Оценка этого давления по порядку величины даёт нам значение

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

то есть примерно в 10⁴ раз больше нормального атмосферного. Это высокое давление электронного газа на стенки, то есть на поверхность металла, уравновешивает отрицательное давление, обусловленное стягивающим действием электрических сил.

Приложение А

Задача 1. Электрон находится в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. Ширина ящика , энергия электрона в ящике Е_n. Определить номер n энергетического уровня и модуль волнового вектора .

Решение: согласно формуле (6) имеем

откуда

Модуль волнового вектора найдем, используя выражение (8):

Задача 2. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружения частицы: в средней трети ящика; в крайней трети?

Решение: если частица находится в основном состоянии, то n = 1 и её энергия будет (9)

а волновая функция (10)

Искомую вероятность найдем по формуле (11):

1) для средней трети пределы интегрирования будут

Воспользуемся соотношением

Таким образом:

;

2) аналогично находится вероятность обнаружения частицы в крайней трети: изменятся только пределы интегрирования. Для первой трети это будет

для последней

Задача 3. Выразить среднюю квадратичную скорость через максимальную скорость электронов в металле при Т = О К.

Решение. Для решения воспользуемся формулами (19), (20) и (21).

Задача 4. Определить относительное число электронов металла, энергии которых отличаются от энергии Ферми не более чем на h % (Т = О К).

Решение. Согласно определению функция плотности состояний электронов – это число электронов, приходящихся на единичный интервал энергии.

Вид этой функции известен (18):

В нашем случае интервал энергии

Абсолютное число электронов, энергия которых лежит в заданном интервале,

Относительное число d найдем, применив (15):

Таким образом:

Замечание: этот расчет справедлив только для малых h, то есть если энергия электронов близка к энергии Ферми. Если речь идет о десятках процентов, то подсчет абсолютного числа электронов надо производить с учетом зависимости плотности состояний от энергии, то есть по формуле

Задача 5. Частица находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике. Найти:

1) ширину энергетических уровней и её зависимость от ширины ямы;

2) наименьшую разность энергетических уровней (ширину) при заданной ширине ямы;

3) как изменяется отношение разности соседних энергетических уровней к энергии Е_n при n ® ¥.

Решение: согласно (6) имеем

Поэтому

(А1)

Отсюда видно, что при заданном n, то есть для фиксированного уровня, ширина его обратно пропорциональна квадрату ширины ящика. Таким образом, чем больше размеры ящика, тем меньше разность между соседними уровнями, и при ® ¥ энергия электрона теряет квантовый характер, энергетический спектр становится сплошным.

Из (А1) следует, что при заданной ширине ямы наименьшая разность будет при n = 1, то есть

;

Задача 6. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

Dх Dр ³ ,

Dх - неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона), Dр - неопределенность импульса частицы (электрона), - постоянная Планка.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью:

Соотношение неопределенностей (А1) можно записать в виде

, (А2)

откуда

Физически разумная неопределенность импульса Dр, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса р, т.е.

Dр £ р.

Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением

Заменим Dр значением (такая замена не увеличит ). Переходя от неравенства к равенству, получим

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

Задача 7. Электрон находится в одномерном, бесконечно глубоком, прямоугольном, потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n=2), будет находиться в средней трети ящика.

Решение. Вероятность w обнаружить частицу в интервале х₁ < х₂ < х₃ определяется равенством

, (А3)

где - нормированная собственная y-функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная y-функция, описывающая состяние электрона в потенциальном ящике, имеет вид

Возбужденному состоянию (n=2) отвечает собственная функция

. (А4)

Подставив в подынтегральное выражение формулы (А3) и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим

. (А5)

Согласно условию задачи (рисунок А1).

Рисунок А1

Подставим эти пределы интегрирования в формулу (А5), произведем замену и разобьем интеграл на два:

Заметив, что а получим

Задача 8. Моноэнергетический поток электронов (Е = 100 эВ) падает на низкий прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширины. Определить высоту потенциального барьера U, если известно, что 4% падающих на барьер электронов отражается.

Решение. Коэффициент отражения r от низкого потенциального барьера выражается формулой