Классификация кристаллических решеток

В основе кристаллической решетки лежит элементарная кристаллическая ячейка - параллелепипед с характерным для данной решетки расположением атомов.

Французский кристаллограф О. Браве в 1848 году основал геометрическую теорию структуры кристаллов, в зависимости от соотношения величины и взаимной ориентации ребер элементарной кристаллической решетки, существует 14 типов кристаллических решеток (решетки Браве).

 

Различают решетки Браве:

· примитивные (простые) - если узлы кристаллической решетки расположены только в вершинах параллелепипеда элементарной сетки, (рис.1.1.а)

· базоцентрированные - если, кроме того, есть узлы в центре оснований параллелепипеда, (рис.1.1.б);

· объемно-центрированные - если есть узлы в месте пересечения пространственных диагоналей (рис.1.1.в);

· гранецентрированные если есть узлы в центре граней (рис.1.1.г).

 

По форме ячейки в зависимости от углов между гранями a,b, и величины ребер a,b,c различают 7 кристаллических схем (рис.1.2):

В порядке убывающей симметрии кристаллографические системы располагаются следующим образом:

а) правильная или кубическая: все ребра – одинаковые, все углы – прямые: a = b = c; a=b= =90°. Элементарная ячейка имеет форму куба.

б) гексагональная (прямая призма, в основании ромб с углами 60⁰ и 120⁰, высота призмы не равна стороне ромба);

г ) тригональная (ромбоэдрическая) – ромбоэдр, a=b= ;

в) тетрагональная (прямоугольный параллелепипед, в основании – квадрат);

д) ромбическая (прямоугольный параллелепипед с разной длиной ребер);

е) моноклинная (наклонный параллелепипед, две пары граней – прямоугольники);

ж) триклинная (параллелепипед).

 

Сложная структура кристалла может быть представлена как совокупность маленьких решеток Браве, вдвинутых одна в другую.

Расположение частиц в узлах кристаллической решетки одинаково по всему объему кристалла. В жидкостях и аморфных телах имеет место ближайший порядок расположения частиц, по отношению к любой частице расположение ближайших соседей является упорядоченным, по мере же удаления от этой частицы расположение по отношению к ней других частиц становится все менее упорядоченным.

 

1.3. Симметрия кристаллов

Кристаллическая решетка - это пространственная сетка, в узлах которой расположены частицы (атомы, молекулы, ионы), образующие кристаллы. Может обладать различными видами симметрии, т.е. свойства решетки совпадать с самой собой при некоторых мысленных пространственных перемещениях (поступательных и поворотах). Рассмотрим виды симметрии.

В природе часто встречаются кристаллы с правильной внешней формой в виде многогранников, в которых равнозначные грани и ребра периодически повторяются, то есть кристалл обладает симметрией.

Симметрия подразумевает наличие в объектах чего-то неизменного, инвариантного по отношению к некоторым преобразованиям. Для геометрических фигур симметрия – это свойство содержать в себе равные и однообразно расположенные части. Поворотом вокруг какой-либо оси, отражением в точке или в плоскости фигура может быть совмещена сама с собой. Такие операции называют симметрическими преобразованиям и, а геометрический образ, характеризующий отдельное симметрическое преобразование – элементом симметрии. Каждая фигура имеет, по крайней мере, одну точку, которая остается на месте при симметрических преобразованиях. В этом смысле кристаллы обладают точечной симметрией.

В кристаллах число элементов симметрии ограничено, различают

· зеркальную плоскость симметрии,

· поворотную ось симметрии (прямую и зеркальную),

· центр симметрии или центр инверсии.

Зеркальная плоскость симметрии соответствует прямому отражению в плоскости, как в зеркале. Такая плоскость делит тело на две равные части, совпадающие друг с другом всеми своими точками при отражении в этой плоскости.

Прямая поворотная ось симметрии – прямая линия, при повороте вокруг которой на долю окружности, равную 1 /n, где n – порядок оси, фигура совмещается сама с собой всеми своими точками. Так, при наличии в фигуре оси шестого порядка (n =6) поворот равен 60⁰.

Кроме прямых поворотных осей различают еще зеркально-поворотные оси, сочетающие одновременно действие поворота вокруг оси на долю окружности 1/ n и отражение в перпендикулярной ей плоскости.

Центр симметрии, или центр инверсии, - особая точка внутри фигуры, при отражении в которой фигура совмещается сама с собой, то есть операция инверсии состоит в отражении фигуры в точке, фигура после отражения получается перевернутой и отраженной.

В кристаллах встречаются оси симметрии только пяти различных порядков (первого, второго, третьего, четвертого и шестого). Оси пятого, седьмого и выше порядков в кристаллах запрещены, так как их существование не совместимо с представлением о кристаллической решетке.

Полную совокупность элементов симметрии, характеризующую симметрию объекта, называют классом симметрии. Установлено 32 класса симметрии кристаллов.

В пространственной решетке добавляется еще один элемент симметрии – трансляция , которая действует на всю решетку (а не на точку), при перемещении решетки на трансляцию в направлении вектора трансляции решетка совмещается сама с собой всеми своими точками. Комбинация трансляции с элементами симметрии, характерными для кристаллов как конечных фигур, дает новые виды элементов симметрии.

Такими элементами являются:

· поворот вокруг оси + параллельный перенос = винтовая ось;

· отражение в плоскости + параллельный перенос вдоль плоскости = плоскость скользящего отражения.

Действие плоскости скользящего отражения сводится к отражению исходной точки в плоскости (как в зеркале) и одновременному переносу ее вдоль плоскости на величину, равную половине трансляции 1/2 Т параллельной плоскости.

Действия винтовой оси сводится к повороту исходной точки вокруг оси на долю окружности, равную 1/ n, где n – порядок оси, и одновременному ее смещению вдоль оси на Т/n, причем поворот на 360⁰ приводит к смещению исходной точки вдоль оси на расстояние, равное трансляции Т.

Винтовые оси возможны второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Винтовая ось первого порядка эквивалентна простому перемещению (трансляции).

Существует 230 пространственных групп симметрии, каждая определенным образом распределяется по 32 классам точечной симметрии. Для перехода от пространственной группы к классу симметрии нужно все элементы симметрии пространственной группы провести через одну точку и считать винтовые оси поворотными осями одинакового наименования, а плоскости скользящего отражения – зеркальными.

 

1.4. Обозначение плоскостей и направлений в кристалле

 

Решетчатая структура кристаллов приводит к необходимости выделять и определенным образом обозначать различные кристаллографические плоскости – плоскости, в которых находится множество атомов решетки. Практическое значение имеют лишь плоскости с наибольшим числом атомов на единицу площади. Для этого пользуются специальной системой координат, связанной с кристаллом так, что координатные оси X, Y, Z берут вдоль ребер элементарной ячейки, а начало координат в одном из узлов.

Выберем систему координат с осями, совпадающими с тремя ребрами элементарной кристаллической сетки:

· начало координат находится в одном из узлов решетки, в котором пересекаются эти ребра,

· а осевые единицы соответствуют длине ребер кристаллической сетки (рис.1.3.).

· Масштаб

- по оси х равен длине ребра элементарной ячейки a;

- по y – b;

по z – с.

Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками.

В выбранной системе координат в качестве трех таких точек берут точки пересечения заданной плоскости с осями координат.

Для обозначения плоскостей в кристалле используют индексы Миллера, которые определяются след. образом:

1) находят координаты трех точек пересечения плоскости с координатными осями (в единицах постоянной решетки);

2) обратные значения полученных чисел приводим к общему знаменателю и знаменатель отбрасываем. Числители полученных дробей и есть индексы Миллера h, k, , которые заключают в круглые скобки (hk )

 

Пусть узловая плоскость S пересекает оси координат в точках А,В,С и отсекает по осям отрезки m,n,p, причем m=OA/a; n=OB/b; p=OC/c.

Отношение обратных величин осевых отрезков имеет вид

h:k: = 1/ m:1/ n:1/ p,

где h,k, -индексы Миллера.

Для их нахождения отношение 1/ m:1/ n:1/ p приводят к общему наименьшему знаменателю и отбрасывают его.

Например, 1/ m:1/ n:1/ p =1/5:1/2:1/7=14/70:35/70:10/70=14:35:10,

т.е. h =14; k =35; =10.

Плоскость S обозначают (14,35,10).

 

Если плоскость S параллельна какой-либо оси, то соответствующий ей индекс h,k, равен нулю,

и если индекс отрицательный, знак “минус” ставится над ним: (1, ,3).

Некоторые плоскости, различающиеся по индексам Миллера, являются эквивалентными

например,

в кубе грани (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1), ( 0 0),

(0 0), (0 0 ).

Эти плоскости могут быть совмещены друг с другом при повороте вокруг одной из осей координат на угол, кратный 90⁰. Эти плоскости обладают одинаковой структурой в расположении узлов решетки, и, следовательно, одинаковыми физическими свойствами.

Семейство эквивалентных плоскостей обозначается фигурными скобками: {100}.

Плоскости (hk ) и () неэквивалентны, поэтому семейство включает в себя 6 (a не 12) различных систем плоскостей (рис.1.4).

Индексы направления в кристалле представляют собой набор наименьших чисел u,v,w, отношение которых друг к другу равно отношению проекций вектора, параллельного заданному направлению, на кристаллографические оси координат (рис.2).

Эти индексы заключаются в квадратные скобки [ uvw ].

Семейство эквивалентных направлений обозначается ломаными скобками < uvw >.

Символика Миллера применяется для всех кристаллографических систем, кроме гексагональной.

Кристаллы гексагональной системы описываются с помощью четырех координатных осей x ₁, x ₂, x ₃, z.

Оси x ₁, x _2, x ₃ имеют одинаковый масштаб, угол между ними 120⁰.

Ось z перпендикулярна к плоскости (x ₁, x ₂, x ₃. В гексагональной системе применяются индексы Миллера - Браве.

Принцип определения этих индексов в тот же: если осевые отрезки m, n, q, p, то индексы Миллера - Браве: h:k:i: =1/ m:1/ n:1/ q:1/ p.

При этом =-(h+k). Это можно показать геометрически (угол между (x ₁, x ₂); (x ₂, x ₃); (x ₃, x ₁) равен 120⁰). Это дает возможность не писать третий индекс и свести индексы Миллера – Браве к индексам Миллера (рис.1.5).

Кристаллографические плоскости играют большую роль в методах рентгено- и нейтроноструктурного анализов кристаллов.

Межплоскостное расстояние d для простой кубической решетки определяется формулой:

,

Где а – постоянная решетки, - миллеровские индексы.

 

Обратная решетка

Обратная решетка не является решеткой в том обычном смысле, который мы вкладываем при определении пространственной решетки кристалла.

Обратной решетки не существует в кристалле, она представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто и точно описывать условия, в которых протекает то или иное явление в твердом кристаллическом теле.

Прямая и обратная решетки взаимно сопряжены. Решетка, обратная к обратной, есть просто исходная прямая решетка. Каждый узел [[ hk ]]* обратной решетки соответствует семейству параллельных плоскостей (hk ) прямой решетки. При этом обратная решетка строится по отношению к конкретной решетке Браве и сама является решеткой Браве. Так, для простой кубической ячейки Браве обратной решеткой является решетка, описываемая простой кубической элементарной ячейкой со стороной 1/ а, где а - параметр прямой ячейки. Обратная к гранецентрированной есть объемно- центрированная решетка, а прямой объемно- центрированной решетке соответствует обратная гранецентрированная.

Вектор обратной решетки перпендикулярен к плоскости (h,k, ) и по модулю равен 1/ d_hkl, где d_hkl - межплоскостное расстояние в системе эквивалентных плоскостей { h,k, }прямой решетки.

---

Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 28; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!