Определение параметров линейной зависимости методом наименьших квадратов
Графическая обработка данных
Графическая обработка данных является основным приемом экспериментального исследования. Там, где имеется большой разброс, визуальная подгонка кривой иногда недостаточно точна потому, что на процесс может влиять субъективный фактор вводящей в заблуждение интуиции, особенно там, где имеется более двух переменных. Этот недостаток преодолевается регрессивным анализом, который формализует графическую процедуру выведением уравнения, представляющего эти данные. Основные принципы процедуры в общих чертах описаны в Приложении В. Однако такие методы трудоемки, особенно, если связь нелинейна, и их нелегко освоить даже там, где есть возможности машинного счета. Если у является функцией х, то точки данных хорошо выполненного эксперимента составляют связь yf( x), и, вероятно, мало что можно приобрести формальным регрессивным анализом. Из-за недостатков эксперимента зависимость f ( x) может быть скрыта рассеянием данных. К тому же метод аппроксимации не может дать точных значений коэффициентов функции, и ее вид вновь оказывается под вопросом. В таком случае скорее следует говорить о корреляции между у и х, чем о зависимости.
Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.
Эмпирические формулы.
В практических применениях математики часто встречается такая задача: зависимость между переменными величинами выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты эксперимента, данные наблюдений или измерений, статистической обработки материала и т.п. Требуется выразить эту зависимость между переменными аналитически, т.е. дать формулу, связывающую между собой соответствующие значения переменных. Такая формула облегчает анализ изучаемой зависимости.
|
|
|
Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных называются эмпирическими формулами.
Нужно иметь в виду, что подбор эмпирической формулы по данным результатам наблюдений не может ставить перед собой задачу разгадать истинный характер зависимости
между имеющимися переменными, тем более, что экспериментальные данные наверняка содержат случайные ошибки измерения или статистических наблюдений.
Применяются два различных метода построения эмпирических формул:
1. Интерполяция– когда строится многочлен, принимающий в заданных точках заданные значения. Достоинство этого метода в том, что полученная формула в точности воспроизводит заданные значения.
2. Аппроксимация(приближение, сглаживание) – когда по данным результатам наблюдений подбирается наиболее простая формула того или иного типа, дающая наилучшее приближение к имеющимся данным. При этом формула не воспроизводит в точности данные наблюдений.
|
|
|
Для получения аппроксимирующей функции чаще всего используется метод наименьших квадратов.
Пусть в результате эксперимента получено n значений функции 
при соответствующих значениях аргумента. Результаты записаны в таблицу.
| 
| 
| … | 
| … | 
|
|
| 
| 
| … | 
| … | 
|
Требуется установить функциональную зависимость величины 
от величины 
: 
. Задача разбивается на два этапа.
1. Из теоретических соображений или с помощью графического представления экспериментальных точек устанавливают вид зависимости 
, т.е. решают, является она линейной 
, квадратичной 
, показательной 
и т.д.
Если точки расположены как на рис.9, то вид функции 
линейный 
, если как на рис.10, то вид зависимости показательный или 
.
2. Определяют неизвестные параметры методом наименьших квадратов.
Суть метода: находим отклонения 
экспериментальных значений 
от теоретических, вычисленных по формуле 
. Составляем функцию 
– сумма квадратов отклонений. Неизвестные параметры определяем так, чтобы сумма была наименьшей, т.е. 
.
|
|
|
Определение параметров линейной зависимости методом наименьших квадратов.
Пусть вид зависимости линейный . Задача – определить параметрыаиb, чтобы функция наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.
Рассмотрим функцию. 
, где
- разность между экспериментальным значением и значением, определяемым функцией .
Получили функцию 
двух переменныхаиb. Параметрыаиbнужно подобрать так, чтобы сумма имела наименьшее значение (отклонение экспериментальных точек от прямой было минимальным). При любых значенияхаиb 
. Поэтому, если эта функция имеет экстремум, то это будет минимум. Функция будет иметь минимум в точках, в которых частные производные равны нулю:
. 
,
.
Преобразуя эти уравнения, получим систему, которая называется нормальной:
.
Это система линейных уравнений с двумя неизвестнымиа иb, решая её любым способом, найдем коэффициенты эмпирической формулы .
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 504; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!