Фільтри з максимально-плоскою характеристикою
Максимально плоска характеристика описується функцією Баттерворту:
. (1.8)
Дана функція виходить з функції (1.6) при і при прирівнюванні нулю максимального числа похідних як на частоті , так і на частоті . Графік цієї функції наведено на рис. 1.4. Фільтри з такою характеристикою називаються фільтрами Баттерворту.
Рисунок 1.4 - Частотні характеристики фільтру Баттерворту
Ціле число n в (1.8) - порядок фільтру. Чим вище порядок, тим ближче частотна характеристика до ідеальної прямокутної форми. Частота - частота зрізу. На частоті зрізу:
;
дБ.
Порядок фільтру визначається заданим значенням загасання Ап на межі смуги пропускання ωп і значенням загасання Аз на межі смуги загородження ωз (див. рис. 1.2). У випадку має місце:
дБ;
, дБ.
Звідси витікає формула для визначення порядку фільтру:
. (1.9)
Число n округляється до найближчого більшого цілого числа. Наприклад, для дБ, отримаємо
.
Беремо та забезпечуємо загасання більше 25 дБ.
Функції (1.8) на підставі (1.5), (1.7) відповідає передавальна функція за потужністю
. (1.10)
Для складання передавальної функції за напругою вибираються корені рівняння
, (1.11)
які лежать в лівій напівплощині комплексної площини. Наприклад, при розрахунок за допомогою Mathcad-програми дає наступний набір коренів:
|
|
Тут вектор N складений з коефіцієнтів полінома 6-го порядку:
.
Функція polyrootsзнаходить корені цього полінома. Ці корені розташовуються на колі одиничного радіусу через рівні кутові інтервали. Передавальну функцію за напругою складаємо з коренів із від’ємною дійсною частиною:
.
На рис.1.5 наведено АЧХ низькочастотного фільтру-прототипу, побудована Mathcad-програмою за даною передавальною функцією.
Рисунок 1.5 - АЧХ низькочастотного фільтру-прототипу Баттерворту 3-го порядку
Фільтри з Чебишевською характеристикою
Характеристика Чебишева описується функцією
, (1.12)
де - коефіцієнт нерівномірності характеристики в смузі пропускання, - поліном Чебишева першого роду n-го порядку, що визначається за формулою
. (1.13)
На інтервалі поліноми Чебишева мають осцилюючий характер, рівномірно відхиляючись від нуля на величину .
У явній формі поліноми Чебишева записуються наступним чином:
;
.
При використовується рекурентна формула
. (1.14)
У інтервалі поліноми Чебишева монотонно зростають.
|
|
Графік функції (1.12) для різного порядку n наведено на рис 1.6.
Рисунок 1.6 - Частотні характеристики фільтру Чебишева
На частоті зрізу має місце , тому
; (1.15)
. (1.16)
Для визначення порядку фільтру при і заданому значенні , а також при заданому значенні Аз на частоті ωз, використовується формула, що витікає з (1.12) - (1.16):
. (1.17)
Наприклад, для дБ, дБ, отримаємо
.
Беремо , забезпечуючи загасання Аз, більше 25 дБ.
Функції (1.12) на підставі (1.5), (1.7) відповідає передавальна функція
. (1.18)
Для складання передавальної функції береться коріння рівняння
, (1.19)
що лежать в лівій напівплощині комплексної площини Наприклад, при і ( дБ) рівняння (1.19) на підставі (1.14) запишеться у вигляді
.
Розрахунок за допомогою Mathcad-програми дає записані у векторі N коефіцієнти полінома, вказаного в квадратних дужках, і набір коренів цього рівняння, отриманий за допомогою функції polyroots:
Ці корені розташовуються на еліпсі через рівні кутові інтервали. Передавальну функцію за напругою складаємо з коренів із від’ємною дійсною частиною
|
|
,
де .
На рис 1.7 наведено АЧХ низькочастотного фільтру-прототипу, що побудована за допомогою Mathcad-програми за даною передавальною функцією.
Рисунок 1.7 - АЧХ низькочастотного фільтру-прототипу Чебишева 3-го порядку
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 280; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!