Порядок расчета переходных процессов операторным методом

1. По законам коммутации в схеме определяют независимые начальные условия i_L(0+) и U_c(0+).

2. Составляют операторную схему замещения. Для этого в схеме после коммутации заменяют все элементы их изображениями в соответствии с рис. 2.1. Такой подход к решению задачи соответствует методу изображающих схем.

При наличии индуктивных связей также возможен метод изображающих схем. Например, при согласном включении катушек операторные схемы замещения имеют следующий вид (рис. 2.2 и рис. 2.3).

Рис. 2.2

Рис. 2.3

При синусоидальных источниках целесообразно, по принципу наложения, принужденную составляющую решения определять классическим методом, а свободную из операторной схемы, содержащей только источники э.д.с. Li_св(0) и Uc_св(0)/p. Величины iL_св(0) и Uc_св(0) определяются из соотношений:

Такой подход к решению задачи соответствует смешанному операторно классическому методу.

3. Определяют изображения токов I_к(р) и напряжений U_к(p) в операторной схеме замещения любым рациональным методом расчета линейных цепей.

4. По изображениям находят оригиналы - законы изменений токов и напряжений. На практике обычно для обратного перехода используют таблицы изображений, формулы разложения или метод неопределённых коэффициентов.

Пример расчета приведен в приложении 1.

а) Определение оригинала по формуле разложений.

1. Если все полюсы (корни) F(p) простые (некратные), оригинал функции определяется из формулы

(18)

где - правильная несократимая дробь, m<n;

n - число корней уравнения N(p)=0, т.е. число полюсов N(p).

2. Если уравнение N(p)=0 имеет кратные корни

(19)

где m - кратность i-го корня;

i - номер слагаемого (от 1 до m);

0!= 1.

Необходимо отметить, что формула (19) универсальна; она справедлива для любого корня.

Если имеются одновременно простые и кратные корни, то формулы (18) и (19) применяются раздельно соответственно для простых и кратных корней; затем производится суммирование.

3. Если уравнение N(p)=0 имеет два комплексных сопряженных корня р и р*

б) Определение оригинала с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Если решение получено в операторной форме в виде

то оригинал определим, разложив I(р) на сумму простых рациональных дробей

Приводим левую и правую части равенства к общему знаменателю

4^.р + 1200 = (a + b)^.p + 200^.a.

Последнее равенство возможно, если множители при одинаковых степенях р обеих частей равны: 4=а + b, 1200 = 200^.а.

Откуда а = 6; b=-2 и i(t)=6 – 2^-200^t А.

Приложение 1

Типовой расчет Переходные процессы в линейных электрических цепях

Цель расчета: освоение классического и операторного методов расчета переходных процессов в линейных цепях при различных видах коммутации, построение графиков искомых величин переходного процесса и применение основных положений теории к расчету переходных процессов в конкретной электрической цепи.

Исходные данные: схема электрической цепи и ее параметры. Содержание работы: приведено в задании на типовой расчет.

Литература [1,4,6]

Пример выполнения расчета

1. Цепь первого порядка.

В качестве примера приведем расчет электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.

Рис. 1.

Параметры элементов цепи:

г = 20 Ом, С = 70 мкФ.

1. Классический метод.

Решение

1.1. Составляем схему до коммутации (рис. 2) и определяем независимое начальное условие, используя символический метод расчета.

Рис. 2.

Мгновенное значение напряжения на емкости

U_c(t) = 51.4^.sin(628^.t – 7,6°) В.

при t = 0-

U_c(0-) = 51,4^.sin(-7,6°) = -6,8 В.

В соответствии со вторым законом коммутации

U_c(0-) =U_C(0+) =6,8 В.

1.2. Составляем характеристическое уравнение для цепи после коммутации и определяем его корни (рис. 3)

Рис. 3.

Из 3,б, предварительно шунтируя источник, имеем

1.3. Определяем принужденную составляющую напряжения на ёмкости (схема рис. З.б)

Мгновенные значения принужденных составляющих

U_Cnp = 51,5^.sin(628^.t + 29,7°) В,

i_l_пр = 3,44^.sin(628^.t + 70,9°) А.

1.4. Определяем напряжение на емкости как суммупринужденной

U_C = U_C_пр + U_Ссв = 51,5 sin (628 t + 29,7°)

при t = 0+

U_С(0+) = U_Cnp(0+) + А,

6,8 = 51,5 sin 29,7° + A,

^=-6,8-25,5=-32,3 В.

Окончательно

U_С(t) = 51,5 sin (628 t + 29,7°) – 32,3 е^-1071,4^t В.

1.5. Определяем ток i₁ через источник

1.6. Проверка правильности расчета

При t = О

U_С(0) = 51,5 sin 29,7° - 32,3 = 25,5 – 32,3 = -6,8 В.

i₁(0) = 3,44 sin 70,9° + 0,8 = 3,25 + 0,8 = 4,05 A.

Полученные значения сравниваем с начальными условиями

U_c(0+) и i₁(0+)

U_c(0+) = -6,8 В,

2. Операторный метод

Решение

2.1. Составляем операторную схему замещения (рис. 4) для схемы после коммутации

Рис.4.

2.2 Операторное изображение U(t)

где

2.3. Определяем I₁ (р) и I₂(р), используя метод контурных токов

Корни знаменателя из условия N(0)=0

2.4. Определяем напряжение на емкости

N(p)=0

р₁=0;

М(р₁)=0;

Проверка правильности расчета

При t = 0

U_c(t) = 51A^.sin (29,7°) – 32,3 = 25,56 – 32,3=-6,74 В.

Независимое начальное условие U _с(0)= -6,8 В.

2. Определить ток классическим методом при напряжении вида:

Решение

1. Изображаем схему(рис 3, б) для заданного напряжения (рис. 4)

Рис. 4.

3. Характеристическое уравнение (положение ключа 2).

4. Принужденная составляющая

5. Напряжение на емкости

при t=0+

А=-84,66 В.

Окончательно

6. Определяем ток i₁

7. Проверка

при t=0 i₁

(0)=2,12+2,12=4,24 А.

Определим зависимое начальное условие i₁(0+)

Рис. 5.

Рис. 6.

3. Построение графиков токов источников по результатам расчета п. 1 и 2.

a.) i₁(t)=3,43^.sin (628^.t + 70,9°) + 0,8^.е^{-1071,4 t} A. (рис. 5)

- постоянная времени,

- период.

Начальная фаза тока i₁ равна 70,9° выражается в секундах следующим образом

б.) i₁(t):= 2,12 + 2,12^. е^{-1071,4 t} А. (рис 6),

τ=0,00093 с.

4. Цепь второго порядка

Произведем расчет электрической цепи, схема которой приведена на рис.8.

Рис. 7.

Параметры элементов цепи:

U=160 В. г₁=r₂ =30 Ом. r₃:= 40 Ом.

L₃ = 0,03 Гн. С₁=40 мкФ.

1. Классический метод.

Решение

1.1. Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации (рис. 8).

Рис.8.

Независимые начальные условия

при t = 0-

U_c(0+) = 0

1.2. Определяем зависимые начальные условия из схемы после коммутации (рис. 9).

Рис.9.

i₁(0+)-i₂(0+)-i₃(0+) = 0; (1)

i₁(0+) r₁ + U_c(0+) + i₂(0+) r₂ = U; (2)

-i₂(0+) r₂ + U_L(0+) + i₃(0+) r₃ = 0. (3)

Из(1) i₂(0+) = i₁(0+)-i₃(0+); (4)

Подставляем (4) в (2)

i₁ (0+)г₁ +U_c(0+) + i₁(0+)r₂-i₃(0+)r₂ = U;

i₂(0+) = i₁(0+) - i₃(0+) = 4,66-4 = 0,66 A;

U_L(0+) = i₂(0+) r₂ -i₃(0+) r₃ = 0,66^.30 – 4^.40 = 49,8 -160 = -140,2 B;

1.3. Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни

р² + 2250^.р + 972222,2=0

1.4. Определяем принужденную составляющую напряжения на ёмкости

U_Cnp = U= 160 В, т.к. i₁= 0 (рис. 9).

1 .5. Напряжение на ёмкости

(5)

Для определения А₁ и А₂ продифференцируем уравнение (5)

(6)

1.6. На уравнения (5) и (6) накладываем начальные условия при t=0+ и определяем А₁ и А₂.

U_c(0+)=160 + Al+A2 = 0; (7)

(8)

A₁ + А₂= -160

Напряжение

1.7. Определяем ток i₁

1.8. Определяем ток i₃

(9)

(10)

Накладываем начальные условия на (9) и (10)

i₃(0+) = D₁ + D₂ = 4

Ток

2. Операторный метод

2.1. Составляем операторную схемузамещения (рис. 10).

Рис. 10

2.2. Составляем уравнения, используя метод контурных токов

2.3. Определяем J₁(p) и J₂(p)

2.4. Определяем корни из условия N(p)=0

1,8^.р² + 4050^.р + 1750000=0

2.5. Определяем значения М(р) и N'(p) при р₁ и р₂

М(р₁) = 11200 – 8,4^.584 = 11200 – 4905,6 = 6294,4

М(р₂) = 11200 – 8,4^.1666=11200 – 13994,4 = -2794,4

N'(p) = 3,6-p + 4050

N'(p₁) = -3,6^.584 + 4050 = -2102,4 + 4050=1947,6

N'(p₂) = -3,6^.1666 + 4050 = -5997,6 + 4050 = -1947,6

2.6. Используя формулу разложения, определяем ток i₁

2.7. Определяем U_с(р)

Рис. 11.

Рис. 12

р₁=0;

M(р_l) = 11200

М(р₂) = -8,4^.584 + 11200 = 6294,4

M(p₃) = -8,4^.1666 + 1120 = -2794,4

N'(p) = C^.(5,4^.p² + 8100^.р + 1750000)

N'(p₁) = 1750000^.40^.10^- ⁶= 70

N'(p₂) = 40^.10^-6.(5,4^.584² – 8100^.584 + 1750000) =

= 40^.10^-6.(3591702 - 4730400) = 40^.10^-6.1138698 = -45.55

N'(p₃) = 40^.10^-6.(5,4^.1666² – 8100^.1666 + 1750000) =

= 40^.10^-6.(15738002 - 13494600) = 129,7

2.8. Используя формулу разложения, записываем

5. Построение графиков функций:

(рис. 11).

(рис. 12)

Литература

1. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники, ч.1.- СПб.: Лань, 2009.

2. Теоретические основы электротехники. Нелинейные электрические цепи. Электромагнитное поле:учеб. пособие/Г.И. Атабеков [и др.]; под ред. Г.И. Атабекова.-5-е изд.,стер.-СПб.:Лань,2009.-432с.

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники, - М.: Гардарики, 2003.

4. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники, ч. I и II, - М.: Энергия, 1981.

5.. Сборник задач и практикум по основам теории электрических цепей /под ред. Ю.А. Бычкова, В.М. Золотницкого, Э.П. Чернышева.-СПб.:Питер, 2005 -304с..

Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89

Мы поможем в написании ваших работ!