эту же погрешность можно оценить по приведенной выше формуле, в которой М2 = 2, т.к. f″(x) = 2:
|
|
Несобственные интегралы
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 447; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!