Свойства степенной функции с рациональным показателем, связанные с неравенствами
Предложение 1. Если 
, то 
на 
и 
на 
для любых рациональных r и q.
Доказательство. Если , то 
. По свойству степенной функции с положительным рациональным показателем (предложение 10, (1)) на интервале выполняется неравенство 
. Умножая обе его части на хq, получаем . Для интервала рассуждения аналогичны.
Предложение 2. Функция 
, 
, на 
принимает только положительные значения.
Доказательство следует из свойств функции при r > 0 и
r < 0, рассмотренных в п. 5 § 12 и п. 5 §13.
§ 15. Определение степени действительного числа
с иррациональным показателем
Прежде чем дать определение степени действительного числа с произвольным действительным показателем и обосновать его корректность, проведем некоторые вспомогательные рассуждения.
Неравенство Бернулли: 
для любых действительного 
и натурального п.
Доказательство. Применим метод математической индукции. При п = 1 неравенство очевидно выполняется. Предположим, что оно выполняется при п и осуществим индуктивный переход:
.
На основании ММИ заключаем, что неравенство справедливо при любом натуральном п.
Лемма. 
при любом действительном 
.
Доказательство. Требуется доказать:
.
Рассмотрим случай 
.
Обозначим 
. По неравенству Бернулли получаем: 
для любого 
. Отсюда
(*).
Для произвольного 
рассмотрим неравенство 
.
Возьмем натуральное число N, удовлетворяющее неравенству 
(такое N существует, так как множество натуральных чисел неограниченно сверху). Тогда для всех натуральных 
будет выполнено 
, отсюда 
, и в силу неравенства (*) имеем: 
. Следовательно, .
Рассмотрим случай 
. Тогда 
. По доказанному выше 
. Используя свойства степеней, имеем:
Предложение. 
при любом действительном .
Доказательство. При а = 1 утверждение очевидно.
Рассмотрим случай . Требуется доказать:
.
Возьмем произвольное . Поскольку по лемме 13 и 
,то все члены последовательностей 
и 
с номерами, большими некоторого 
, принадлежат интервалу 
. Пусть 
. Возьмем произвольное рациональное r, удовлетворяющее неравенству 
. Очевидно, 
, поэтому найдется такое натуральное п, для которого будет выполнено: 
. Тогда по свойству степенной функции с рациональным показателем (предложение 1, § 14) имеем: 
и 
. Поскольку п -ый и (п+ 1)-ый члены последовательностей и при 
принадлежат интервалу , то 
, т. е. 
. Следовательно, .
Рассмотрим случай . Тогда и 
по доказанному выше. Используя свойства степеней, имеем:
.
Определение. Степенью действительного числа с иррациональным показателем a называется число 
, где 
– произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к a.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 32; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!