Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.
Подробно это метод описан в соответствующей теме. Мы станем вычислять ранг матрицы A˜. Почему именно матрицы A˜, а не A? Дело в том, что матрица A является частью матрицы A˜, поэтому вычисляя ранг матрицы A˜ мы одновременно найдем и ранг матрицы A.
A˜=⎛⎝⎜⎜−3−1492−2−7−419179−42⎞⎠⎟⎟→∣∣меняем местами первую и вторую строки∣∣→→⎛⎝⎜⎜−1−3429−2−4−719917−42⎞⎠⎟⎟II−3⋅IIII+4⋅I→⎛⎝⎜⎜−100236−4539−10−6⎞⎠⎟⎟III−2⋅II→⎛⎝⎜⎜−100230−45−79−1014⎞⎠⎟⎟
Мы привели матрицу A˜ к трапециевидной форме. На главной дагонали полученной матрицы ⎛⎝⎜⎜−100230−45−79−1014⎞⎠⎟⎟ расположены три ненулевых элемента: -1, 3 и -7. Вывод: ранг матрицы A˜ равен 3, т.е. rangA˜=3. Делая преобразования с элементами матрицы A˜ мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы A, расположенные до черты. Матрица A также приведена к трапециевидной форме: ⎛⎝⎜−100230−45−7⎞⎠⎟. Вывод: ранг матрицы A также равен 3, т.е. rangA=3.
Так как rangA=rangA˜, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение. Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: x1, x2 и x3. Так как количество неизвестных n=3, то делаем вывод: rangA=rangA˜=n, поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.
|
|
|
Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.
Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.
Пример №2
Исследовать СЛАУ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1−x2+2x3=−1;−x1+2x2−3x3=3;2x1−x2+3x3=2;3x1−2x2+5x3=1;2x1−3x2+5x3=−4. на совместность.
Решение
Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований. Расширенная матрица системы: A˜=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1−1232−12−1−2−32−3355−1321−4⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟. Найдём требуемые ранги, преобразовывая расширенную матрицу системы:
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатой форме. Если матрица приведена к ступенчатой форме, то ранг её равен количеству ненулевых строк. Следовательно, rangA=3. Матрица A (до черты) приведена к трапециевидной форме и ранг её равен 2, rangA=2.
|
|
|
Так как rangA≠rangA˜, то согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т.е. не имеет решений).
Ответ: система несовместна.
Пример №3
Исследовать СЛАУ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x1+7x3−5x4+11x5=42;x1−2x2+3x3+2x5=17;−3x1+9x2−11x3−7x5=−64;−5x1+17x2−16x3−5x4−4x5=−90;7x1−17x2+23x3+15x5=132. на совместность.
Решение
Расширенная матрица системы имеет вид: A˜=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜21−3−570−2917−1773−11−1623−500−50112−7−4154217−64−90132⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟. Поменяем местами первую и вторую строки данной матрицы, чтобы первым элементом первой строки стала единица: ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜12−3−57−20917−1737−11−16230−50−50211−7−4151742−64−90132⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к трапециевидной форме. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит n=5 неизвестных, т.е. rangA˜=rangA<n, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
|
|
|
Ответ: система является неопределённой.
Заключение.
Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.
Цель данной работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы.
Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 25; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!