Распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
Если функция распределения Fx (x) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.
Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины px (x), которая связана с функцией распределения Fx (x) формулами
и 
.
Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины 
.
47. Производящие функции.
Производя́щаяфу́нкциямоме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.
Пусть есть случайная величина 
с распределением 
. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид: 
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде: 
,то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).
.Такая случайная величина x называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2,..., xn,.... Так как в каждом из испытаний случайная величина x принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то 
Пример 1. Случайная величина x — число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения x — числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что x примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6.
Пример 2. Пусть случайная величина η - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p. Множество возможных значений η состоит из 2-х чисел 0 и 1: η =0, если событие A не произошло, и η =1, если событие A произошло. Таким образом,
Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину x — число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения x состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли 
Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m -й член разложения бинома 
. Пусть случайная величина x может принимать любое целое неотрицательное значение, причем 
где λ— некоторая положительная постоянная. В этом случае говорят, что случайная величина x распределена по закону Пуассона.
|
|
|
|
|
|
21. Абсолютно непрерывная случайная величина. Случайную величину назовем непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. Непрерывна только тогда, когда P{ x =x}=0 при всех x. Важный класс непрерывных случайных величин -- абсолютно непрерывные случайные величины. Это случайные величины, распределение которых имеет плотность.
Случайная величина x называется абсолютно непрерывной, если существует функция p(x) такая, что
1. 
2. 
3. 
имеет место равенство: 
Функция 
), обладающая вышеперечисленными свойствами, называется плотностьюраспределения случайной величины ξ.
Сл1. Если ξ -- абсолютно непрерывная случайная величина, то
Наглядный смысл плотности можно проиллюс трировать следующим рисунком.
Замечание. Если плотность ) непрерывна в точке x, то из Сл.1.вытекает следующее представление:
P {x≤ξ≤x+∆x}= 
)- 
= 
; ∆x→0
|
|
|
Если x-- точка непрерывности функции ), то 
13. Формула для числа успехов в схеме Бернулли.
Введем следующую модель: пусть подбрасывается монета; при этом герб выпадает с вероятностью p (назовем ее «вероятностью успеха»), а решка — соответственно с вероятностью q = 1 − p («вероятностью неудачи»).
Обозначим за Pn (m) вероятность того, что после n бросков совершено m успешных (монета упала гербом). Этому соответствует набор элементарных событий A 1, A 2, …, An, где  . Будем рассматривать события — двоичные последовательности вида  , где 0 означает неудачу, а 1 — успех. Вероятность такой последовательности равна  . Проверим, что выбранная таким образом функция действительно задает распределение вероятности:
1. p (ω) > 0 — очевидно,
2. Докажем, что 
Запишем это выражение в виде
где Lm — число слагаемых p (ω), для которых m успехов. Последовательности ω состоят из нулей и единиц, имеют длину n, и m единиц. Отсюда получаем  . Тогда
 .
Полученное нами при доказательстве выражение для вероятности  является основной формулой схемы Бернулли.
| 14. Полиномиальная формула
Можно обобщить схему Бернулли на n опытов с вероятностями p 1, p 2, …, pk и определить Pn (m 1, m 2, …, mk) — вероятность того, что получено m 1 исходов первого типа, … mk исходов k -го типа (m 1 + m 2 + … + mk = n). Оказывается, что при этом
 .
При k = 2 очевидным образом получим Pn (m 1, m 2) = Pn (m, n − m) = Pn (m).
12.Независимость событий.
 Определение.События  и  называются независимыми, если
 Замечание.Если  и  независимы и, то
 
Аналогично, если  и  независимы (и
| 15.Предельная теорема Пуассона.
Пусть pn — вероятность успеха в одном испытании, и  . Тогда вероятность m успехов при каждом фиксированном m
 , m = 0, 1, 2, …
Доказательство.
ываывваыва
| |||||
16. Локальная теорема Муавра-Лапалса
Локальная теорема Муавра–Лапласа
Введем величину
 .
Пусть  . Тогда
 .
и можно использовать приближение
 .
| 17. Интегральная теорема Муавра-Лапалса
Введем в рассмотрение интегральную функцию Лапласа (функцию нормального распределения)
 . (%)
Интеграл аналитически неберущийся, но стремится к 1/2 при x → ∞. Составлены таблицы значений Φ(x). Также известно, что Φ(− x) = −Φ(x).
Иногда при составлении таблиц рассматривают функцию
 . (%%)
Поскольку
 ,
получим
 ,
где знак «+» берется при x > 0, а знак «−» — при x < 0.
Кроме того, при составлении таблиц может быть использована функция («функция ошибок»)
 , (%%%)
для которой справедиво равенство  .
Будем интересоваться вероятностью попадания числа успехов m в заданный интервал. Теорема формулируется следующим образом (p, q фиксированы):
 .
| 54.Определения и свойства условного математического ожидания.
Определение условной вероятности:
Теперь введем понятие условного математического ожидания:
1. E(X | A) — математическое ожидание X при условии события A.
2. E(X | H) — математическое ожидание X при условии разбиения H.
3. E(X |F) — математическое ожидание X при условии σ-алгебры событий F.
4. E(X |Y) — математическое ожидание X при условии случайной величины Y.
Рассмотрим эти определения по порядку.
1.Полагают
при этом событие A фиксировано. 2. Математическое ожидание при условии разбиения H пространства событий Ω: E(X| H) = E(X |Hn) 3. E(X|H) = E(X|F), где H и F связаны между собой следующим образом: если есть H, то можно брать всевозможные Hi и их объединения, которые образуют некоторую σ-алгебру. И наоборот, если F — σ-алгебра, мы можем указать разбиение, которому она соответствует. 4. Математическое ожидание X при условии случайной величины Y:E(X|Y).в этом случае E(X |Y) есть функция от случайной величины Y. Для конкретного значения Y = t: E(X |Y = t) = f(t). Свойства:
|
10.Общие свойства вероятности.
Основные свойства вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е, а вероятности Р определены на событиях из Е. Тогда:
Теорема сложения вероятностей.
Доказательство.
Найдем выражение для второго слагаемого.
Теорема доказана. Следствие из теоремы сложения вероятностей (вероятность трех событий):
 Мы поможем в написании ваших работ! |
