Развитие по экспоненте
Этот тип развития характеризуется стабильными коэффициентами роста.
Кр 
Основная тенденция развития в рядах динамики с постоянными темпами роста отображается показательной функцией.
Применение метода аналитического выравнивания при изучении статистического тренда, проиллюстрируем на следующем примере:
Таблица 1- Розничный товарооборот региона
| Год | Объем розничного товарооборота, млн.руб. | Темпы роста цепной, % | Абсолютный прирост по годам, млн.руб. |
| 11,18 | - | - | |
| 12,23 | 109,4 | 1,05 | |
| 13,28 | 108,6 | 1,05 | |
| 14,31 | 107,7 | 1,03 | |
| 15,36 | 107,3 | 1,05 | |
| 16,40 | 106,8 | 1,04 | |
| среднее | 107,9 | 1,04 |
Развитие товарооборота происходило затухающими темпами роста и относительно стабильными абсолютными приростами, для установления в данном ряду динамики типа развития определяющим признаком является характер изменения абсолютных приростов. Поскольку при среднем абсолютном приросте (1,04 млн.руб.) величина их изменений не значительна (
млн.руб.), то анализируемый ряд динамики можно считать с равномерным развитием. Следовательно, для аналитического выравнивания можно воспользоваться уравнением прямолинейной функции.
Для вычисления параметров функции на основе требований МНК составляется система нормальных уравнений:
Для решения данной системы уравнений обычно применяется способ определителей.
Для определения параметров составляется матрица расчетных показателей.
|
|
|
Таблица 2- Матрица расчетных показателей
| Год | Объем розничного товарооборота, млн. руб. | ti | ti2 | ti*yi | 
|
| 11,18 | 11,18 | ||||
| 12,23 | 24,46 | ||||
| 13,28 | 39,84 | ||||
| 14,31 | 57,24 | ||||
| 15,36 | 76,80 | ||||
| 16,40 | 98,40 | ||||
| Сумма | 82,76 | 307,92 |
По вычисленным параметрам производим синтезирование трендовой модели функции:
На основе модели определяются теоретические (расчетные) уровни тренда 
, для каждого года анализируемого ряда динамики.
Для определения параметров составляется матрица расчетных показателей.
Таблица 2- Матрица расчетных показателей
| Год | Объем розничного товарооборота, млн. руб | ti | ti2 | ti*yi |
|
| 11,18 | 11,18 | 11,183 | |||
| 12,23 | 24,46 | 12,226 | |||
| 13,28 | 39,84 | 13,269 | |||
| 14,31 | 57,24 | 14,312 | |||
| 15,36 | 76,80 | 15,355 | |||
| 16,40 | 98,40 | 16,398 | |||
| Сумма | 82,76 | 307,92 | 82,743 |
Правильность расчетов проверяется по равенству 
Параметр a1 трендовой модели показывает, что объем розничного товарооборота, ежегодно возрастал в среднем на 1,043 млрд. руб.
|
|
|
На практике ряды динамики с показателями соответствующими признакам эталонных математических функций, скорее исключение, чем правило.
В лучшем случае на основе качественного анализа может быть выдвинута рабочая гипотеза о возможных типах развития.
Таблица 3- Розничный товарооборот региона
| Год | Объем розничного товарооборота, млн. руб. | Темп роста, % | Абсолютный прирост (цепной), млн. руб. |
| 16,4 | - | - | |
| 16,9 | 103,0 | 0,5 | |
| 17,8 | 105,3 | 0,9 | |
| 18,3 | 102,8 | 0,5 | |
| 19,1 | 104,4 | 0,8 | |
| В среднем | 17,7 | 103,9 | 0,7 |
Разнохарактерность изменений по годовых (цепных) темпов роста и значительная колеблемость цепных абсолютных приростов затрудняют определение типа динамики.
Для решения поставленной задачи в порядке 1-го приближения намечаются типы функций, по которым можно определить закономерность развития. Для чего имеющаяся информация отображается графически
Из графического изображения сделаем вывод. ………… млн. руб
Года
Для выбора наиболее адекватной функции, следует осуществить сравнительный анализ тренда исходных данных. Определяя параметры математических функций при анализе тренда в рядах динамики, воспользуемся способом перебора решений (отсчет времени от условного начала).
|
|
|
Он основан на обозначении времени таким образом, чтобы сумма t=0.
При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер, находящийся в середине ряда, обозначают через нулевое значение.
Затем принимают интервал, для последующих уровней +1 или -1.
Пример: если n=5, то -2
-1
При четном числе уровней порядковые номера верхней половины ряда обозначаются -1 -3 -5, а нижние половины ряда +1 +3 +5
При использовании способа обозначения времени когда , параметры математических функций определяются по формулам:
А) для прямолинейной функции
()
Б) для показательной функции
Для определения параметров строим матрицу 
Таблица 4- Матрица расчетных показателей
| Год | Условные обозначения времени | 
| 
| |||
| 
| |||||
| -2 | 16,4 | -32,8 | ||||
| -1 | 16,9 | -16,9 | ||||
| 17,8 | ||||||
| 18,3 | 18,3 | |||||
| 19,1 | 38,2 | |||||
| 88,5 | 6,8 |
А) по итоговым данным определяются параметры уравнения прямолинейной функции.
()
На основе вычисленных параметров синтезируется трендовая модель
|
|
|
По полученной модели для каждого года анализируемого ряда динамики определяются теоретические уровни тренда 
0
Б) по итоговым данным матрицы определяются параметры показательной функции.
Определим параметры показательной функции
Таблица 4- Матрица расчетных показателей
| Год | Условные обозначения времени |
|
| 
| 
| |
|
|
| |||||
| -2 | 16,4 | -32,8 | 1,21484 | -2,42968 | ||
| -1 | 16,9 | -16,9 | 1,22789 | -1,22789 | ||
| 17,8 | 1,25042 | |||||
| 18,3 | 18,3 | 1,26245 | 1,26245 | |||
| 19,1 | 38,2 | 1,28103 | 2,56206 | |||
|
| 88,5 | 6,8 | 6,23663 | 0,16694 |
На основе полученных параметров синтезируется трендовая модель
По полученной модели для каждого года, анализируемого ряда динамики определяется теоретические уровни.
Следует сделать вычисления и по другим функциям. Полученные данные занесем в таблицу.
(пример приводится только по прямолинейной и показательной функциям)
Таблица 5-Матрица определения стандартизованной ошибки аппроксимации математических функций
| год | ti | Yi | Теоретические уровни | Отклонения теоретических уровней от фактических | ||||
| Прям. ф-ия | Показат. ф-ия | прямолинейная функция | Показательная функция | |||||
| 
|
|
| |||||
| -2 | 16,4 | 16,34 | 16,37 | |||||
| -1 | 16,9 | 17,02 | 16,99 | |||||
| 17,8 | 17,7 | 17,67 | ||||||
| 18,3 | 18,38 | 18,38 | ||||||
| 19,1 | 19,06 | 19,11 | ||||||
| сумма |
Одним из применяемых в практике статистического изучения тренда показателей адекватности математических функций является стандартизованная ошибка аппроксимации.
Обозначается буквой 
, рассчитывается по следующей формуле:
, где
t- расчетная;
i- фактическая;
n- число.
Таблица 5-Матрица определения стандартизованной ошибки аппроксимации математических функций
| Год | ti | Yi | Теоретические уровни | Отклонения теоретических уровней от фактических | ||||
| Прямол. ф-ия | Показат. ф-ия | Прямолинейная функция | Показательная функция | |||||
|
|
|
|
| |||||
| -2 | 16,4 | 16,34 | 16,37 | -0,06 | 0,0036 | -0,03 | 0,0009 | |
| -1 | 16,9 | 17,02 | 16,99 | 0,12 | 0,0144 | 0,09 | 0,0081 | |
| 17,8 | 17,70 | 17,67 | -0,10 | 0,0100 | -0,13 | 0,0169 | ||
| 18,3 | 18,38 | 18,38 | 0,08 | 0,0064 | 0,08 | 0,0064 | ||
| 19,1 | 19,06 | 19,11 | -0,04 | 0,0016 | 0,01 | 0,0001 | ||
| сумма | 0,0360 | 0,0324 |
Применение в изучении тренда данной формулы основанная на том, что наиболее адекватной функцией считается та у которой стандартизированная ошибка аппроксимации минимальная.
(прямолинейная функция)
(показательная функция)
Из сравнения полученных значений ошибки аппроксимации следует, что по критерию минимальности предпочтение следует отдать трендовой модели синтезированной на основе показательной функции.
При прогнозировании тренда изучаемого явления на основе аналитического выравнивания для экстраполяции тренда применяется адекватная трендовая модель.
Так при выравнивании розничного товарооборота в регионе была определена на основе показательной функции трендовая модель:
Для прогнозирования возможного уровня развития товарооборота региона в данную модель подставляется время t.
При прогнозном расчете на 2007 г. время t=3.
Тогда 
На практике результат экстраполяции прогнозируемых уровней обычно выполняется не точечными, а интервальными оценками.
Для определения границ интервалов используется формула
t - критерий Стьюдента (по таблице)
- среднеквадратичное отклонение
n – число наблюдений;
m – количество параметров в уравнении;
n-m – число степеней свободы
В показательной функции 2 параметра (а0,а1)
По числу степеней свободы, при уровне значимости 
, коэффициент Стьюдента определяют по таблице t 0,05=3,18 тогда, рассчитываем среднеквадратичное отклонение
Значение вероятностных границ интервала составляет:
19,88 + 3,18 * 0,1039
19,88 - 3,18 * 0,1039
Следовательно, с вероятностью 95% при уровне значимости в 2007 г.
верхняя граница объема розничного товарооборота в регионе составит 20,21 млн. руб., а нижняя граница – 19,55 млн. руб. Таким образом, с указанной точностью утверждаем, что объема розничного товарооборота в регионе будет не более чем 20,21 млн. руб., но не менее 19,55 млн. руб.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 29; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!