Приведите свойства декартова произведения множеств.

16.Что называют отображением из множества А в множество В?

Отображение f: A -> B – сюръекция, если его область значений совпадает со всем множеством B. Его часто называют отображением мн-ва А на В. Отображение задано, если каждому сопоставлен единственный элемент .

17.Какое отображение называют инъективным?

Отображение f: A -> B – инъективно, если каждый элемент области его значений имеет единственный прообраз, т.е. f(x1)=f(x2) => x1=x2

18.Какое отображение называют сюръективным?

Отображение f: A -> B – сюръекция, если его область значений совпадает со всем множеством B.

19.Какое отображение называют биективным?

Отображение f: A -> B биективно, если оно сюръективно и инъективно одновременно.

20.Что такое композиция отображений?

Если даны два отображения и , где , то имеет смысл "сквозное отображение" из в , заданное формулой , , которое называется композицией функций и и обозначается .
Таким образом, , при всех . Другое название композиции -- сложная функция (так как сквозное отображение "сложено" из отображений и ).

21.Что такое обратимое отображение?

Отображение f: A -> B обратимое, если при этом различные a_i A переходят в различные b_i B.

22.Что такое обратное отображение?

Пусть - биективное отображение и F = { y }. В силу биективности f каждому соответствует единичный образ x, который обозначим через f ^-1(y), и такой, что f (x) = y. Таким образом, определено отображение , которое называется обратным отображению f

23.Теорема: отображение обратимо, тогда и только тогда, когда оно биективно.

Необходимость. Пусть f — обратимое отображение

множества A в множество B. Это означает, что обратное бинарное отношение f также является отображением. Следовательно, f удовлетворяет двум условиям:
1) ∀b ∈ B ∀a, c ∈ A ((b, a) ∈ f ∧ (b, c) ∈ f ⇒ a = c) и

2) Dom f = B.

Из первого условия следует импликация (b = f (a) = f (c)) ⇒ a = c, которая означает инъективность отображения f. Из второго условия следует, что ∀b ∈ B ∃a ∈ A (b, a) ∈ f, а это означает юръективность отображения f. Таким образом, f — биективное отображение.

Достаточность. Пусть f — биективное отображение множества A в множество B. Тогда f — инъективное отображение, то есть ∀a, c ∈ A ∀b ∈ B (f (a) = b = f (c) ⇒ a = c). Это означает, что если (b, a) ∈ f и (b, c) ∈ f, то a = c. Следовательно, f — функция из B в A. По условию f — сюръективное отображение, то есть ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b, а значит (b, a) ∈ f. Это говорит о том, что Dom f = B и потому f — отображение множества B в множество A. Таким образом, отображение f обратимо.

24. Теорема: если отображение обратимо, то обратное к нему отображение единственно.