Обратный вес функции общего вида
Лабораторная работа №1
Исследование ряда случайных ошибок на закон нормального распределения
Цель работы: исследовать данный ряд невязок на соответствие закону нормального распределения.
Дано: дан статистический ряд случайных величин – угловые невязки 32 треугольников микротриангуляции. Требуется проверить гипотезу о том, подчиняется ли этот ряд невязок нормальному распределению случайных величин.
| № | Невязки | № | Невязки | № | Невязки | № | Невязки |
| 1 | -8,0 | 9 | +16,4 | 17 | -3,2 | 25 | -1,8 |
| 2 | -23,5 | 10 | +11,9 | 18 | -30,4 | 26 | +32,3 |
| 3 | -15,9 | 11 | +4,7 | 19 | -4,9 | 27 | +43,0 |
| 4 | -0,2 | 12 | -35,4 | 20 | +8,4 | 28 | +13,7 |
| 5 | -34,3 | 13 | -2,8 | 21 | -23,8 | 29 | +9,6 |
| 6 | -4,6 | 14 | -26,6 | 22 | +16,9 | 30 | -22,1 |
| 7 | -20,1 | 15 | +8,3 | 23 | -13,2 | 31 | +18,7 |
| 8 | -10,1 | 16 | +20,5 | 24 | +20,6 | 32 | -6,0 |
Общий порядок вычисления задачи:
1.Составить ранжированный ряд исходных величин, т.е. разместить случайные величины в порядке возрастания их абсолютных значений.
2.Вычислить эмпирические значения математического ожидания M(∆) и стандарта m.
3.Вычислить среднюю, вероятную и предельную ошибки, а также коэффициенты к1 и к2.
4.Вычислить величину χ2. Оценить ряд случайных величин согласно критерию согласия Пирсона.
5.Вычислить начальные и центральные моменты, асимметрию и эксцесс. Оценить их значения по приближенному критерию.
|
|
|
6.Построить гистограмму, выравнивающую и теоретическую кривые распределения.
7.Сделать вывод о соответствии рассмотренного ряда случайных величин закону нормального распределения вероятности.
Порядок вычисления:
1. Разместим невязки в порядке возрастания их абсолютных величин в таблице 1.
| № п/п | 1 | 2 | 3 | … | 32 | Σ |
| ∆` | ||||||
| l∆`l | ||||||
| (∆`)2 |
2. Вычислим эмпирические значения математического ожидания М(∆) и стандарта m:
3. Вычислим ошибки: среднюю V, вероятную r и предельную ∆пред, а также коэффициенты к1 и к2.
4. Вычислим величину χ2 (критерий Пирсона) в таблице 2, где невязки сгруппируем в 12 интервалов размером 0,5 m.
| № п/п | конец интервала | mi |
|
| Pi | nPi | mi - nPi |
| |
| ∆` | t | ||||||||
| 1 | |||||||||
| 2 | |||||||||
| 3 | |||||||||
| … | |||||||||
| 12 | |||||||||
| Σ | |||||||||
|
|
|
mi – количество ошибок в i-товом интервале.
Значение Ф(t) – табличное (см. приложение А).
Pi – разница между двумя соседними интервалами.
В последнем столбце произведено вычисление χ2 (сумма данной графы).
5. Вычислим асимметрию As и эксцесс Е.
Таблица 3. Вычисление данных для нахождения начальных моментов.
| интервал | 
| mi | 
| 
| 
| 
|
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| … | ||||||
| 12 | ||||||
| Σ |
- середина интервала
По данным таблицы 3 вычислим начальные моменты:
По вычисленным нами начальным моментам найдем центральные моменты второго, третьего и четвертого порядков.
Рассчитаем значение асимметрии:
|
|
|
Рассчитаем значение эксцесса:
Найдем дисперсию асимметрии и эксцесса:
6. Построим гистограмму, выравнивающую и теоретическую кривые распределения.
Таблица 4. Вычисление значений hi для построения диаграммы
| интервал | 1 | 2 | 3 | … | 12 |
| hi | |||||
| hi, см |
hi (max) = 10
Таблица 5. Вычисление ординат точек выравнивающей кривой.
| Граница интервала | 
| 
| 
| 
| y,см |
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| … | |||||
| 7 |
7. Сделать выводы о подчинении и неподчинении рассматриваемого ряда ошибок нормальному закону распределения.
Для закона нормального распределения свойственно следующее:
;
;
;
;
; 
.
Лабораторная работа №2
Определение коэффициента корреляции и уравнения регрессии по опытным данным
Цель: установить корреляционную связь между двумя величинами.
Дано: даны абсолютные ошибки 
в превышениях, полученные при геометрическом нивелировании, и длины ходов D нивелирования. Требуется вычислить коэффициент корреляции величин и D, коэффициент регрессии, оценить их точность и составить уравнение регрессии.
|
|
|
| D, км | , мм
| |
| 1 | 7,9 | 81 |
| 2 | 3,4 | 43 |
| 3 | 1,5 | 7 |
| 4 | 4,8 | 45 |
| 5 | 8,9 | 74 |
| 6 | 2,5 | 31 |
| 7 | 5,4 | 65 |
| 8 | 7,7 | 87 |
| 9 | 8,1 | 79 |
| 10 | 2,1 | 18 |
| 11 | 3,7 | 43 |
| 12 | 4,0 | 55 |
| 13 | 2,0 | 31 |
| 14 | 6,7 | 79 |
| 15 | 6,1 | 64 |
| 16 | 2,6 | 35 |
Порядок вычисления:
1. Составить расчетную таблицу.
2. Вычислить коэффициент корреляции и уравнение регрессии.
3. Построить график зависимости величины ошибки ∆ от длины линии D.
4. Сделать вывод.
Решение:
1. Составим таблицу:
| D, км | , мм
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 1 | |||||||
| 2 | |||||||
| 3 | |||||||
| … | |||||||
| 16 | |||||||
| 
| Σ = | Σ = | Σ = | Σ = | Σ = |
2. Вычислим коэффициент корреляции:
Найдем средние квадратические ошибки mD и m∆:
Определим надежность коэффициента корреляции (по таблице):
см. приложение Г «Значение функции Z», приняв коэффициент корреляции в качестве аргумента.
Найдем надежностный интервал для z:
z - t·GZ ≤ z ≤ z + t·GZ
По условию задачи t=2;
Минимально допустимое значение коэффициента корреляции вычислим по формуле:
.
Составим уравнение регрессии:
.
3. Построим график зависимости величины ошибки ∆ от длины линии D и прямую по уравнению регрессии.
4. На основании полученных данных (по виду графика и неравенств) можно ли считать корреляционную связь установленной.
Лабораторная работа №3
Обработка результатов равноточных измерений одной величины
Цель работы: обработать данный ряд равноточных измерений.
Дано: даны результаты равноточных измерений линии (м):
110, 338
381
394
387
385
379
393
386
382
389
Порядок выполнения работы:
1.Составить расчетную таблицу.
2. Провести контроль для суммы уклонений.
3. Вычислить и провести контроль величины 
.
4. Вычислить среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения.
5.Определить надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений.
6.Вычислить среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического.
7. Определить надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического.
Решение:
1. Составим расчетную таблицу.
| i | Li, м | ε=li – l0 | 
| νi, мм | 
|
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| 3 | |||||
| Σ | - |
2. Контроль для суммы уклонений:
3. Вычислим и проведем контроль величины :
4.Вычислим среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения по формуле Бесселя:
5.Определим надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений:
6.Вычислим среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического:
7.Определим надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического:
Лабораторная работа №4
Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений
Цель работы: оценить точность двойных равноточных измерений по их разностям.
Дано: даны превышения между точками, определенные по черной и красной сторонам реек.
Порядок выполнения работы:
1. Составить расчетную таблицу.
2. Провести контроль значения 
.
3. Вычислить среднюю квадратическую ошибку одного измерения и среднюю квадратическую ошибку арифметической середины.
4. Определить надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений.
5. Определить надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического.
Решение:
1.Составим расчетную таблицу:
| № превышений | Превышения, вычисленные по сторонам реек: |
d,мм |
|
| |||||
| черная | красная | ||||||||
| 1 | +1,384 | +1,382 | |||||||
| 2 | -0,817 | -0,813 | |||||||
| 3 | +0,373 | +0,370 | |||||||
| 4 | +0,448 | +0,451 | |||||||
| 5 | +1,755 | +1,758 |
| ||||||
| 6 | +0,211 | +0,215 |
| ||||||
| 7 | +0,314 | +0,317 |
| ||||||
| 8 | -0,227 | -0,229 |
| ||||||
| 9 | +0,972 | +0,975 |
| ||||||
, мм
| Σ | - | - |
Вычислим значение остаточной систематической ошибки θ:
2. Контроль значения 
Критерием допустимости 
является неравенство:
3. Вычислим среднюю квадратическую ошибку одного измерения 
:
Вычислим среднюю квадратическую ошибку арифметической середины 
:
Следует заметить, что средние квадратические ошибки, полученные по разностям двойных измерений, обычно дают преуменьшенные результаты.
4. Определим надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений:
5. Определим надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического:
Лабораторная работа №5
«Обработка ряда неравноточных измерений»
Теоретические пояснения
Обратный вес функции общего вида
Пусть дана функция 
, где 
— независимо измеренные величины. Известны их веса 
.
Используя формулы средней квадратической ошибки функции 
|
и веса 
, получаем следующую формулу для вычисления обратного веса функции:
- условие.
Если величины 
коррелированы, т.е. коэффициенты попарной корреляционной связи отличны от нуля, 
, то обратный вес функции вычисляется по формуле:
Положим, что при измерении величины х получены равноточные значения:
a1, a2, …, ak
b1, b2, …, bq
c1, c2, …, cn
Вероятнейшим, т.е. более надежным значением х является средняя арифметическая середина:
Используя формулу (2), получим:
С учетом этих значений находим формулу общей арифметической середины:
Умножив левые и правые части этих выражений на веса измерений и после сложения получим:
Подставив в это равенство вместо 
его значение, получим:
Сумма весов отклонений равна 0.
Если отклонения 
вычислены с использованием округленного значения, то сумма отклонений будет равна:
Если известны вероятнейшие ошибки , то используем формулу Бесселя:
Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического: 
Надежность средней квадратической ошибки: 
;
Надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического:
При большом числе n значение средней квадратической ошибки, вычисленное по формуле Бесселя и принятое при вычислении весов должна совпадать в пределах ошибки.
Если 
, то значит результат ненадежен и присутствуют систематические ошибки в измерениях.
Практическое задание №1
Отметка Н точки получена по 7 нивелирным ходам, известны средние квадратические ошибки по каждому ходу mH. Вычислить вероятнейшее значение отметки и произвести оценку точности.
| № хода | Н, м | mH, мм | p | ε, мм | pε | pε2 | ν | pν | pν2 |
| 1 | 103,751 | 5,8 | |||||||
| 2 | 103,760 | 6,4 | |||||||
| 3 | 103,748 | 5 | |||||||
| 4 | 103,755 | 9,1 | |||||||
| 5 | 103,749 | 4,2 | |||||||
| 6 | 103,747 | 7,5 | |||||||
| 7 | 103,765 | 7,9 | |||||||
| S | - | - |
Веса вычисляем по формуле:
где с=10
Вычисляем уклонения от среднего весового 
Контроль:
1. 
2. 
Найдем среднюю квадратическую ошибку m по формуле Бесселя.
Вычислим среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического М.
Оценим надежность средней квадратической ошибки и средней квадратической ошибки среднего арифметического mm и mM.
Ответ: записываем вероятнейшее значение отметки, оценим надежность результата измерения и наличие систематических ошибок.
Практическое задание №2
Найти веса следующих функций:
1. 
;
2. 
если 
; 
; 
; 
, 
.
Лабораторная работа №6
Способ полигонов проф. В.В.Попова
Цель работы: уравнять свободную сеть нивелирных ходов 4 класса, образующих три замкнутых полигона 1,2 и 3 (рис.1).
Дано: подсчитаны невязки полигонов, дано количество штативов по звеньям.
| B |
| A |
| II |
| I |
| D |
| III |
| C |
Рис.1. Схема нивелирной сети
Порядок выполнения работы:
1. Вычерчивают схему уравнивания нивелирной сети.
2. Около каждого хода, вне данного полигона, вычерчивают таблички, в которые будут вписываться поправки в процессе уравнивания.
3. Вычисляют «красные числа», как отношение числа станций в звене к числу станций во всем полигоне (или отношение длины звена к периметру полигона). Контроль: сумма красных чисел для каждого полигона должна быть равна 1,00.
4. Выбирают полигон с наибольшей невязкой, которую распределяют пропорционально красным числам, записывая поправки (со знаком невязки) в соответствующие внешние таблички. Контроль: сумма этих поправок должна быть равна невязке. На схеме распределенную невязку подчеркивают.
5. Переходят ко второму полигону. В нем получена невязка и «выброшенная» из первого полигона поправка, следовательно, теперь надо распределять их алгебраическую сумму. Распределенную невязку и поправку на схеме подчеркивают. То же делают и в третьем полигоне схемы, заканчивая первый круг распределения невязок и подчеркивая при этом использованные числа.
6. От полигона, в котором оказалась наибольшая невязка, начинают второй круг уравнивания, и так поступают до тех пор, пока все невязки не будут перенесены за границы полигонов. После этого в каждой табличке подсчитывают алгебраическую сумму поправок и записывают ее под двойной чертой.
7. Вычисляют вероятнейшие поправки в превышения по каждому ходу, как разности алгебраических сумм, записанных во внутренней и внешней табличках у каждого хода (внутренняя поправка минус внешняя). Полученные таким путем поправки записывают в скобках внутри полигонов у соответствующих ходов.
Контроль: сумма таких поправок по каждому полигону должна быть равна невязке, взятой с противоположным знаком.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1150; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!