Аполлоний Пергский.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Годы жизни (ок. 262-190 гг. до н.э.)

• Древнегреческий ученый, величайший математик и астроном.

• Доказал 387 теорем

• Обобщил и развил теорию конических сечений.

• Работал в Александрии при Птолемее III

• Ввел термины эллипс, парабола, гипербола, асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.

• Обнаружил, что парабола – предельный случай эллипса

• Нашел уравнение параболы

• Открыл асимптоты гиперболы

• Считается предшественником аналитической геометрии.

• Разработал общую теорию эпициклов (астрономия), на которую опирались Гиппарх из Ника и Клавдий Птолемей.

• Открытия Аполлония оказали огромное влияние на развитие астрономии, механики, оптики.

• Усовершенствование системы счисления.

Задача. Флибустьеры с островаГаити узнали, что на якоре перед Каракасом стоит испанский галион, груженный золотом. Как только закончится шторм, галион выйдет в Карибское море и возьмет курс на остров Ямайка. Флибустьеры тоже ждут конца шторма, поэтому выйти в море они смогут одновременно с испанцами. Какой курс следует взять флибустьерам, чтобы не разминуться с испанцами, если скорость флибустьерского судна вдвое меньше скорости галиона?

Весь проект будет основан на данной задаче. Итак, перейдем к основам.

Рассмотрим два способа решения задач с окружностями Аполлония:

геометрический и метод координат. Предлагаю начать с геометрического.

Вернемся к задаче. Назовем место нахождения пиратов – А, место нахождения галеона – В, а место нападения – М. Сейчас возьмем тот случай, когда М є АВ. По определениям окр. Ап. ВМ/АМ= К. из этого можно вывести 2 варианта: М принадлежит отрезку АВ и М находится на продолжении отрезка АВ.

Значит в случае, когда М принадлежит АВ есть только 2 такие точки!

Помимо этих 2х случаев возможен вариант, когда М не принадлежит прямой АВ. В таком случае образуется треугольник АВМ. Также, как уже было доказано, на прямой АВ есть 2 точки М, удовлетворяющие условию ВМ/АМ=К. мы можем отметить их. Назовем ту, которая лежит на АВ – Q, а ту, которая лежит на продолжении АВ – Р. Но пока оставим их.

Пусть М – какая-либо точка, принадлежащая искомому множеству и не лежащая на прямой АВ. Проведем биссектрису ММ₁треугольника АВМ. По теореме о биссектрисе треугольника

Согласно предыдущей задаче, точки М и Q совпадают.

Аналогично проведем биссектрису ММ₂внешнего угла треугольника АВМ (М₂ – точка пересечения этой биссектрисы с прямой АВ). По теореме о биссектрисе внешнего угла треугольника

Согласно предыдущей задаче, точки М₂и Р совпадают.

Теорема о биссектрисе треугольника : биссектриса треугольника делитпротиволежащую сторону на части, пропорциональные 2м другим сторонам.

Теорема о биссектрисе внешнего угла треугольника : биссектриса внешнегоугла треугольника образует с биссектрисой внутреннего угла треугольника,смежного с ним, угол в 90 ⁰

Итак, MQ – биссектриса треугольника АВМ, а МР – биссектриса внешнего угла треугольника АВМ. Поэтому МР перпендикулярна MQ. Но это значит, что отрезок PQ виден из точки М под прямым углом, и, значит, что точка М лежит на окружности с диаметром PQ.

Мы доказали, что любая точка искомого множества лежит на окружности с диаметром PQ. Данная окружность с диаметром PQ – это и есть окружность Аполлония.

Нахождение радиуса и центра окружности.

Центр окружности – О₁, О₁ –середина PQ, О – середина АВ.

Метод координат.

Для лучшего объяснения геометрического способа нахождения окружностей Аполлония рассмотрим задачу. Нужно найти геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек – величина постоянная.

Для решения этой задачи используем метод координат, а именно: получим уравнение фигуры, образуемой ГМТ. Введем прямоугольную систему координат, выбрав в качестве ее начала одну из заданных точек А или В (например В), а ось Ох – так, чтобы вторая точка (пусть это будет точка А) лежала на положительной полуоси.

В данной системе координат точка В имеет координаты (0;0), а точка А – (а;0), где а>0. Пусть М (х; у) – произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи, то есть АМ=К*ВМ, где К – заданное положительное число.

Если К=1, то это означает, что искомое множество точек состоит из точек, равноудаленных от данных точек А и В. Из свойств серединного перпендикуляра к отрезку следует, что искомым множеством в этом случае будет серединный перпендикуляр отрезка АВ. Но мы возьмем отличный от этого случай - К≠1.

Для этого нам понадобится формула для определения расстояния между двумя точками на плоскости.

Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!