Составление отношений и построение графиков

Тема программы: Соответствия между множествами. Отображения.

Цели работы:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Соответствия между множествами. Отображения», решить задачи.

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Соответствия между множествами. Отображения».

3) Формировать умение ставить цели и реализовывать их.

Цель работы:Получение практических навыков составления отношений и построения графиков.

Время выполнения: 1 час.

Теоретические основы

Понятия множества не определяется, а лишь поясняется на примерах. Можно говорить о множестве стульев в аудитории, о множестве деревьев в парке, о множестве машин на улицах города, о множестве людей на планете, о множестве людей в Европе, о множестве климатических зон, о множестве точек на прямой, о множестве натуральных чисел и т.п.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Если в множестве  имеется элемент , то пишут  и говорят, что элемент  входит в множество  (принадлежит множеству , содержится в множестве ).

Если элемент  в множество  не входит, то пишут .

Множества бывают конечные, бесконечные и пустые.

Множество называется конечным, если в нем содержится конечное число элементов.

Например, множество рек в Мордовии конечно, множество пустынь на Земле конечно, множество деревьев в тайге конечно.

Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.

Например, множество гор в Мордовии, высота которых более 5000 м., пустое.

Множество, которое не является ни конечным, ни пустым, называется бесконечным.

Например, множество натуральных чисел бесконечно, множество точек на окружности бесконечно и т. д.

Задать множество – означает указать необходимое и достаточное условие попадания элемента в данное множество.

Другими словами, указать набор признаков, по которым для любого объекта мы можем сказать, является этот объект элементом данного множества или не является.

Если множество конечное и все его элементы известны, то говорят, что множество задано перечислением своих элементов.

При этом, если множество  состоит из элементов , , , то пишут:

.

Если множество бесконечное или конечное, но мы не знаем его элементы, то задание множества осуществляется с помощью указания характеристического свойства элементов этого множества.

Характеристическим свойством элементов данного множества называется необходимое и достаточное условие попадания объекта в данное множество, выраженное словесно или с помощью математических символов.

Например:  читаем: множество  из таких элементов , которые являются вещественными числами, большими или равными 1. Характеристическое свойство элементов, входящих в множество  состоит из трёх положений:

1. объект должен быть числом,

2. объект должен быть вещественным числом,

3. объект должен быть вещественным числом, большим или равным единицы.

Элемент , который фигурирует в записи этого множества, называют текущим элементом множества .

Пустые множества обозначают символом .

При задании множества учитываются следующие договорённости:

1. При записи множества порядок символов, обозначающих элемент данного множества не существенен. Т. е., если множество  состоит из трёх элементов, обозначенных символами , , , то мы можем записать , а можем записать . Заметим, всего видов записи множества , состоящего из трёх элементов ; ;  шесть штук.

2. Один и тот же символ нельзя употреблять для обозначения двух разных элементов. Т. е., если один из элементов множества обозначен символом а, то второй элемент символом, а обозначить нельзя. Нужно применить другой символ, например, .

3. Два разных символа нельзя употреблять для обозначения одного и того же элемента. Заметим, ограничения 2 и 3 позволяют сделать вывод, что если мы имеем запись , то это значит, что в множестве  имеется в точности три различных элемента, а если мы имеем запись , то это не запись множества.

4. Элемент из множества можно взять столько раз, сколько это нужно для рассуждений.

Это означает, что вынимая из множества элемент а, мы не лишаемся его в множестве. Он там по-прежнему присутствует. И мы его можем вынимать столько раз, сколько нам требуется для рассуждений.

Пусть даны множества  и . При этом мы не указываем, какие это множества – конечные, бесконечные или пустые. Если каждый элемент множества  является элементом множества , т. е.

то говорят, что множество  есть подмножество множества , и пишут . При этом говорят, что множество  есть подмножество множества , и пишут .

По определению  и . Другими словами, у непустого множества всегда есть, по крайней мере, два подмножества  и . Эти подмножества называются несобственными подмножествами (тривиальными). Все остальные подмножества множества  называются собственными подмножествами.

Если множество  конечное и состоит из  элементов, то говорят, что множество  имеет длину  и пишут .

Если , то подмножеств у него .

Например, если , т. е. , то оно имеет  подмножеств: , , , , , , , . Других подмножеств у множества М нет.

Пусть даны множества  и .

Если  и , то множества  и  называются равными. Другими словами, множества  и  называются равными, если выполняются следующие условия:

(1)

(2) .

При этом пишут .

С помощью множеств  и  можно образовать другие множества.

Объединение множеств  и  называется такое множество , которое состоит из всех элементов множества  и всех элементов множества  и только из этих элементов.

Объединение множеств  и  обозначается символом .

Итак, .

Например, если , , то .

Пересечением множеств  и  называется такое множество , которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству  и множеству , и только из таких элементов.

Пересечение множеств  и  обозначают символом .

Итак, .

Например, если  и , то .

Разностью множеств  и  называется такое множество , которое состоит из элементов множества , не входящих в множество , и только из этих элементов.

Разность множеств  и  обозначают символом .

Итак, .

Например, если , , то , а .

В частности, если , то  называют дополнением множества  до множества  и обозначают символом _.

Например, если , , то .

Чтобы наглядно изобразить множества и их взаимосвязи, часто рисуют круги, находящиеся в аналогичных взаимосвязях. Каждый круг на рисунке изображает некоторое множество. При этом точки круга не ассоциируют с элементами множества. Т. е. круг может соответствовать как конечному множеству, так и бесконечному, так и пустому. Это изображение аналогично представлению множества в виде мешка, в котором находятся элементы множества. Мешок может содержать конечное число элементов, бесконечное число элементов, быть пустым.

Круги, с помощью которых наглядно изображаются множества, называются кругами Эйлера-Венна, а способ изображения множеств с помощью кругов называется диаграммами Эйлера-Венна.

Рассмотрим некоторые диаграммы Эйлера-Венна:

  рис. 1               рис. 2                     рис. 3                     рис. 4

Каждая диаграмма соответствует определенной взаимосвязи множеств  и :

1)  (рис. 1)

2)  (рис. 2 – заштрихованная часть),

3)  (рис. 3 – заштрихованная часть),

4)  (рис. 4 – заштрихованная часть).

Нередко бывает так, что рассматривают только подмножества одного и того же множества . Такое множество  называют универсальным множеством. Понятие универсального множества относительно. Для каждой задачи оно свое.

Например, если  – множество студентов первого курса географического факультета,  – множество студентов географического факультета, специальности “Геоэкология”,  – множество спортсменов – студентов Мордовского госуниверситета,  – множество старост академических групп факультетов, находящихся в корпусе № 4, то в качестве универсального множества  можно взять множество студентов Мордовского государственного университета. Если же  – множество рек Сибири,  – множество озер Европы,  – множество морей, то в качестве универсального множества можно взять гидросферу Земли. На диаграмме Эйлера-Венна универсальное множество  изображают в виде прямоугольника. (рис. 5)

Заметим, дополнение множества  до универсального множества  обозначают символом . Нужно отметить общепринятые обозначения некоторых специальных множеств.

 – множество натуральных чисел,

 – множество целых чисел,

 – множество рациональных чисел,

 – множество вещественных чисел.

 – множество вещественных чисел  таких, что , ( ),

 – множество вещественных чисел  таких, что , иначе: ,

 – множество вещественных чисел  таких, что , иначе: ,

 – множество вещественных чисел  таких, что , иначе: .

Образцы решения заданий

1. Задать с помощью характеристического свойства элементов множество всех положительных чисел. Ответ: .

2. Задать перечислением элементов множества, заданные указанием характеристического свойства элементов: .

Ответ: .

3. Указать стандартное обозначение множества М и изобразить его на числовой прямой:

1) . Ответ:                   

 

2) . Ответ: ,          

 

3) . Ответ: ,                  

 

Практические задания

1. Приведите примеры множеств, составленных из объектов следующих видов:

а) неодушевленных предметов,           б) животных,

в) растений,                                          г) геометрических фигур,

д) населенных пунктов,                        е) водоемов,

ж) политических деятелей.

2. Пусть  – множество многоугольников. Принадлежат ли этому множеству:

а) восьмиугольник,                          б) параллелограмм,

в) отрезок,                                        г) параллепипед,

д) круг,                                             е) полукруг.

3. Множество  состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата ?

4. Прочитайте запись и укажите, какие из указанных высказываний истина, а какие ложь:

а) ,                           б) ,                          в) ,

г) ,                             д) ,                       е) ,

ж) ,                           з) ,                          и) ,

к) ,                       л) .

5. Запишите перечислением элементов следующие множества:

а)  – множество нечетных чисел на отрезке ,

б)  – множество натуральных чисел, меньших 8,

в)  – множество натуральных чисел, больших 10, но меньших 12,

г)  – множество двузначных чисел, делящихся на 10,

д)  – множество натуральных делителей числа 18,

е)  – множество чисел, модуль которых равен .

6. Запишите перечислением элементов следующие множества:

а) множество различных букв в слове “головоломка”,

б) множества цифр числа 134433154.

7. Изобразите на числовой прямой множество решений неравенства с одним неизвестным :

а) ,       б)         в) ,       г) .

8. Выясните, множество решений какого неравенства изображено на числовой прямой в каждом случае:

а)                                                                  б)

 

в)                                                                  г)

 

д)                                                                 е)

Индивидуальное задание

1. Прочитайте следующие записи и перечислите элементы каждого из множеств:

1.	а) ;		2.	а) ;
	б) ;			б) ;
	в) .			в) .
3.	а) ;		4.	а) ;
	б) ;			б) ;
	в) .			в) .

Практические задания

Образцы решения заданий

1.Задать с помощью характеристического свойства элементов множество всех положительных чисел. Ответ: .

2.Задать перечислением элементов множества, заданные указанием характеристического свойства элементов: .

Ответ: .

3.Указать стандартное обозначение множества М и изобразить его на числовой прямой:

. Ответ:                   

 

. Ответ: ,          

 

. Ответ: ,                  

 

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1279; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!