Сложная или (m, p)-рента
Финансовая рента
Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей такой, что равные выплаты производятся через равные промежутки времени. Ренты бывают безусловные и условные. Рента называется безусловной, если известен общий срок ренты. Рента называется условной, если общий срок ренты заранее неизвестен и зависит от выполнения некоторого условия (например, страховые и пенсионные выплаты). Условные ренты обычно рассматриваются в актуарной математике. Различают также ренты пренумерандо и постнумерандо. Рента называется пренумерандо, если периодические выплаты производятся в начале каждого периода, постумерандо – если в конце каждого периода. Рента называется вечной, если ее общий срок неограниченно большой.
Введем обозначения:
Т – общий срок ренты
n – количество периодов ренты
τ – длительность одного периода
R – член ренты или периодическая выплата
Основными расчетными характеристиками ренты являются:
S0 (0) – современная стоимость ренты пренумерандо
S0 (n) – наращенная стоимость ренты пренумерандо
S1 (0) – современная стоимость ренты постнумерандо
S1 (n) – наращенная стоимость ренты постнумерандо
Ниже дано графическое изображение ренты пренумерандо и постнумерандо:
Рис. 1
Будем считать сначала, что рента простая, т.е. начисление или учет процентов, а также выплаты производятся один раз в году. Будем считать далее, что на рынке действуют следующие эквивалентные между собой ставки:
|
|
|
i ~ δ ~ d.
Вычислим величину S0 (0). Используя формулу суммы геометрической прогрессии, а также равенство 1-v=d, получаем
S0 (0) = R + Rv + Rv2 + … + Rvn–1 = R (1 + v + v2 + … + vn–1) = 
Далее вычислим величину S0 (n):
S0 (n) = Rkn + Rkn–1 + Rkn–2 + … + Rk = Rk (kn–1 + kn–2 + … + 1) = 
Аналогично находим величины S1 (0) и S1 (n) относительно ренты постнумерандо. Окончательно получаем следующие расчетные формулы для простых рент пренумерандо и постнумерандо:
S0 (0) = 
(3.1)
S0 (n) = 
(3.2)
S1 (0) = 
(3.3)
S1 (n) = 
(3.4)
Финансовая рента часто используется в задачах погашения кредита.
Пример. Кредит в размере 300000 р. выплачивается ежегодно по годовой учетной ставке 20 % в течении 3-х лет. Найти величину ежегодных выплат.
Решение. Будем считать, что обслуживание кредита осуществляется по схеме простой ренты постнумерандо. Условие задачи: S1 (0) = 300000, d = 20 %, n = 3. R =?
Для нахождения члена ренты R воспользуемся формулой (3.3)
R = 
Ответ: R = 153688,53 р.
Нетрудно заметить, что справедливы неравенства:
S0 (0) > S1 (0)
S0 (n) > S1 (n)
Это означает, что современная или наращенная стоимость ренты пренумерандо больше соответствующей стоимости ренты постнумерандо. Безразмерные величины в формулах (3.1) – (3.4) – коэффициенты ренты.
|
|
|
Коэффициент дисконтирования ренты пренумерандо:
= 
(3.5)
Коэффициент наращения ренты пренумерандо:
(3.6)
Коэффициент дисконтирования ренты постнумерандо:
= 
(3.7)
Коэффициент наращения ренты постнумерандо:
= 
(3.8)
Формулы (3.5) – (3.8) подставим в формулы (3.1) – (3.4). Получаем выражения наращенных и дисконтированных стоимостей через коэффициенты наращения и дисконтирования рент пренумерандо и постнумерандо:
S0 (0) = R 
(3.9)
S0 (n) = R 
(3.10)
S1 (0) = R 
(3.11)
S1 (n) = R 
(3.12)
Сложная или (m, p)-рента
Простая рента предполагала одно начисление или один учет на одном периоде ренты и одну выплату на этом периоде. Пусть теперь на одном периоде производится m начислений или учетов процентов и p выплат. Найдем коэффициенты сложной ренты и, соответственно, современную и наращенную денежные стоимости.
Найдем коэффициенты дисконтирования и наращения сложной ренты пренумерандо и постнумерандо. Напомним, что
v=1–d
– годовой коэффициент дисконтирования по годовой эффективной учетной ставке,
k=1+i
- годовой коэффициент наращения по годовой эффективной процентной ставке,
vm = 
- годовой коэффициент дисконтирования по годовой номинальной учетной ставке с m учетами в году,
|
|
|
km = 
- годовой коэффициент наращения по годовой номинальной процентной ставке,
vm,p = 
- годовой коэффициент дисконтирования по годовой номинальной учетной ставке с m учетами на 
части года,
km,p = 
- годовой коэффициент наращения по годовой номинальной процентной ставке с m начислениями на 
части года.
На каждом частичном периоде выплата равна 
. Однако, величину в этой выплате обычно учитывают в коэффициентах ренты. Тогда
= 
(1 + 
+ 
+ … + 
) = = 
∙ 
Очевидно, что коэффициент дисконтирования сложной ренты постнумерандо меньше коэффициента сложной ренты пренумерандо. Точнее, он равен
vm,p
или
= ∙ 
По аналогии коэффициент наращения сложной ренты пренумерандо равен:
= 
(
+ 
+ … + ) =
= ∙ 
.
Коэффициент наращения сложной ренты постнумерандо равен:
или
= ∙ 
Итак, основные расчетные формулы для коэффициентов дисконтирования и наращения сложной ренты пренумерандо и постнумерндо имеют следующий вид:
= ∙ 
(3.13)
= ∙ 
(3.14)
= ∙ 
(3.15)
∙ = 
(3.16)
С помощью формул (3.13) – (3.16) легко записать основные расчетные формулы для современных и наращенных стоимостей сложной ренты-пренумерандо и постнумерндо:
S0 (0) = R 
(3.17)
S0 (n) = R 
(3.18)
S1 (0) =R 
(3.19)
S1 (n) = R 
(3.20)
|
|
|
Рассмотрим несколько типичных случаев сложной ренты:
1. m = 1, p = 1 – простая рента, (d(1) = d)
= 
= 
(см. формулу (3.5))
Аналогично, коэффициенты (3.14), (3.15), (3.16) в этом случае равны коэффициентам (3.6), (3.7), (3.8) простой ренты.
2. m < ∞, p = 1
Формулы (3.13) – (3.16) примут следующий вид:
= 
(3.21)
= 
(3.22)
= 
(3.23)
= 
(3.24)
3. m = 1, p < ∞ (i(1) = i; d(1) = d)
= 
(3.25)
= 
(3.26)
= 
(3.27)
= 
(3.28)
4. m = p
= 
= 
(3.29)
= 
(3.30)
= 
(3.31)
= 
(3.32)
Итак, в случае m = p сложная рента с основным временным промежутком в один год сводится к простой ренте с основным временным промежутком, равным 1/m части года и соответствующей ставкой.
5. m = ∞, p < ∞
Рассмотрим коэффициент
= 
по формуле (3.13) и перейдем к пределу при m →∞. С помощью известного из высшей математики второго замечательного предела
легко получаем
Таким образом, коэффициент дисконтирования сложной ренты пренумерандо при непрерывном учете процентов по силе процента δ за n лет и p выплатах в году равен
= 
(3.33)
По аналогии получаем:
= 
(3.34)
= 
(3.35)
= 
(3.36)
Контрольные вопросы
1. Что такое финансовая рента?
2. Каковы временные и денежные параметры простой финансовой ренты?
3. Чем отличаются условные и безусловные ренты?
4. Чем отличаются ренты пренумерандо и постнумерандо?
5. Каково графическое изображение рент пренумерандо и постнумерандо?
6. Какова формула суммы членов геометрической прогрессии?
7. Как вычисляется множитель наращения простой ренты пренумерандо?
8. Как вычисляется множитель наращения простой ренты постнумерандо?
9. Как вычисляется множитель дисконтирования простой ренты пренумерандо?
10. Как вычисляется множитель дисконтирования простой ренты постнумерандо?
11. Как вычисляется множитель наращения сложной р- срочной ренты пренумерандо с начислением процентов m раз в году?
12. Как вычисляется множитель наращения сложной р -срочной ренты постнумерандо с начислением процентов m раз в году?
13. Как вычисляется множитель дисконтирования сложной р- срочной ренты пренумерандо с учетом процентов m раз в году?
14. Как вычисляется множитель дисконтирования сложной р -срочной ренты постнумерандо с учетом процентов m раз в году?
15. Что такое вечная рента?
16. Каков коэффициент дисконтирования вечной ренты пренумерандо?
17. Каков коэффициент дисконтирования вечной ренты постнумерандо?
18. Как производится консолидация финансовых рент?
19. Каковы известные схемы погашения заема?
20. Каковы известные схемы погашения долга?
Варианты заданий
Задание. Три банка А, В, С предлагают следующие варианты погашения кредита в размере 500 000 р. в течение 5 лет:
А) по годовой учетной ставке d c ежемесячным начислением процентов и ежемесячной выплатой
В) по годовой процентной ставке i1 c ежемесячным начислением процентов и ежемесячной выплатой
C) по годовой процентной ставке i2 c ежеквартальным начислением процентов и ежемесячной выплатой
Указать наилучший вариант обслуживания кредита
Вариант 0
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 1
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 2
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 3
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 4
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 5
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 6
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 7
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 8
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 9
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 10
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 11
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 12
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 13
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 14
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 15
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 16
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 17
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 18
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 19
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 20
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 21
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 22
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 23
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 24
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 25
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 26
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 27
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 28
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 29
d=10%, i1=12%, i2=13%
Вариант 30
d=10%, i1=12%, i2=13%
Решение нулевого варианта
Задание. Три банка А, В, С предлагают следующие варианты погашения кредита в размере S(0)=500 000 р. в течение n=5 лет:
А) по годовой учетной ставке d=10% c ежемесячным начислением процентов и ежемесячной выплатой
В) по годовой процентной ставке i1=12% c ежемесячным начислением процентов и ежемесячной выплатой
C) по годовой процентной ставке i2=13% c ежеквартальным начислением процентов и ежемесячной выплатой
Решение. А) Будем считать, что схема погашения кредита в этом случае представляет собой (12,12)-ренту, сводящуюся к простой ренте с базовым временным периодом в один месяц. Составим уравнение эквивалентности
S1 (0) = R (3,37)
По формуле (3.31) найдем коэффициент дисконтирования ренты постнумерандо. Для этого предварительно выразим годовую номинальную учетную ставку d(m) через заданную годовую учетную ставку d=10% по формуле (2.14):
или 
Далее
= 
Из уравнения (3,37) получаем
Это годовая выплата. Помесячная выплата rA составит: rA=10767,4 р.
В) Схема погашения кредита в этом случае представляет собой также (12,12)-ренту, сводящуюся к простой ренте с базовым временным периодом в один месяц. Составим уравнение эквивалентности
S1 (0) = R 
(3,38)
По формуле (2.17) переведем годовую процентную ставку i1=12% в эквивалентную ей годовую номинальную учетную ставку 
:
Далее
= 
Из уравнения (3,38) получаем
Помесячная выплата rВ составит: rВ=11121,92 р.
1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. – М.: ИНФРА-М, 2000
2. Жулепов С.В. Финансовая математика. Введение в классическую теорию, - Изд-во МГУ, 2001
3. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. – М: Приор, 1998
4. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансово-банковских расчетов. – М.: ИНФРА-М, 1996
5. Кутуков В.В. Основы финансовой и страховой математики. – М: Дело, 1998
6. Малыхин В.И. Финансовая математика. – М.:ЮНИТИ, 1999
7. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. – М.: ИНФРА-М, 1996
8. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок. Расчет и риск. – М.: ИНФРА-М, 1994
9. Финансовые расчеты. Методические указания и рекомендации для студентов экономических специальностей. – Изд-во ТюмГУ, 2000
10. Черкасов В.Е. Практическое руководство по финансово-экономическим расчетам. – М.: Метаинформ, 1995
11. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.: Дело.Лтд, 1992
12. Чуйко А.С., Шершнев В.Г. Математические основы финансового обслуживания. – М.: Рос. экон. акад., 1998
13. Ширяев А.Н. Основы стохастической математики. – М: Фазис, 1998
(40)
Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 30; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!