Определение кривых Безье, базиса Бернштейна и его основные особенности. Управление их формой. Их достоинства и недостатки.
Кривые Безье или Кривые Бернштейна-Безье были разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей.
Несмотря на то, что открытие де Кастельжо было сделано несколько ранее Безье (1959), его исследования не публиковались и скрывались компанией как производственная тайна до конца 1960-х.
Кривая Безье является частным случаем многочленов Бернштейна, описанных Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.
Впервые кривые были представлены широкой публике в 1962 году французским инженером Пьером Безье, который, разработав их независимо от де Кастельжо, использовал их для компьютерного проектирования автомобильных кузовов. Кривые были названы именем Безье, а именем де Кастельжо назван разработанный им рекурсивный способ определения кривых (алгоритм де Кастельжо).
Впоследствии это открытие стало одним из важнейших инструментов систем автоматизированного проектирования и программ компьютерной графики.
Кривая Безье — параметрическая кривая, задаваемая выражением
где 
— функция компонент векторов опорных вершин, а 
— базисные функции кривой Безье, называемые также полиномами Бернштейна.
,
где 
— число сочетаний из 
по 
, где — степень полинома, — порядковый номер опорной вершины.
Свойства кривой Безье:
|
|
|
§ непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;
§ кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;
§ при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой прямую линию;
§ прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;
§ кривая Безье симметрична, то есть обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;
§ масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает её стабильности, так как она с математической точки зрения «аффинно инвариантна»;
§ изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;
§ любой частичный отрезок кривой Безье также является кривой Безье;
§ степень кривой всегда на одну ступень ниже числа контрольных точек. Например, при трех контрольных точках форма кривой — парабола;
§ окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;
· невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые), хотя существуют алгоритмы, строящие приближённую параллельную кривую Безье с приемлемой для практики точностью.
|
|
|
Применение в компьютерной графике:
Благодаря простоте задания и манипуляции, кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике для моделирования гладких линий. Кривая целиком лежит в выпуклой оболочке своих опорных точек. Это свойство кривых Безье с одной стороны значительно облегчает задачу нахождения точек пересечения кривых (если не пересекаются выпуклые оболочки опорных точек, то не пересекаются и сами кривые), а с другой стороны позволяет осуществлять интуитивно понятное управление параметрами кривой в графическом интерфейсе с помощью её опорных точек. Кроме того, аффинные преобразования кривой (перенос, масштабирование, вращение и др.) также могут быть осуществлены путём применения соответствующих трансформаций к опорным точкам.
Наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней (квадратичные и кубические). Кривые высших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целей используются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Для того, чтобы обеспечить гладкость линии в месте соединения двух кривых, три смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной прямой. В программах векторной графики наподобие Adobe Illustrator или Inkscape подобные фрагменты известны под названием «путей».
|
|
|
(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле
где 
— биномиальный коэффициент.
Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства 
многочленов степени n.
Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна
называется многочленом (полиномом) Бернштейна или многочленом в форме Бернштейна степени n.
Коэффициенты 
называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 29; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!