Приложения двойных интегралов
Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел
Для их нахождения используют формулы:
, .
Пример 1.Вычислить площадь области , ограниченной линиями , .
Решение. Строим область (см. рис. 6).
Рис. 6.
Заметим, что её удобнее спроектировать на ось , т.к. область правильная в направлении оси .
Решая совместно данные уравнения линий границ, найдем координаты точек их пересечения:
Þ , ,
Линия входа – парабола, – её уравнение, разрешенное относительно . Линия выхода – прямая, – её уравнение, разрешенное относительно . Отрезок – проекция области на ось . Таким образом, область задается в виде системы неравенств: .
Площадь вычисляем по формуле
.
Пример 2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , .
Решение. По условию дано цилиндрическое тело, которое сверху ограничено плоскостью , с боков – параболическим цилиндром , образующие которого параллельны оси (см. рис. 7а). Основанием цилиндрического тела является проекция тела на плоскость , которая ограничена линиями: , (см. рис. 7б).
Рис. 7а. | Рис. 7б. |
Объем тела вычисляем по формуле:
.
Вычисление массы и статических моментов плоской пластинки
Из физики известно, что масса плоской пластинки равна интегралу от поверхностной плотности пластинки в точке по площади пластинки, т.е.
.
Статические моменты и плоской пластинки относительно осей и вычисляются по формулам
|
|
, .
Если пластинка однородна, то .
Пример.Найти массу неоднородной пластинки , ограниченной заданными линиями, если поверхностная плотность в каждой её точке ,
(рис. 8): , , ( ); .
Решение.
.
Рис. 8.
Вычисление координат центра тяжести плоской пластинки
Если - центр тяжести (масс) пластинки, то его координаты определяются по формулам
, ,
где - масса пластинки и , - её статические моменты относительно осей координат , соответственно.
Пример 1. Найти координаты центра тяжести пластинки с постоянной плотностью , если (рис .9): , , , .
Решение. , .
Найдем массу пластинки:
Рис. 9.
.
Теперь находим статические моменты пластинки:
;
.
Следовательно, , .
Пример 2. Найти координаты центра тяжести пластинки, ограниченной линиями , , если плотность .
Решение.
Вследствие симметрии пластинки относительно оси (см. рис. 10) центр тяжести находится на оси , т.е. .
Координата .
Рис. 10. Находим массу пластинки:
.
Вычислим статический момент :
|
|
.
Следовательно, , .
Вычисление моментов инерции плоской пластинки
Моменты инерции плоской пластинки с плотностью относительно координатных осей и вычисляются по формулам:
, .
Пример.Найти момент инерции однородной пластинки с плотностью , ограниченной прямыми , , , относительно оси (рис. 11).
Решение.
Рис. 11.
Пример решения контрольной работы
Задание 1. Вычислить массу и координаты центра тяжести (масс) пластины D, заданной линиями , ,если поверхностная плотность в каждой её точке . Координаты центра тяжести (масс) отметить на координатной плоскости вместе с изображением пластины D.
Решение.
Рис. 12. | а) Массу находим по формуле , где . Область D: имеет вид, изображённый на рисунке 12. |
б) Для нахождения координат центра тяжести (масс) пластины D воспользуемся формулами
, ,
где - масса пластины, и - её статические моменты.
, .
.
Следовательно, , .
Наносим на координатную плоскость центр тяжести M .
Задание 2. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:
, , , , .
Решение.
Рис.13. | Объём данного тела можно вычислить с помощью формулы , где – параболоид, область D – треугольник ОАВ (см. рис.13). |
|
|
= .
Варианты контрольной работы
Задание 1. Вычислить массу и координаты центра тяжести (масс) пластины D, заданной линиями с поверхностной плотностью в каждой её точке . Координаты центра тяжести (масс) отметить на координатной плоскости вместе с изображением пластины D.
1) D: , , , ;
2) D: , , , ;
3) D: , , ,
4) D: , , , , ;
5) D: , , , ;
6) D: , , ;
7) D: , , , ;
8) D: , , ;
9) D: , , ,
10) D: , , .
Задание 2. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:
1) , , , ,
2) , , , ,
3) , , , ,
4) , , , ,
5) , , , ,
6) , , , ,
7) , , , ,
8) , , , ,
9) , , , ,
10) , , , ,
Список литературы
1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для втузов: [в 2 т.] . Т. 2 / Н. С. Пискунов . - Изд. стер. . - М. : Интеграл-Пресс , 2009 . - 544 с.
2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов /В.С. Щипачев. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.
3. Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике: типовые расчеты: учеб. пособие / Л.А. Кузнецов. – Изд. 8-е, стер. – СПб.: Лань, 2006. – 239 с.
4. Рябушко, А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учебное пособие / А.П. Рябушко, в.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; под общей редакцией А.П. Рябушко. Ч.3. – Мн.: Выс.шк., 1991. – 288 с.: ил.
|
|
Оглавление
Введение …………………………………………………………………….. 3
1. Определение и свойства двойного интеграла…………………………... 3
2. Вычисление двойного интеграла ……………………………………..… 5
3. Примеры решения задач ………………………………………………… 6
4. Приложения двойных интегралов ………………………………………. 7
5. Пример решения контрольной работы ………………………………… 12
6. Варианты контрольной работы ………………………………………… 14
Список литературы ………………………………………………………… 15
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 3248; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!