Решение двухмерной задачи электростатики МКЭ
Решим двухмерную задачу электростатики
, (3.1)
где – электрический потенциал; – относительная диэлектрическая проницаемость.
На рис. 3.1 приведена произвольная двухмерная область исследования . Здесь: – площадь боковой поверхности объема ; – длина контура двухмерной области; и .
Рис. 3.1. Исследуемая область
Применение метода Галёркина к уравнению (3.1) даст
. (3.2)
где – приближенное решение.
В результате применения метода Галеркина и последующих преобразований, получим
. (3.3)
Неизвестная функция в уравнении (3.3) определяется соотношением
(3.4)
Тогда
и (3.5)
Уравнение (3.3) с учетом выражений (3.4) и (3.5) запишется
(3.6)
Перепишем уравнение (3.6) в виде
(3.7)
Здесь: – матрица градиентов.
Выражение (3.7) в матричной форме можно записать как
, (3.8)
где – матрица коэффициентов.
Эффективная процедура решения задач МКЭ строится на том, что сначала определяются матрица коэффициентов и вектор столбец свободных членов для конкретного текущего конечного элемента. Все узловые неизвестные, которые не относятся к этому элементу, исключаются из рассмотрения.
|
|
Переходим к матрице по элементам
. (3.9)
Здесь: .
Будем считать, что постоянно в пределах элемента.
Интерполяционный полином для двухмерного линейного элемента имеет вид
, (3.10)
где ; ; или ;
; ; или ;
; ; или .
Тогда для треугольного симплекс-элемента матрица градиентов запишется
(3.11)
Определим члены уравнения для текущего элемента
(3.12)
ЗАДАНИЕ
Дан 2-х, 3-х или 4-х жильный экранированный кабель, заполненный однородной изоляцией. На рис. 3.2 приведена схема 3-х жильного кабеля. К внутренним областям приложены заданные значения потенциала (см. табл. 3.1). К экрану приложено значение потенциала, равное нулю. Найти распределение потенциала в изоляции кабеля. Варианты заданий представлены в таблице 3.1. Геометрические параметры расчетной области и разбиение ее на конечные элементы даны в электронной таблице.
|
|
Рис. 3.2. Поперечное сечение трехжильного кабеля
Таблица 3.1. Варианты заданий
Вариант № | Количество жил | , В | , В | , В | , В |
1 | 2 | 200 | -100 | – | – |
2 | 3 | 200 | -100 | 150 | – |
3 | 4 | 200 | -100 | 150 | 0 |
4 | 2 | 500 | 100 | – | – |
5 | 3 | 500 | 100 | 150 | – |
6 | 4 | 500 | 100 | 150 | -50 |
7 | 2 | -200 | -100 | – | – |
8 | 3 | -200 | -100 | 100 | – |
9 | 4 | -200 | -100 | 100 | 200 |
10 | 2 | 200 | 200 | – | – |
11 | 3 | 200 | 200 | -150 | – |
12 | 4 | 200 | 200 | -150 | -50 |
Отчет
1. Титульный лист
2. Задание
3. Постановка задачи
4. Результаты вычислений
5. Выводы
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 339; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!