Метод наименьших квадратов
Основоположниками метода наименьших квадратов являются Лежандр, Р.Андре, Гаусс. Этот метод часто применяют в задачах выравнивания или сглаживания.
Пусть в результате наблюдений химического эксперимента получен ряд точек (х1;у1), (х2;у2), …, (хn;уn) (рис.11).
Рис.11. Результате наблюдений химического эксперимента.
Согласно методу наименьших квадратов - сумма квадратов отклонений опытных точек () от точек, рассчитанных по теоретической кривой () должна быть минимальной.
(6)
- значения точек, полученные в ходе эксперимента.
- точки, лежащие на прогнозируемой кривой. Мы предполагаем линейную зависимость (линейную структуру) - . Поэтому записываем:
(7)
Функция S - функция двух независимых переменных а0 и а1. Для определения экстремума функции нескольких переменных необходимо обращение в нуль ее частных производных первого порядка, что приводит к уравнениям:
(8)
Сокращая все члены уравнения на 2 и группируя члены, содержащие а0 и а1, получаем:
(9)
Для определения значений а0 и а1 следует решить систему двух уравнений с двумя неизвестными. Выразим а0 из первого уравнения и подставим его выражение во второе уравнение, которое решим относительно а1.
, (10)
, (11)
(12)
Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!