Элементарные функции по Лиувиллю
Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция y переменной x - аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция 
от x и функций 
, причем z 1является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g 1 от x, z 1 является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g 1 от x, z 2 является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g 2 от x, z 1(x) и т.д.
Напр., sin(x) - алгебраическая функция от eix.
Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции 
алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение 
выполняется для всех x, то все коэффициенты полинома 
равны нулю.
Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.
Формальное определение:
Функция 
называется алгебраической в точке 
, если существует окрестность точки 
, в которой верно тождество
где 
есть многочлен от n + 1 переменной.
Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.
Например, функция действительного переменного 
является алгебраической на интервале (− 1,1) в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению
Существует аналитическое продолжение функции на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком [ − 1,1] или с двумя вырезанными лучами 
и 
. В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.
|
|
|
Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.
Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид
где 
, 
— многочлены от любого числа переменных.
Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:
, где P(x) и Q(x) — многочлены.
Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.
Свойства
§ Любое выражение, которое можно получить из переменных 
с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
§ Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции.
§ Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.
|
|
|
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!