Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности U точки х=0 и существует М>0 такое, что , тогда
.
Действительно,
.
Здесь (0<q<1), xÎUÞ qxÎUÞ ,
поэтому
. (1)
Замечание 1. при любом фиксированном x.
Докажем это. Положим
, тогда .
Так как х фиксированно,
.
Пусть n³n0, тогда
,
т.е. начиная с номера n0 последовательность является убывающей. Так как, кроме того, эта последовательность ограничена снизу (например, числом нуль), то по теореме п.2.7. она имеет предел y.
Для нахождения предела заметим, что
.
Переходя к пределу при n®¥, получим y=0×y, т.е. y=0.
Таким образом, (2)
Замечание 2. Из условий (1) и (2) следует. что, выбирая достаточно большой номер n, мы можем сделать Rn+1(x) как угодно малым. Таким образом, если заменить значение f(x) приближенным, равным
,
то ошибка Rn+1(x) по абсолютной величине может быть сделана сколь угодно малой, если только в формуле Маклорена взято достаточно большое число членов.
Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 14; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!