Несобственные интегралы 2-го рода 1
Рассмотрим теперь случай, когда промежуток интегрирования 
конечен, но подынтегральная функция 
не ограничена на нем. Строение таких функций может быть очень сложным. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда можно указать конечное множество особых точек 
, таких, что в сколь угодно малых окрестностях этих точек функция 
не ограничена, но после удаления этих окрестностей получаем промежутки, на которых функция интегрируема.
Сначала изучим случай, когда множество особых точек состоит лишь из точки 
. В этом случае не ограничена на всем отрезке , но интегрируема на любом из отрезков 
(рис. 19). За значение интеграла 
естественно принять предел 
, если этот предел существует.
Введем следующее определение:
Пусть функция не ограничена на отрезке , но интегрируема на любом из отрезков , где 
. Несобственный интеграл называют сходящимся, если существует предел . Значение этого предела и называют значением интеграла . Если же этот предел не существует, то интеграл называют расходящимся.
Аналогично, если функция не ограничена на отрезке 
, но интегрируема на любом отрезке 
, то полагаем
Несобственные интегралы 2-го рода 2
Наконец, если единственная особая точка 
лежит внутри отрезка , то положим
Пусть 
— первообразная для функции . Положим
(если эти пределы существуют). Тогда для сходящихся интегралов, у которых особыми являются лишь точки 
и , имеем:
|
|
|
Если функция непрерывна в точках и , то получаем:
Аналогично обстоит дело и в случае, когда подынтегральная функция не ограничена в любой окрестности некоторой внутренней точки отрезка .
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 12; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!