ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Дальнейшая обработка экспериментальной зависимости lnt от lnV предполагает использование формулы (8). Чтобы подчеркнуть линейный характер зависимости lnt от lnV, введем новые обозначения x=lnV, y=lnt , a=lnA. Тогда (8) примет обычный для линейной функции вид
. (10)
Задача состоит в нахождении таких значений a и b, при которых функция y=a+bx наилучшим образом соответствует опытным данным. (Смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).
За меру отклонения функции (10) от экспериментальных данных для i-го опыта выбирается величина (yi-a-bxi)2. Почему берется именно такая величина, а не просто (yi-a-bxi)? Ясно, что оба знака уклонения a+bxi от yi нехороши: плохо, если a и b, таковы, что yi<a+bxi, но также нехорошо, если a и b, таковы, что yi>a+bxi. Если бы за меру отклонения была бы взята величина yi-a-bxi, а затем находилась бы сумма отклонений в нескольких опытах, то можно было бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаком. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что параметры a и b подобраны удачно. Если же за меру отклонения берется (yi-a-bxi)2, то такого взаимного уничтожения не произойдет, так как все величины (yi-a-bxi)2>0.
В качестве меры общей ошибки S в описании опытных данных функцией y=a+bx берется сумма мер отклонений для всех опытов (их число обозначим l), т.е.
|
|
. (11)
Метод определения констант a и b, входящих в формулу (10), из требования минимальности общего отклонения, называется методом наименьших квадратов.
Таким образом, надо выбрать a и b, так, чтобы величина была наименьшей. Для этого используются правила нахождения экстремумов, известные из матанализа. Если бы a было уже найдено, то в правой части (11) можно было бы изменять только b, поэтому должно было бы быть так -
Аналогично, если бы было найдено b, то -
Эти два условия дают следующую систему уравнений для определения a и b
. (12)
Величины Sxi, Syi, Sxi2 и Sxiyi просто можно рассчитать по данным эксперимента. Тогда система (12) есть система 2-х линейных уравнений относительно 2-х неизвестных a и b. Решая ее любым способом, нетрудно получить
. (13)
Таким образом, параметры a и b, рассчитанные по формулам (13) дают наилучшее приближение функции (10) к экспериментальным данным.
Определив величины a и b, можно рассчитать среднеквадратичное отклонение S0, характеризующее степень отклонения данных от рассчитанной прямой, по формуле
|
|
. (14)
Здесь a и b - параметры прямой, вычисленные по формулам (13). Среднеквадратичные погрешности каждого параметра определяют по формулам
. (15)
Наконец, доверительные границы Da и Db параметров прямой при доверительной вероятности a рассчитываются следующим образом
, (16)
то есть коэффициент Стьюдента выбирается по таблицам для некоторой эффективной вероятности, равной (1+a)/2 и для числа точек, равного l-2. Например, если надо найти доверительные интервалы параметров прямой, полученных методом наименьших квадратов 10 точек (l=10) при доверительной вероятности a=0.9, то в формулы (16) необходимо подставить коэффициент Стьюдента t0,95, 8 = 2,36.
Определив параметр b, можно восстановить показатель в законе упругой силой. Для этого вспоминаем, что b=(1-n)/(1+n). Тогда для n получаем
. (17)
|
|
Погрешность Dn определяется как погрешность косвенного измерения по формуле
. (18)
где Db вычислено по формуле (16). Полученное значение n теперь можно сравнить с теоретическим, равным для шаров 3/2.
Определение константы k в законе (1) представляет существенно более сложную задачу. Учитывая, что a=lnA, имеем A=ea и, согласно формуле (7), получаем.
. (19)
Сложность вычисления k по этой формуле заключается в том, что интеграл , достаточно просто берется лишь для n, кратных ½. Этого для экспериментально определяемых n ожидать трудно. Для произвольных n этот интеграл можно выразить через, так называемую гамма-функцию, зависящую от n. Используя таблицы для гамма-функции, можно получить значение интеграла. Другим способом расчета значения I(n) является численное интегрирование на ЭВМ. Получив значение I(n) тем или иным способом, затем просто рассчитывается величина k. Отметим, что, в принципе, возможно определить и погрешность Dk, зная Dn и Da. Но эта задача представляет большие сложности и здесь не рассматривается.
|
|
Таким образом, определяются параметры в законе упругой силы (1). По известным k и n далее рассчитываются величина максимального сближения шаров h0 по формуле (5). Такие расчеты надо провести для максимальной и минимальной в данном эксперименте скоростях. После этого можно рассчитать по формуле (1) и силы, действующие в этих случаях при максимальном сжатии шаров.
Представляет интерес оценка площади контакта шаров, в момент максимального сжатия, что можно сделать, зная величину h, из геометрических соображений. Очевидно, что пятно контакта представляет собой круг, площадь которого можно считать равной площади основания шарового сегмента радиуса R и высотой h.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. От чего зависит и чем определяется время соударения?
2. Как определить по известному времени соударения t показатель n и значение k?
3. Два шара с R=R'=5cм и 1/D=2 10 7Па разведены на угол 30°. Определить величину максимального сближения шаров h0..
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 236; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!