Итак, четко выделим АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ТОКОВ

ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Методические указания к решению задач по теме «Электрические цепи постоянного тока». Решение их требует знания закона Ома, формул мощности, первого закона Кирхгофа, свойств последовательного и параллельного соединения резисторов.

Краткие сведения о перечисленных выше понятиях.

 

Закон Ома для участка цепи

                                                   Рис. 1        

    На рис.1 изображен резистор, представляющий участок электрической цепи, где: U – электрическое напряжение на резисторе (участке цепи); R – электрическое сопротивление резистора (участка цепи); I – сила тока на резисторе (участке цепи).

    Между этими электрическими величинами существует строго определенная связь. Она устанавливается законом Ома:

    Сила тока 1 на участке электрической цепи прямо пропорциональна напряжениюU на его зажимах и обратно пропорциональна сопротивлению R этого участка цепи, т.е.

    I=U/R, тогда U=I*R, а R=U/I

    Единицы измерения:

    тока I – А (ампер), напряжения U – В (вольт),

сопротивления R – Ом (ом).

        

Примечание:

    Единицы измерения всех электрических величин, получивших название в честь ученых, пишутся с прописной (заглавной) буквы, поэтому А, В, Ом.

Мощность, потребляемая цепью   Мощность – это скорость, с которой происходит преобразование энергии. Для участка цепи, изображенного на рис. 1, электрическая мощность может быть определена по формулам:

P=U*I,            P=I²*R,           P=U²/R

    Единица измерения мощности Р – Вт (ватт).

 

Первый закон Кирхгофа

На рис. 2 показана часть электри-ческой схемы с электрическим узлом или точкой разветвления (см. точку А). Это такая точка электрической схемы, где соединены три или большее число проводов (на рис. 2 таких проводов 5). Рис. 2                           

Первый закон Кирхгофа устанавливает сотношение междутоками в узле. Он формулируется так:

Сумма токов, направленных к узлу, равна сумме токов, направленных от него. Для узла А можно написать:

I₁+I₂ = I₃+I₄+I₅

или так: I₁+I₂+(-I₃)+(-I₄)+(-I₅) = 0

а в общем виде ∑I=0, т.е. алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. При этом токи, направленные от узла, считаются отрицательными.

 

Последовательное соединение резисторов (рис. 3)

                                 Рис. 3

Свойства последовательного соединения:

1. На всех резисторах (участках) этой цепи протекает один и тот же ток: I₁= I₂= I₃= I

2. Эквивалентное сопротивление последовательной цепи равно сумме сопротивлений её резисторов (участков): R = R₁+R₂+R₃

3. Напряжение на зажимах цепи равно сумме падений напряжений на её отдельных резисторах (участках): U = U₁+U₂+U₃

4. Мощность, потребляемая цепью, равна сумме мощностей, потребляемых каждым из резисторов (участков): Р = Р₁+Р₂+Р₃

При решении задач, содержащих последовательное соединение элементов, следует учитывать не только вышеперечисленные свойства, но и правильно применять закон Ома и формулы мощности, необходимость использования которых может возникнуть как на отдельном участке, так и для всей цепи в целом. Для схемы, изображенной на рис.3, они должны быть записаны в виде:

I=U₁/R₁ I=U₂/R₂ I=U₃/R₃ I=U/R

P₁=U₁*I₁ P₂=U₂*I₂ P₃=U₃*I₃ P=U*I                                                  P₁=I₁²*R₁    P₂=I₂²*R₂ P₃=I₃²*R₃ P=I²*R                                                 P₁=U₁²/R₁ P₂=U₂²/R₂    P₃=U₃²/R₃ P=U²/R

Паралельное соединение резисторов (рис. 4)

                       Рис.4

Свойства параллельного соединения:

1. На всех резисторах (участках) такой цепи действует одно и то же напряжение: U₁=U₂=U₃=U

2. Ток в неразветвлённой части цепи равен сумме токов её ветвей: I=I₁+I₂+I₃  (это следует из 1 закона Кирхгофа).

3. Полная (эквивалентная) проводимость параллельной цепи равна сумме проводимостей её резисторов (участков): G=G₁+G₂+G₃ или 1/R=1/R₁+1/R₂+1/R₃

4. Мощность, потребляемая цепью, равна сумме мощностей, потребляемых каждым из резисторов (участков): Р =Р₁+Р₂+Р₃

Примечание:

При определении эквивалентного сопротивления трёх и большего числа резисторов рекомендуется вначале найти проводимость цепи, а затем её сопротивление.

G = 1/R₁ + 1/R₂ +…+ 1/R_п;           R = 1/G, Ом

При определении эквивалентного сопротивления двух резисторов рекомендуется применить формулу: R =R₁*R₂/(R₁+R₂), Ом

При решении задач, содержащих параллельное соединение элементов, следует учитывать не только вышеперечисленные свойства, но и правильно применять закон Ома и формулы мощности, необходимость использования которых может возникнуть как на отдельном участке, так и для всей цепи в целом. Для схемы, изображённой на рис. 4 они должны быть записаны в виде:

I=U/R₁  I=U/R₂  I=U/R₃  I=U/R

P₁=U*I₁ P₂=U*I₂ P₃=U*I₃ P=U*I                                                  P₁=I₁²*R₁    P₂=I₂²*R₂ P₃=I₃²*R₃ P=I²*R                                                 P₁=U²/R₁ P₂=U²/R₂    P₃=U²/R₃ P=U²/R

Обратитесь к подобным формулам последовательного содержания. Проанализируйте их. Разберитесь, что в них общего и чем они отличаются друг от друга.

Пример 1:

 

                                          Рис. 5

 

Для схемы, приведённой на рис. 5 и представляющей смешанное соединение сопротивлений, известно, что U=250В, R₁=14 Ом, R₂=20 Ом,  R ₃=50 Ом, R ₄=200 Ом, R ₅=40 Ом,  R ₆=150 Ом,  R ₇=60 Ом. Определить эквивалентное сопротивление R этой цепи, ток I и мощность P, потребляемые цепью, а также токи  I₁,  I₂,  I₃,  I₄,  I₅,  I₆,  I₇, напряжения U₁, U₂, U₃, U₄, U₅, U₆, U₇ и мощности  P₁, P₂,  P₃,  P₄,  P₅,  P₆,  P₇  на каждом резисторе. Проверить решение задачи методом баланса мощностей.

Перед решением примера 1 необходимо внимательно прочитать общие методические указания к решению задач 1….5 и только после этого приступить к решению.

В этом примере и в задачах индекс тока, протекающего через резистор, индекс напряжения на нём и индекс мощности, потребляемой резистором, соответствуют индексу резистора. Например, на рис. 5 резистор R₃ характеризуется током  I₃, напряжением U₃ , мощностью P₃  и т.д.

 

Схема электрической цепи, изображенная на рис. 5, представляет собой смешанное резисторов (оно состоит из последовательных и паралельных соединений элементов схемы), эквивалентное сопротивление такой цепи находится путем постепенного упрощения схемы и «свертывания» её так, чтобы получить одно сопротивление. При расчете токов в отдельных ветвях схему «развертывают» в обратном порядке.

 

Решение

Два резистора R₃ и R₄ соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление  R₃₄ = R₃ R₄ / (R₃ +R₄) = 50*200/(50+200)=40 Ом

теперь схема принимает вид, показанный на рис. 6 на этой схеме выделены буквами три участка (ав, вс, сд), которые соединены друг с другом последовательно.

                                 Рис. 6

5. Резисторы R ₂ и R ₃₄ (см. рис. 6) соединены последовательно, их общее сопротивление: R ₂₃₄ = R ₂ +R ₃₄ =20+40=60 Ом.

Соответствующая схема приведена на рис. 7

 

                       Рис. 7

3. Резисторы R ₂₃₄ и R ₅ соединены параллельно, их общее сопротивление  R_ВС= R₂₃₄* R₅ / (R₂₃₄ +R₅)= 60*40/ (60+40)=24 Ом

Теперь схема цепи примет вид, приведенный на рис. 8

 

                       Рис.8

4. Резисторы R ₆ и R ₇ соединены паралельно, их общее сопротивление

R_СД=R₆* R₇/ (R₆ +R₇)= 15*60/(15+60) =12 Ом

Теперь схема цепи примет вид, приведенный на рис. 9

                       Рис. 9

5. Находим эквивалентное сопротивление цепи, рис. 10:

R = R _АД = R _АВ +R _ВС +R _СД = 14+24+12=50 Ом

R _АВ = R ₁ =14 Ом

                       рис. 10

 

6. Для схемы, изображенной на рис. 10, нетрудно найти ток, потребляемый цепью, который одновременно является током неразветвленной части цепи.

На основании закона Ома

I=U/R=250/50=5A

Переходя от схемы к схеме в обратном порядке, найдём остальные токи. Так как схема, изображённая на рис. 9, представляет последовательное соединение участков АВ, ВС, СД, то на основании первого свойства этого вида соединения следует, что

I=I_АВ=I_ВС=I_СД=5А

( I_АВ=I₁)

7. Используя закон Ома, найдём падение напряжения на участках АВ, ВС и СД:

U _АВ=U ₁=IR ₁=5*14=70 В,

U _ВС=U ₁=IR _ВС=5*24=120 В,

U _СД=U ₁=IR _СД=5*12=60 В.

    По ходу решения можно проверить правильность её решения. Так, на основании третьего свойства последовательного соединения следует, что

    U=U_АД=U_АВ +U_ВС +U_СД

Подставив значения напряжений участка, получаем:

    U=U_АВ +U_ВС +U_СД =770+120+60=250 В, что соответствует законному напряжению. Зная значения напряжений на участках ВС и СД, определим токи в ветвях (см. рис. 7).

 

8. На участке ВС резисторы R₂₃₄  и R₅включены паралельно. На основании первого свойства этого вида соединения следует, что:             U_ВС =U₂₃₄ =U₅ =120 В

Применяя закон Ома, находим токи ветвей участка ВС:

    I₂₃₄=U_ВС /R ₂₃₄=120/60=2 А

I₅=U_ВС /R ₅=120/40=3 А

 

9. На участке СД резисторы R₆  и R₇также включены паралельно, поэтому U_СД=U₆ =U₇ =60 В

 I₆=U_СД /R ₆=60/15=4 А,

I₇=U_СД /R ₇=60/60=1 А

На основании второго свойства паралельного соединения можно убедиться на этом этапе в правильности решения задачи, применив первый закон Кирхгофа. Из схемы (рис. 7) следует, что:

I=I₁=I₂₃₄+I₅     и I=I₁=I₆+I₇     

Действительно:

I₁=I₂₃₄+I₅  = 2+3 =5 А                                    I=I₁=5 А

I₁=I₆+I₇  = 4+1=5 А

 

10. На рис. 8 видно, что на участке ВС верхняя ветвь представляет собой последовательное соединение резисторов R₂  и R_34,  поэтому:  I₂₃₄=I₂=I₃₄=2 А (смотри первое свойство данного вида соединений).

 

11.  Для определения токов резисторов  R₃  и R₄ предварительно найдем напряжение на резисторе R₃₄ (рис.6), которое эквивалентно им,            U_СД=I₃₄*R ₃₄=2*40=80 В

Так как резисторы R₃  и R₄ на реальной схеме (смотри рис.5) соединены паралельно U₃₄=U₃ =U₄ , то:

 I₃=U₃₄/R ₃=80/50=1,6 А и I₄=U₃₄/R ₄=80/200=0,4 А

Проверка:

I₂=I₃+I₄ =1,6+0,4=2 А (смотри первый закон Кирхгофа и второе свойство цепи с параллельным соединением)

12. При определении токов резисторов на каждом из них, кроме R₂, было определено напряжение, что требуется также по условию задачи. Осталось найти напряжение на резисторе R₂. 

 

Это можно сделать двумя способами:

на основании закона Ома U₂= I₂*R ₂= 2*20 = 40 В

или на основании третьего свойства последовательного соединения. На участке ВС верхняя ветвь представляет собой последовательное соединение резисторов R₂  и R₃₄ (смотри рис. 6), поэтому U_ВС=U₂ +U₃₄, 

отсюда U₂=U_ВС –U₃₄ =120-80=40 В

    Переходим к определению мощности, потребляемой цепью и каждым резистором в отдельности.

 

    13.  Мощность, потребляемая цепью P=U*I =250*5=1250 Вт. Мощности, потребляемые каждым резистором:

    P₁=U₁*I₁ =70*5=350 Вт

    P₂=U₂*I₂ =40*2=80 Вт

    P₃=U₃*I₃ =80*1,6=128 Вт

    P₄=U₄*I₄ =80*0,4=32 Вт

    P₅=U₅*I₅ =120*3=360 Вт

    P₆=U₆*I₆ =60*4=240 Вт

    P₇=U₇*I₇ =60*1=60 Вт

 

    14. Проверим решение задачи на основании баланса мощностей, а

это значит, что:

    P  =P₁+ P₂+ P₃+ P₄+ P₅+ P₆+ P₇  =350+80+128+32+360+240+60=1250 Вт;

        

    Вывод

    Определение мощности цепей на основании баланса мощностей подтверждает значение мощности, полученной по формуле P=U*I

    Значит задача решена правильно.

 

Примечание.

    В рассмотренном примере пояснительный текст дан достаточно подробно для того, чтобы учащийся мог самостоятельно разбираться в решении задач, подобных примеру. При решении задач контрольной работы пояснения следует давать в обязательном порядке, но давать это более кратко.

    Например, пункт 6 примера при оформлении может быть записан так:

    6) Ток, потребляемый цепью, I = U/R = 250/50 = 5A;

Пункт 12:

12) Напряжение на резисторе R₂.

U₂=I₂*R ₂=2*20=40 В или

U₂=U_ВС –U₃₄ =120-80=40 В и т.д.

Итак, четко выделим АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ТОКОВ

1.По закону Ома находим общий ток или определяем силу тока по формуле:  І = √ P/ R

2.Находим в цепи участок (один или несколько резисторов), в котором проходит общий ток. Для этого участка сила тока в резисторе равна общему току, например, I_общ = I₁.

3.Определяем напряжение на разветвлении по формуле:

 ^{, гдеRАВ --сопротивление разветвления}

4. Определить силу тока в ветвях

4.1 Находим силу тока в первой ветви (сопротивление R_123,)

Определяем ток каждого резистора ветви, так как  R_{1 ,}R₂ и R₃ включены последовательно:

4.2.Определяем ток во второй ветви (сопротивление R_45,)

4.2.1.Определяем ток каждого резистора ветви (т.к.  R₄ и R₅ включены последовательно)

Методические указания к решению задач по теме «Однофазные электри-ческие цепи переменного синусоидального тока». В этих цепях, так же как и в цепях постоянного тока, при решении задач используют закон Ома, первый закон Кирхгофа, формулы мощности, свойства последовательного и параллельного соединений. Однако из-за того, что в переменном токе действует три вида совершенно различных по характеру сопротивлений (активноеR, индуктивное X_L  и  ёмкостное X_C) форма записи законов изменяется. Иначе устанавливается связь и между однородными электрическими величинами. Так, при последовательном соединении в постоянном токе общее сопротивление было равно арифметической сумме сопротивлений, в переменном токе берется уже геометрическая сумма R, X_Lи X_C. Геометрически складывается также напряжения и мощности на этих сопротивлениях.

В разветвлённых цепях постоянного тока первый закон Кирхгофа устанавливая связь между токами в арифметической форме, в переменном токе эта связь будет геометрическая. В связи с особенностями однофазных электрических цепей синусоидального тока рассмотрим основные соотношения между электрическими величинами для наиболее характерных цепей.

Однофазная электрическая цепь переменного синусоидального тока с последовательным соединением активного R, индуктивное X_L и ёмкостное X_C сопротивлений (рис.11)

              Рис.11

На этой схеме:

I, А – ток, потребляемый цепью, единица измерения – ампер;

R, Ом – активное сопротивление цепи, единица измерения – Ом;

U_R , В – напряжение на активном сопротивлении, единица измерения – вольт;

P, Вт – активная мощность цепи, единица измерения – ватт;

X_L, Ом – индуктивное (реактивное) сопротивление цепи, единица измерения – Ом;

U_L, В – напряжение на индуктивном сопротивлении, единица измерения – вольт;

Q_L, ВАр – индуктивная (реактивная) мощность, единица измеренияQ_L, вар – индуктивная (реактивная) мощность, единица измерения вольт-ампер реактивный;

X_C, Ом – ёмкостное (реактивное) сопротивление цепи, единица измерения – Ом;

U_C, В – напряжение на ёмкостном сопротивлении, единица измерения – вольт;

Q_C, ВАр – ёмкостная (реактивная) мощность, единица измерения – вольт-ампер реактивный;

Z, Ом – полное сопротивление цепи, единица измерения – Ом;

U, В – полнле напряжение, подведенное к зажимам цепи, единица измерения – вольт;

S, ВА – полная мощность, единица измерения – вольт-ампер.

На основании закона Ома напряжение на активном, индуктивном и ёмкостном сопротивлениях могут быть определены по формулам:

U_R=I*R                                U_L=I*X_L                           U_C=I*X_C

При этом следует иметь в виду, что U_R –совпадаетпо фазе с током,    –U_L – опережает по фазе ток на 90⁰,    U_C –отстаёт от тока на 90⁰.

Результирующее напряжение Uпредставляет геометрическую сумму напряжений U_R, U_Lи U_C. На рис. 12 представлена векторная диаграмма этих направлений.

                      

Рис. 12

 

Результирующее напряжение U,которое является напряжением, подведённым к зажимам цепи, можно найти не только графически (в этом случае диаграмма должна быть построена в масштабе), но и математически, на основании теоремы Пифагора:

U =√U²_R +(U_L -U_C)²

Если каждое из напряжений на векторной диаграмме (рис.12) разделить на ток 1, то получится фигура, подобная векторной диаграмме, которая будет называться треугольником сопротивлений (рис.13) т.к.   

 Рис. 13

 

R =U_R /I, X _L=U_L /I, X_C =U_C /I, Z=U/I.

 Из треугольника сопротивлений следует,                                                                                                    то Z=√R²+(X_L-X_C)²

 

Если каждое из напряжений на векторной диаграмме (рис.12) умножить на ток I, то получится фигура, подобная векторной диаграмме, которая будет называться треугольником мощностей (рис.14), так как 

Рис. 14

 

                                                                                                                                                                                                                  P=U_R*I Q_L=U_L*I Q_C=U_C*I S=U*I

 Из треугольника мощностей следует, что                                                                    S=√P²+(Q_L-Q_C)²

    Используя закон Ома для каждого элемента цепи, мощность можно также найти по формулам:

    P=I²*R, Q_L=I²*X_L, Q_C=I²*X_C, S=I²*Z или

    P=I²_R/R, Q_L=I²_L*X_L, Q_C=I²_C*X_C, S=I²*Z 

        Из треугольника мощностей (рис.14) также следует, что

    P=S*cos ϕ                                      P=U*I*cos ϕ                                          

    Q=S*sin ϕ                                      Q=U*I*sin ϕ                                          

где Q=Q_L-Q_C - результирующая реактивная мощность.

    Анализируя векторную диаграмму напряжений (рис.12), треугольник сопротивлений (рис.13), треугольник мощностей (рис.14), можно сделать вывод, что при U_L>U_C (X_L>X_C) результирующий вектор напряжения Uопережает вектор тока 1 на угол ϕ<90⁰ , а при U_L<U_C (X_L<X_C)результирующий вектор напряжения отстает от вектора тока на угол  ϕ.

    Тригонометрические функции угла сдвига фаз можно записать в виде: cos ϕ=U_R/U                 cos ϕ=R/Z                  cos ϕ=P/S                                                

    sin ϕ=(U_L-U_C)/U         sin ϕ=(X_L-X_C) /Z       sin ϕ=Q_L-Q_C/S

cos ϕ = P/S – называется коэффициентом мощности  

 

Особенности расчета цепи при другой комбинации элементов схемы.

При отсутствии одного из реактивных сопротивлений все электрические параметры определяются по вышеперечисленным формулам. При этом из них нужно исключить параметры с индексом отсутствующего элемента.

 

                       Рис. 15

 

На рис.15 изображена цепь с последовательным соединением R и X_L. Значит X_С отсутствует, поэтому:                                                                                  

U=√U²_R+U²_L               Z=√R²+X²_L          S=√P²+Q²_L           Q=Q_L

sin ϕ = U_L/U           sin ϕ = X_L /Z   sin ϕ = Q_L/S

    Векторная диаграмма, треугольник сопротивлений и треугольник мощностей будет иметь вид, изображенный на рис.16

    Векторная диаграмма, треугольник сопротивлений и треугольник мощностей будет иметь вид, изображенный на рис.16

 

Рис.16

 

 

                  

Рис.17

        

На рис.17 изображенная цепь с последовательным соединением R и X_С, элемент X_L отсутствует, поэтому:

U=√U²_R+U²_С       Z=√R²+X²_С     S=√P²+Q²_С           Q=Q_L           sin ϕ = - U_С/U           sin ϕ = - X_С /Z       sin ϕ = - Q_С/S

    Векторная диаграмма, треугольник сопротивлений и треугольник мощностей будет иметь вид, изображенный на рис.18

                                                    Рис.18                   

 

Если схема имеет несколько одинаковых по характеру элементов, то в этом случае электрические параметры опять-таки определяются по формулам, приведенным для цепи с R , X_С, X_L , при этом в них нужно ввести арифметические суммы параметров, имеющих одинаковые индексы.

На рис.19 изображена цепь с последовательным соединением  R₁, X_L и R₂  (т.е. в схеме два активных

               рис.19                         сопротивления), поэтому:   

U = √ (U_R1+U_R2)²+U²_L        Z = √(R₁+R₂)²+X²_L           S =√(P₁+P₂)²+Q²_L

cos ϕ =(U_R1+U_R2)/U     cos ϕ = (R₁+R₂) /Z        cos ϕ = (P₁+P₂)/S

    Векторная диаграмма, треугольник сопротивлений и треугольник мощностей будет иметь вид, изображенный на рис.20                                                                                          Рис.20

        

Пример 2.

    Дано: U=50 В                            R₁=9 Ом                            X_L=12 Ом                     X_С=27 Ом                         R₂=11 Ом

Определить: Z, I, U_R1, U_L, U_C, P, Q, S, cos ϕ.

Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений.

 

Решение

1. Определяем полное сопротивление цепи

Z = √ (R₁+R₂)²+(X_L  - X_C)² =√(9+11)²+(12  - 27)² =25 Ом

2. Определяем ток цепи

I=U/Z=50/25=2A

3. Определяем падение напряжения:

- на активном сопротивлении R₁ U_R1=I*R₁=2*9=18 B

- на активном сопротивлении R₂ U_R2=I*R₂=2*11=22 B

- на индуктивном сопротивлении U_L=I*X_L=2*12=24 B

- на ёмкостном сопротивлении U_C=I*X_C=2*27=54 B

4. Определяем коэффициент мощности цепи

cos ϕ = (R₁+R₂) /Z=9+11/25=0,8.

5. Угол сдига фаз ϕ находим по синусу во избежание потери знака угла (косинус является четной функцией)

sin ϕ = (X_L-X_C)/ Z = (12-27)/25 = - 0,6           

Используя микрокалькулятор или таблицы Брадиса, находим  ϕ = -36⁰ 52'    

6. Определяем активную мощность цепи

P=U*I*cosϕ= 50*2*0,8=80 Вт

Активную мощность можно найти по формулам

P=P₁+P₂ = I² *R₁ + I² *R₂

P=P₁+P₂ = U_R1*I + U_R2*I

P=P₁+P₂ = U² _R1 /R₁ + U²_R2 /R₂

Проверьте это.

7. Определяем реактивную мощность

Q=U*I*sin ϕ= 50*2*(-0,6) = - 60 ВАр.

Реактивную мощность можно также найти по формулам

Q=Q_L-Q_C= I² *X_L - I² *X_C

Q=Q_L+Q_C= U_L *I - U_C *I

Q=Q_L+Q_C= U² _L /X_L - U²_C /X_C

Проверьте это.

7. Определяем полную мощность цепи

S=U*I=50*2=100 BA

Полную мощность можно также найти по формулам

S=I²*Z                   S=U²/Z

S=√P²+Q²              Q=Q_L- Q_C

Проверьте это.

    Построение векторной диаграммы начинаем с выбора масштаба для тока и напряжения. Задаемся масштабом по току и по напряжению

m_i = 1 A/ см              m_u= 5 B/ см

Здесь m_iиm_u– масштабные коэффициенты. Они показывают, сколько ампер или вольт содержится в 1 см. Масштаб можно задавать и графически, см. рис.22

Порядок построения.

От точки 0 горизонтально вправо проводим вектор тока общий для всей цепи. В выбранном масштабе его длина будет

l₁=I/m₁=2 А/1 А/см=2 см.

Рис.22

 

7. Вектор активного напряжения U_R1 совпадает по фазе с током, угол сдвига фаз между ними равен 0, поэтому откладываем его вдоль вектора тока от точки 0 вправо.

Его длина

l_UR1 = U_R1/m_U = 18 В/5 В/см = 3,6 см

8. От конца вектора U_R1 откладываем вправо вдоль вектора тока вектор активного напряжения U_R2.

Его длина

                                     l_UR2 = U_R2/m_U = 22 В/5 В/см = 4,4 см

9. От конца вектора U_R2 откладываем вертикально вверх вектор падения напряжения U_Lна индуктивном сопротивлении, так как он опережает ток на угол 90⁰.

Его длина

                                    lu_L = U_L/m_U = 24 В/5 В/см =4,8 см

10.  От конца вектора U_L откладываем вертикально вниз вектор падения напряжения U_С на ёмкостном сопротивлении, т.к. он опережает ток на угол 90⁰.

Его длина

                                     l_UC = U_C/m_U = 54 В/5 В/см = 10,8 см

    Геометрическая сумма векторов U_{R1 ,} U_R2, U_L и U_C должна быть равна полному напряжению U, приложенному к зажимам цепи, т.е.

                                        U = U_R1 +U_R2+U_L+U_C

Измерив длину этого вектора, убеждаемся, что она L_U=10см. Это значит, что с учетом масштаба его величина будет:

                                         U = l_U*m_U = 10см*5 В/см = 50 В

По условию задачи именно такое напряжение приложено к зажимм цепи.

    Примечание:

    Если в выбранном масштабе вектор суммарного напряжения не будет равен приложенному к зажимам цепи напряжению, то это будет говорить об ошибке, допущенной в решении задачи или в построении векторной диаграммы. Её нужно найти и устранить.

    Чаще всего наблюдаются ошибки, связанные с искажением масштабов при построении векторной диаграммы пользуйтесь чертёжным инструментом. Выполняйте диаграмму точно и аккуратно.

 

Методические указания к решению задач по  трёхфазным электрическим цепям переменного синусоидального тока.

 

    В трёхфазных цепях потребители соединяют по схеме «звезда» или «треугольник».

    При соединении приемников энергии звездой линейные напряжения обозначаются U_АВ, U_ВС, U_СА,а в общем виде -U_С ;фазные напряжения обозначаются U_А, U_В, U_С ,а в общем виде -U_ф.

    Токи обозначаются - I_А, I_В, I_С, причем ток линейный равен току фазному, поэтому в общем виде I_А=I_ф.

    При наличии нулевого провода при любой нагрузке, а при равномерной нагрузке и без нулевого провода U_A=√3*U_ф (линейное напряжение больше фазного в √3 раз).

При равномерной нагрузке фаз активная мощность всей цепи.

Р=√3U_A*I_A*cosγ_ф   или      P=3U_ф*I_ф*cosγ_ф

При неравномерной нагрузке мощность всей цепи

Р=Р_ф1+Ф_ф2+Р_ф3       или       P=U_ф*I_ф*cosγ_ф

При соединении потребителей треугольником фазное напряжение равно линейному: U_ф=U_А, обозначаются напряжения U_АВ, U_ВС, U_СА.

Фазные токи обозначаются I_АВ, I_ВС, I_СА, в общем виде I_ф.

Линейные токи обозначаются I_А, I_В, I_С, в общем виде I_А.

При равномерной нагрузке фазI_А=√3*I_ф

    При неравномерной нагрузке линейные токи определяются на основании первого закона Кирхгофа из векторной диаграммы, как геометрическая разность фазных токов.

    При соединении приемников энергии звездой сеть может быть четырехпроводной – при наличии нулевого провода, или трехпроводной – без нулевого провода.

    При соединении приемников энергии треугольником сеть может быть только трехпроводной.

 

    Пример 4.

    В четырехпроводную сеть (рис.27) трехфазного тока с линейным напряжением U_Л =380 В включены по схеме «звезда» три группы электрических ламп накаливания одинаковой мощности. В каждой группе лампы соединены паралельно. В среднем сопротивление одной лампы составляет R_ламп= 484 Ом.

Дано:

U_Л =380 В

R _ламп=484 Ом

n _А=88 шт.

n _В=33 шт

n _С=55 шт.

Определить: U _ламп , I_ламп , Р _ламп, I_А, I_В, I_С,  Р_А, Р_В, Р_С, Р.

 I₀ – графически из векторной диаграммы                                                Рис.27

 

Первая группа ламп включена в фазу А, число ламп в ней n_А=88 шт.

Вторая группа ламп включена в фазу В, число ламп в ней n_В=33 шт.

Третья группа ламп включена в фазу С, число ламп в ней n_С=55 шт.

    Определить ток I ламп, напряжениеU ламп, мощность Р_ламп , на которую рассчитана лампа; токи I_А, I_В, I_С, протекающие в фазах и линейных проводах; мощности Р_А, Р_В, Р_С, Р,потребляемые фазами и всей цепью. Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов и из неё графически определить величину тока в нулевом проводе I₀.Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов.

1. U _Л – запись линейных напряжений U_АВ, U_ВС, U_СА, в общем виде

По условию задачи U_АВ =U_ВС=U_СА=380 В.

    Тогда фазные напряжения U_А, U_В, U_Св общем виде U_Ф будут: U_Ф= U_Л/√3 = 380/√3 = 220 В, таким образом, U_А =U_В=U_С=220 В.

2. Все лампы цепи включены на фазные напряжения, поэтому                   U _ламп =U_Ф=220 В.

3. Ток ламп по закону Ома

I _ламп =U _ламп /R _ламп,=220/484=0,455 А

4. Мощность лампы

Р_ламп =U _ламп * I _ламп,=220*0,455=100 Вт

Мощность лампы модно также найти по формулам

Р _ламп =U² _ламп /R _ламп       или  Р _ламп =I² _ламп *R _ламп     

Проверьте это.

5. Сопротивления фаз (они активные)

R _А = R _ламп /П _А=484/88=5,5 Ом    

R _В = R _ламп /П _В=484/33=14,6 Ом    

R _С = R _ламп /П _С=484/55=8,8 Ом

6. Токи фаз по закону Ома

I _А=U _А/R _А=220/5,5=40 А

I _В=U _В/R _В=220/14,6=15 А

I _С=U _С/R _С=220/8,8=25 А

Фазные токи ламп можно было найти по значению тока лампы и количеству ламп в фазе I_A=I_ламп*П_А ,I_В=I_ламп*П_В ,I_С=I_ламп*П_С .

Проверьте это.

7. Мощности, потребляемые фазами (они активные)

Р _А=U _А* I_А=220*40=8800 Вт

Р _В=U _В* I_В=220*15=3300 Вт

Р _С=U _С* I_С=220*25=5500 Вт

Другие способы определения мощностей фаз:

Р _А=U ²_А /R _А                     Р _В=U ²_В /R _В                                       Р _С=U ²_С /R _С

Р _А= I²_А /R _А                                        Р _В= I²_В /R _В                                         Р _С= I²_С /R _С

Р _А= Р_ламп  *n _А                                Р _В= Р_ламп  *n _В                                 Р _С= Р_ламп  *n _С

8. Мощность, потребляемая цепью,

Р=Р_А+Р_В+Р_С=8800+3300+5500=17600 Вт.

9. Векторная диаграмма напряжений и токов. Построение векторной диаграммы начинаем с вывода масштаба для напряжения и тока (в контрольной работе эти масштабы вам заданы).

Пусть m_U =44 В/см ,      m_I=10 А/см.

Порядок выполнения, рис.28.

1. Из точки 0 проводим три вектора фазных напряжений U_А, U_Ви U_С,углы между которыми составляют 120 ⁰ (эти углы строят с максимально возмодной точностью, используя циркуль или транспортир). В выбранном масштабе их длина будет l_UФ=U_Ф/m_U=220 В/44 В/см=5 см.

4. Соединив концы векторов фазных напряжений, получим треугольник линейных напряжений U_АВ, U_ВС, U_СА.

Направление этих векторов совпадает с обходом против часовой стрелки. Возможны и другие способы изображения линейных напряжений (см. их в учебной литературе).

Измерив векторы линейных напряжений, можно убедиться, что с учетом масштаба их длина будет равна 380 В.

 

5. Нагрузка фаз активная (электрические лампы накаливания обладают активным сопротивлением), поэтому токи I_А, I_В, I_С будут совпадать по фазе с соответствующими фазными напряжениями. В выбранном масштабе их длина будет:

l_IA= I_A/m_I = 40 А/10 А/см = 4 см

l_IB= I_B/m_I = 15 А/10 А/см = 1,5 см

l_IC= I_C/m_I = 25 А/10 А/см = 2,5 см

4. Геометрически складываем токи I_А, I_В, I_С  и получаем ток в нулевом проводе:

I₀ = I_А +I_В +I_С

При этом векторы токов можно складывать в любой последовательности. Так, на диаграмме к концу вектора I_С  путем паралельного переноса пристроен вектор I_А , к концу вектора I_А пристроен путем паралельного переноса вектор I_В. Точка 0 соединена с концом вектора I_В – это и есть ток в нулевом проводе I₀ . Величина тока в нулевом проводе

                                 I₀=l_Io*m_I = 2,2 см*10 А/см = 22 А

Т.е. ток в нулевом проводе определен графически, его величина

                                 I₀=22 А

Пример 5.

    В трехпроводную сеть (рис.29) трехфазного тока с линейным напряжением U_A =220 В включены по схеме «треугольник» три группы электрических ламп накаливания одинаковой мощности. В каждой группе

лампы соединены паралельно. В среднем сопротивление одной лампы составляет R _ламп= 242 Ом.

    Первая группа ламп включена в фазу АВ, число ламп в ней n_АВ =11 шт.

Вторая группа ламп включена в фазу ВС, число ламп в ней n_ВС =22 шт. Третья группа ламп включена в фазу СА, число ламп в ней n_СА =33 шт.

    Определить ток Iламп, напряжение U _ламп  и мощность Р _ламп , на которые расчитана лампа; токи I_АВ, I_ВС, I_СА , протекающие в фазах цепи; мощности Р_АВ, Р_ВС, Р_СА, Р, потребляемые фазами и всей цепью. Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов и из неё графически определить величину токов I_А, I_В, I_С в линейных проводах.

 

 

Рис.29

 

Дано:

U _A=220 В       R _ламп=242 Ом  n _АВ=11 шт.  n _ВС=22 шт             n _СВ=33 шт.

Определить: U _ламп , I_ламп , Р _ламп, I_АВ, I_ВС, I_СА,   Р_АВ,   Р_ВС,  Р_СА,   Р.

I_А, I_В, I_С, – графически из векторной диаграммы.

Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов.

1. U _А  запись линейных напряжений U_АВ, U_ВС, U_СА.в общем виде. По условию задачи U_АВ=U_ВС=U_СА=220 В. При соединении «треугольником» линейное напряжение равно фазному, поэтому U_A=U_Ф.

6. Все лампы цепи включены на фазное напряжение, поэтому U_ламп= U_Ф = = 220 В.

7. Ток лампы по закону Ома

I _ламп= U _ламп/R _ламп=220/242=0,909 А

8. Мощность лампы

Р_ламп= U _ламп*I _ламп=220*0,909=200 Вт

Мощность лампы можно также найти по формулам

Р_ламп= U² _ламп/R _ламп         или        Р_ламп= I² _ламп*R _ламп

Проверьте это.

9. Сопротивления фаз (они активные)

R _АВ = R _ламп /n _АВ=242/11=22 Ом    

R _ВС = R _ламп /n _ВС=242/22=11 Ом    

R _СА = R _ламп /n _СА=242/33=7,33 Ом

10.  Токи фаз по закону Ома

I _АВ=U _АВ/R _АВ=220/22=10 А

I _ВС=U _ВС/R _ВС=220/11=20 А

I _СА=U _СА/R _СА=220/7,33=30 А

11. Фазные токи можно было найти по значению тока лампы и количеству ламп в фазе I_AВ=I_ламп*П_АВ ,             I_ВС=I_ламп*П_ВС ,                   I_СА=I_ламп*П_СА

Проверьте это.

12.  Мощности, потребляемые фазами (они активные)

Р _АВ=U _АВ* I_АВ=220*10=2200 Вт

Р _ВС=U _ВС* I_ВС=220*20=4400 Вт

Р _СА=U _СА* I_СА=220*30=6600 Вт

Другие способы определения мощностей фаз:

Р _АВ=U ²_АВ /R _АВ          Р _ВС=U ²_ВС /R _ВС                             Р _СА=U ²_СА /R _СА

Р _АВ= I²_АВ /R _АВ                                Р _ВС= I²_ВС /R _ВС                                Р _СА= I²_СА /R _СА

Р _АВ= Р_ламп  *n _АВ                           Р _ВС= Р_ламп  *n _ВС                           Р _СА= Р_ламп  *n _СА

    Проверьте это.

13.  Мощности, потребляемая трехфазной цепью

Р=Р_АВ+Р_ВС+Р_СА=2200+4400+6600=13200 Вт.

14.  Векторная диаграмма напряжений и токов (рис.30). Построение векторной диаграммы начинают с выбора масштаба для напряжения и токов (в контрольной работе эти масштабы вам заданы).

Пусть m_U =55 В/см ,      m_I=10 А/см.

Порядок выполнения.

Из точки 0 проводим три вектора фазных напряжений U_АВ, U_ВСи U_СА,углы между которыми составляют 120 ⁰ (эти углы строят с максимально возможной точностью, используя циркуль или транспортир). В выбранном масштабе их длина будет  l_UФ= U_Ф/m_U = 220 В/55 В/см = 4 см.

Следует иметь в виду, что эти векторы напряжений одновременно являются и векторами линейных напряжений.

 

Рис. 30

 

 

Нагрузка фаз активная (электрические лампы наккаливания обладают активным сопротивлением), поэтому токи I_АВ, I_ВС, I_СА будут совпадать по фазе с соответствующими фазными напряжениями. В выбранном масштабе их длина будет:

l_IAВ=I_AВ/m_I=10 А/10 А/см=1 см

l_IBС=I_BС/m_I=20 А/10 А/см=2 см

l_ICА=I_CА/m_I=30 А/10 А/см=3 см

                                                         

    Соединив концы векторов фазных токов, получим треугольник линейных токов I_А, I_В, I_С, направление этих векторов совпадает с обходом по часовой стрелке. Возможны и другие способы изображения линейных токов (см. их в учебной литературе).

Измерив длину линейных токов и учитывая масштаб, определяем их значение

l_A=m_I /I_IA=10 А/см*3,6см=36 А

l_В=m_I /I_IВ=10 А/см*2,6см=26 А

    l_С=m_I /I_IС=10 А/см*4,4см=44 А

 

 

                                                                 

 

 

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1453; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!