Базовый курс по рынку ценных бумаг 33 страница
дого года полученные в качестве дохода 10%, а оставляет их на счете с
целью реинвестирования по той же процентной ставке (10%).
Основная
Доход за год,
Снято со
Остаток на счете
Сумма
Годовых
счета по
на конец года
Вклада,
Прошествии
Начало
Года
Года
11 год 1000
1000 х 0,1 = 100
1000 + (1000х0,1) =
1000 x (l+0,1) = 1100
22 год 1100
1100 х 0,1= 100
1100 + (1100x0,1) =
1100 x (l+0,l) = 1210
33 год 1210
1210 х 0,1 =121
1210 + (1210х0,1) =
1210 х (1+0,1) = 1331
По окончании трех лет инвестор получит кроме основной суммы вклада в
1000 рублей еще 331 рубль. Всего 1331 рубль.
Таким образом, если сравнивать условия без инвестирования процента
(простой процент) и с учетом инвестирования процента (сложный процент),
то результаты инвестирования по второй схеме превосходят результаты ин-
вестирования по первой схеме на 31 рубль. Это произошло по причине реин-
вестирования процента.
СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ
Сложный процент начисляется исходя из ставки процента и суммы, накоп-
ленной на счете к началу очередного периода с учетом накопленного дохо-
да. Такая схема соответствует случаю, когда доход от вклада периодически
начисляется и выплачивается заемщиком, но не изымается кредитором, а ос-
тается у заемщика, увеличивая сумму займа.
Естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, соот-
ветственно он получает и большее вознаграждение.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
|
|
|
1. Что такое процент?
2. Какая схема начисления соответствует случаю, когда доход от вклада
периодически выплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором?
18.2 ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ
При размещении свободных средств в разные ценные бумаги инвестор
стремится получить максимальную выгоду. Для того, чтобы выбрать опти-
мальный способ инвестирования, необходимо сравнить полученные доходы.
Однако доходы могут поступать в разное время.
ПРИВЕДЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ МОМЕНТУ ВРЕМЕНИ
Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки
является приведение их к одному и тому же моменту времени.
Как правило, в качестве такого момента выбирают или момент начала ин-
вестиций, или некоторый фиксированный момент в будущем.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ и НАРАЩЕНИЕ
Приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконти-
рованием, а к моменту в будущем - наращением.
БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ
В Примере 2 общая сумма денежных средств на счете по окончании
третьего года (1331) называется будущей стоимостью 1000 рублей, инвести-
рованных на 3 года; по ставке 10%, начисляемых ежегодно; при условии ре-
инвестирования процента.
|
|
|
ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ
Изначальная стоимость инвестиции 1000 рублей называется текущей стои-
мостью 1331 рубля, которые будут выплачены (или получены) через 3 года;
исходя из ставки 10%, начисляемых ежегодно; при условии реинвестирова-
ния.
Расчет, как мы помним, производился следующим образом:
1000 х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) = 1000 х (1,1)3
При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость путем
умножения текущей стоимости на (1+ ставка процента в периоде начисления
в долях единицы) столько раз, сколько начислялся процент. Теперь мы мо-
жем вывести формулу для расчета будущей стоимости денег, инвестированных
на определенный срок под определенный процент с условием реинвестирова-
ния процента.
Формула для расчета по схеме сложного процента имеет следующий вид:
FV = PV х (1 + r)n, (3)
где
FV - будущая стоимость (future value),
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании)
(present value),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы (rate),
n - число периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ НАРАЩЕНИЯ
Выражение (1 + r)n называется коэффициентом наращения.
Расчет будущей стоимости при использовании формулы сложного процента
|
|
|
называется наращением.
Расчет будущей стоимости в Примере 1, как мы помним, производился
следующим образом:
1000 + 1000 х 0,1 +1000 х 0,1+1000 х 0,1 = 1000 х (1+0,1 х 3)
При начислении простого процента мы находим будущую стоимость путем
умножения текущей стоимости на (1+ ставка процента в периоде начисления
в долях единицы, умноженная на количество периодов начисления).
Формула для расчета по схеме простого процента имеет следующий вид:
FV = PV х (1 + n r), (4)
где
FV - будущая стоимость,
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n- число периодов начисления.
В случае одного периода (n = 1) формулы (3) и (4) совпадают, т. к. в
случае одного временного интервала реинвестирования не происходит и ус-
ловия заимствования фактически совпадают:
FV = PV х (1+г)
Дисконтирование - это расчет, обратный наращению. При дисконтировании
мы узнаем, сколько сейчас (в момент расчета) стоит известная в будущем
стоимость денег. Этот пересчет к настоящему моменту позволит сравнивать
разные суммы в разные времена. Таким образом, при дисконтировании мы на-
|
|
|
ходим текущую стоимость путем деления известной будущей стоимости на (1
+ ставка процента) столько раз, на сколько раз начисляется процент.
(5)
где
FV - будущая стоимость,
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы, n- число
периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ ДИСКОНТИРОВАНИЯ
Выражение ИЛИ
называется коэффициентом дисконтирования. Он равен величине, обратной
величине коэффициента наращения.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как называется расчет, результатом которого является приведение
денежных потоков к начальному моменту времени?
2. Как называется коэффициент, обратный коэффициенту дисконтирования?
18.3 РАСЧЕТ ГОДОВЫХ СТАВОК ПРОЦЕНТА
Очевидно, что при одинаковых условиях (одинаковый срок, простой или
сложный процент) выгоднее та инвестиция, у которой выше процентная став-
ка. Однако зачастую сроки инвестиций и периоды выплат по ним не совпада-
ют. В этом случае для того, чтобы сравнивать инвестиции, необходимо
рассчитывать их процентные ставки, приведенные к одному и тому же вре-
менному периоду. Как правило, в качестве такого периода выбирается год.
Пример 3
Сравнить, какой из банковских вкладов выгоднее:
а) вложение 1000 рублей в банк на месяц под 3% в месяц;
б) вложение 500 рублей в банк на 6 месяцев под 12% за полгода.
Можно вычислить, каков доход в процентном выражении за месяц во вто-
ром случае, и сравнить с уже данным показателем в первом случае. Однако
традиционно в качестве такого периода берется один год.
При этом говорят, что ставка составляет Х процентов годовых.
Вычисление ставки в годовом исчислении можно производить по формуле
простого или сложного процента.
Пример 4
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют 2% от первоначальной
суммы вклада. Найти годовую ставку процента.
Процентную ставку в периоде начисления умножают на число периодов в
году:
Годовая ставка процента = г х n = 2% х 4 квартала = 8% годовых
Пример 5
Вклад в банке дает 1% за 14 дней. Найти годовую ставку процента.
Годовая ставка процента (1% х 365 дней) / 14 дней = 26% годовых
ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА, РАСЧИТАННАЯ ПО ФОРМУЛЕ ПРОСТОГО ПРОЦЕНТА
В общем случае годовая процентная ставка без учета реинвестирования
вычисляется из формулы (4) простого процента:
FV = PV х (1 + nr),
откуда годовая ставка процента (6)
ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРО-
ЦЕНТА
Если мы используем формулу сложного процента, то на единицу вложений
годовая процентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка в
периоде начисления в долях единицы (r)), возведенная в степень, равную
числу периодов начисления (n), минус единица:
rгодовая = (1 + r)n - 1.
Пример 6
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первона-
чальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реин-
вестирования полученного дохода.
rгодовая = (1 + 0,02)4 - 1 = 1,082432 - 1 = 0,0824.
Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при про-
чих равных условиях инвестирования годовая процентная ставка с учетом
реинвестирования выше.
В общем случае годовая процентная ставка с учетом реинвестирования
вычисляется из формулы (3) сложного процента: FV = PV x (1 + r)n откуда
годовая процентная ставка
(7)
ПРИВЕДЕНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК К ОДНОМУ ВРЕМЕННОМУ ПЕРИОДУ
С учетом необходимости приведения процентных ставок к одному времен-
ному периоду их общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от
того, в каких единицах (днях, месяцах, кварталах) выражен период инвес-
тирования.
Например, если период инвестирования выражен в днях, то число перио-
дов n = 365/X, где X - число дней. По формуле (6) процентная ставка рав-
на:
По формуле (7) процентная ставка равна:
Будучи рассчитана на основе одного временного периода (т. е. n = 1),
формула приобретает совсем простой вид:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием сложно-
го процента?
2. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием просто-
го процента?
18.4 ПОНЯТИЕ О ДИСКОНТИРОВАНИИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
Под денежными потоками (для целей настоящей главы) мы понимаем доходы
(выплаты), получаемые в разное время инвестором от инвестиций в денежной
форме.
Техника дисконтирования, выражающаяся в приведении будущей стоимости
инвестиций к их текущей стоимости, позволяет сравнивать различные виды
инвестиций, сделанные в разное время на разных условиях.
Для того чтобы привести будущую стоимость инвестиции к ее текущей
стоимости, необходимо умножить на коэффициент дисконтирования (дисконти-
ровать) все денежные доходы, связанные с инвестицией, и суммировать по-
лученные величины.
Коэффициент дисконтирования (1 + r)-n или определяется с учетом до-
ходности по альтернативному вложению.
Пример 7
Необходимо принять решение о том, имеет ли смысл покупать облигацию
номиналом 10 000 руб. по цене 9 500 руб. с выплатой ежегодного купонного
8-процентного дохода и сроком погашения через 3 года, если ставка про-
цента в банке по вкладу сроком на 3 года составляет 10% годовых (10% -
это ставка доходности
по альтернативному вложению денег в банк).
Будущая стоимость
Дисконтирование
Настоящая
Выплат
по ставке
Стоимость
По облигации
Доходности
Денежных
Альтернативного вложения (10%)
Выплат Год 1
Купонный доход 800 руб. 800/1,1
727 руб.
Год 2
Купонный доход 800 руб. 800/1,12
661 руб.
Год 3
Купонный доход 800 руб. 800/1,13
601 руб.
Год З
Погашение облигаций по
номиналу 10 000 руб. 10 000/1,13
7 513 руб.
Итого текущая стоимость облигации PV = 9 502 руб.
Из вычислений, приведенных выше, видно, что при данных условиях при-
обретение облигации выгоднее, чем вложение денег в банк, так как ее те-
кущая стоимость выше, чем рыночная цена облигации (9 500 руб.).
Общая формула для расчета текущей стоимости инвестиции при условии
выплаты дохода без реинвестирования через равные промежутки времени и
возврата основной суммы в конце срока:
(8)
где
C1, C2, C3 - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце пер-
вого, второго, третьего периодов,
Сn - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце n-ого перио-
да,
FV - основная сумма вклада, выплаченная по окончании n-ого периода,
r - доходность по альтернативному вложению.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое денежные потоки?
2. Для чего используется дисконтирование денежных потоков?
18.5 ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ
ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ
Иногда требуется решить обратную задачу: при какой процентной ставке
по данному вложению текущая стоимость вложения будет равна ее рыночной
стоимости? Для ответа на этот вопрос нужно решить уравнение (8) относи-
тельно r. Такое значение r называется внутренней (ибо не зависит от
внешних условий) ставкой доходности. Считается, что инвестиция тем вы-
годнее, чем выше ее внутренняя ставка доходности.
Пример 8
Облигация сроком 1 год погашается по номиналу, выплачивается ежегод-
ный купонный доход 8% номинала. Рыночная цена облигации - 98,18 номина-
ла. Найти внутреннюю ставку доходности по данному вложению.
Пусть номинал - 100, тогда
= 100 х 0,08 = 8,
= 100,
PV= 98,18,
a r предстоит найти. Подставляя полученные значения в формулу, полу-
чаем:
Отсюда:
1 + r = 108/98,18 = 1,1
и, наконец, внутренняя ставка доходности равна: г = 0,1 = 10%.
Пример 9
Найти внутреннюю ставку доходности для вложения 9 500 руб. на бан-
ковский вклад сроком на 3 года с выплатой 10% годовых без реинвестирова-
ния процентного дохода.
Где
PV = FV = 9 500,
C1 = C2 = Сз = 950.
Получаем уравнение:
Решая его относительно r, получим
r= 0,1 или 10%
Если мы найдем внутреннюю ставку доходности для облигации по условиям
Примера 7, то, решив уравнение
относительно r (r= 0,10011), мы можем убедиться, что внутренняя норма
прибыли для вложений в облигацию чуть выше, значит, они выгоднее, что
соответствует выводам, сделанным ранее.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое внутренняя ставка доходности?
2.Если внутренняя ставка доходности облигации составляет 12%, а про-
цент по банковскому вкладу 10%, какая из двух указанных инвестиций, на
ваш взгляд, выгоднее?
18.6 АННУИТЕТЫ
АННУИТЕТ
Аннуитет (иначе - рента) - регулярные, ежегодно поступающие платежи.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ АННУИТЕТА
Дисконтирование аннуитета используется для оценки сегодняшней текущей
стоимости инвестиции, доход на которую будет одинаковым в течение долго-
го времени и должен выплачиваться с определенной (годовой) периодич-
ностью.
Пример 10 Год
Доход
30 000 руб.
30 000 руб.
30 000 руб.
В этом случае у нас имеется аннуитет 30 000 руб. в год в течение трех лет.
Применяя к таким выплатам обычную технику дисконтирования потоков
платежей при процентной ставке, равной 10%, получаем (предполагается,
что выплаты происходят в конце каждого года):
Год
Платежи
Коэффициент дисконтирования
Настоящая стоимость 1
30 000 руб. l/(1+0,1) = 0,9091
27 273 руб.
30 000 руб. l/(l+0,l)2 = 0,8264
24 792 руб.
30 000 руб. 1/(1+0,1)3 = 0,7513
22 539 руб.
Текущая стоимость 74 604 руб.
Текущая стоимость потока платежей 74 604 руб.
Из вычислений видно, что мы каждый раз умножали коэффициент дисконти-
рования на одну и ту же величину -
30 000.
Получим:
где величина 2,4868 является коэффициентом дисконтирования аннуитета
Ar.
Для экономии времени коэффициент дисконтирования аннуитета AR может
быть вычислен по формуле суммы членов геометрической прогрессии со зна-
менателем геометрической прогрессии 1/(1 + г):
где:
r - процентная ставка за период (см. условия примера),
n- число периодов.
Используя эту формулу, можно рассчитать 3-летний коэффициент дискон-
тирования аннуитета при процентной ставке 10%:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое рента (аннуитет)?
2. Для чего используется дисконтирование аннуитета?
3. Каким образом при вычислении коэффициента дисконтирования аннуите-
та можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии?
18.7 РАСЧЕТ ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ, НАЧИНАЮЩИХСЯ В
МОМЕНТ ВРЕМЕНИ, НА КОТОРЫЙ РАССЧИТЫВАЕТСЯ ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИИ
В обычных случаях мы полагали, что первая выплата отстоит от времени,
на которое рассчитывается текущая стоимость, на 1 временной период, нап-
ример, произойдет через год или месяц. Возможны, однако, ситуации, когда
первый платеж приходит в тот момент, на который рассчитывается текущая
стоимость инвестиций.
Пример 11:
облигация, приобретенная за 1000 рублей, приносит купонный доход 8%
ежегодно, первая купонная выплата производится в момент сразу после при-
обретения. Срок до погашения 3 года. Найти текущую стоимость на момент
приобретения облигации.
Год
Платежи
Коэффициент дисконтирования
Текущая стоимость 0
80 руб.
80 руб.
80 руб.
1/1,08
74,07 руб.
1080 руб.
1/1,082
925,93 руб.
Общая текущая стоимость 1080 руб.
Общая формула для расчета текущей стоимости денежных потоков при ус-
ловии получения первого платежа в момент, на который рассчитывается нас-
тоящая стоимость, принимает вид:
где
С0 - первый платеж, не дисконтированный, поскольку он получен в мо-
мент времени, на который рассчитывается текущая стоимость. Его будущая
стоимость равна текущей стоимости. Математическое объяснение таково: для
платежей, приходящих во время 0:
т. е. коэффициент дисконтирования равен 1.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что выражает процентная ставка, используемая при расчете текущей
стоимости аннуитета?
2. Чему равен коэффициент дисконтирования для платежа, полученного в
момент расчета текущей стоимости аннуитета?
Дата добавления: 0000-00-00; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!