Равновесие зарядов при действии нескольких сил
Если по условию задачи заряд находится в равновесии, это значит, что векторная сумма сил, действующих на заряд, равна нулю. В зависимости от условия задачи, это могут быть силы Кулона, сила тяжести, сила Архимеда и т. д.
Рекомендуемая последовательность решения задач:
1) сделать рисунок, на котором указать расположение всех зарядов;
2) построить векторную сумму всех сил, действующих на заряд;
3) записать I закон Ньютона в векторном виде: 
;
4) выбрать направление осей координат и разложить все силы на составляющие;
5) записать I закон Ньютона в проекциях на каждую ось;
6) выразить искомую величину.
Задача 1.3. Расстояние между двумя разноимёнными точечными зарядами q 1 = +q и q 2 = – 2 q равно r. На каком расстоянии от первого заряда r 1 на линии, соединяющей эти заряды, нужно поместить третий заряд Q, чтобы он находился в равновесии?
Решение. Сделаем рисунок и проанализируем задачу.
Заряд Q может располагаться в одной из трёх областей (рис. 5 а): I – слева от заряда q 1; II – между зарядами q 1 и q 2; III – справа от заряда q 2.
Пусть Q > 0.
Поместим заряд Q поочерёдно в каждую из этих областей, расставим силы, действующие на этот заряд, и методом исключения отбросим области, где не выполняется I закон Ньютона (рис. 5, б).
На заряд Q со стороны зарядов q 1 и q 2 действуют силы с соответствующими индексами 
.
Запишем I закон Ньютона в векторном виде:
.
Чтобы он выполнялся, векторы сил должны быть одинаковы по модулю и противоположны по направлению.
Из рисунка видно, что в области II силы направлены в одну сторону, поэтому здесь равновесие невозможно.
В областях I и III силы направлены в разные стороны, т. е. равновесие теоретически возможно.
Теперь проанализируем модули векторов . Из закона Кулона (1.2) следует, что модуль силы зависит от величины заряда и от расстояния до него. Любая точка в области III находится ближе к бόльшему заряду q 2, следовательно, сила 
в этой области всегда будет больше, чем 
, поэтому в этой области равновесие тоже невозможно.
Остаётся область I. Для неё запишем в скалярном виде:
.
По закону Кулона:
; 
.
Приравнивая правые части с учётом того, что 
, получим:
или 
.
Произведём необходимые математические преобразования:
.
Окончательно получим:
.
Если заряд Q будет отрицательный, то поменяются направления сил , но результат от этого не изменится.
Задача 1.4. Два одинаковых шарика подвешены на нитях одинаковой длины, закреплённых в одной точке. После сообщения шарикам заряда + q 0 они оттолкнулись и разошлись на угол 2α. Найти массу каждого шарика и силу натяжения нити, если расстояние от центра шарика до точки подвеса равно ℓ.
Решение. Так как шарики одинаковы и находятся в одинаковых условиях, то достаточно рассмотреть силы, действующие на один из шариков (рис. 6). На каждый шарик действует сила тяжести 
, сила натяжения нити 
и сила электрического взаимодействия (отталкивания) 
.
Так как шарики находятся в равновесии, то по первому закону Ньютона:
.
Выберем произвольно направления осей ox и oy и найдём проекции всех сил на эти направления. Запишем I закон Ньютона в проекциях на выбранные направления:
Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решая эту систему, найдём искомые величины.
Из первого уравнения выразим силу натяжения нити:
.
По закону Кулона
,
где 
– заряд каждого шарика. Так как шарики одинаковы, то заряды тоже одинаковы (по закону сохранения заряда).
Из рисунка выразим расстояние между шариками:
.
Окончательно получим:
.
Чтобы найти массу, преобразуем систему к следующему виду:
Поделив почленно первое уравнение на второе, получим:
.
Задача 1.5. Положительно заряженный шар плотностью ρш и радиусом R помещён в жидкость плотностью ρж. Найти заряд шара, если в однородном электростатическом поле напряжённостью Е, направленном вертикально вверх, он оказался взвешенным в жидкости.
Решение. На шар действуют три силы: сила тяжести , направленная вниз, выталкивающая сила Архимеда 
, направленная вверх, и электростатическая сила , которая совпадает с направлением напряжённости 
(рис. 7). Так как шар находится в состоянии равновесия, то для него выполняется I закон Ньютона:
.
Выберем произвольно направление оси х, на которую будем проецировать силы.
Запишем I закон Ньютона в проекциях на выбранное направление:
F арх + F эл – mg = 0 .
Подставим в эту формулу выражения для сил:
;
.
Выразим массу шара через его плотность и объём:
.
После математических преобразований получим:
.
Предлагаем проанализировать случаи, когда поле направлено вертикально вниз.
Дата добавления: 2016-01-05; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!