Требования к уровню освоения содержания курса.
Организационно-методический раздел.
Название курса.
Вычислительные методы линейной алгебры.
Направление - математика
Раздел - общие математические и естественно-научные дисциплины
Компонент -
Цели и задачи курса.
Дисциплина "Вычислительные методы линейной алгебры" предназначена для студентов второго курса механико-математических факультетов университетов.
Основной целью освоения дисциплины является изучение студентами теоретических основ построения и применения на практике методов решения систем линейных алгебраических уравнений и спектральных задач.
Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:
1) изучение теоретической части курса в соответствии с программой
2) решение цикла задач по курсу в соответствии с программой
3) реализация методов на ЭВМ и сдача вычислительного практикума
6) сдача экзамена в соответствии с учебным планом.
Требования к уровню освоения содержания курса.
По окончании изучения указанной дисциплины студент должен
- иметь представление о месте и роли изучаемой дисциплины среди других наук;
- знать содержание программы курса, формулировки задач, условия применимости и характеристики вычислительных методов решения задач линейной алгебры;
- уметь определять применимость конкретных вычислительных методов для решения систем линейных алгебраических матриц и спектральных задач для симметричных матриц, реализовывать методы в виде программ для ЭВМ.
|
|
Формы контроля
Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрен зачет и экзамен.
Текущий контроль. В течение семестра выполняются домашние задания и контрольные работы. Выполнение указанных видов работ является обязательным для всех студентов.
Содержание дисциплины.
Новизна.
Курс "Вычислительные методы линейной алгебры" является традиционной дисциплиной математической подготовки студентов; его новизна состоит в том, что классический материал по этой дисциплине весьма обширен, а изложение его теоретических основ за 36 лекционных часов требует тщательного отбора тем и методов прежде всего удовлетворяющих критерию их использования на ЭВМ для решения широкого круга задач. Курс характеризуется математической строгостью изложения, большим числом предлагаемых теоретических и практических задач и упражнений.
Тематический план курса.
Наименование разделов и тем | К о л и ч е с т в о ч а с о в | ||||
Лекции | Семинары | Лаборатор- ные работы | Самостоятель-ная работа | Всего часов | |
Вычислительные методы линейной алгебры | |||||
Итого по курсу: |
Содержание отдельных разделов и тем.
|
|
Вычислительные методы линейной алгебры
1. Традиционные задачи линейной алгебры.
1.1. Методы их решения, основанные на теории определителей.
1.2. Оценка количества арифметических действий и времени, необходимых для их реализации. Катастрофическое влияние ошибок округления на конечный результат (пример).
1.3. Векторные и матричные нормы, согласованные и подчиненные нормы.
1.4. Число обусловленности матрицы.
1.5. Оценка возмущения решения системы линейных алгебраических уравнений при возмущении правой части и матрицы.
2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
2.1. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса).
2.2. Теорема о разложении квадратной матрицы в произведение нижней и верхней треугольных матриц.
2.3. Теорема о LDU - разложении квадратной матрицы.
2.4. Схема единственного деления.
2.5. Разложение Холесского, метод квадратного корня: устойчивость к ошибкам округления при вычислении разложения (число обусловленности сомножителя).
2.6. Выбор главного элемента по столбцу, матрицы перестановок, LU- разложение PA матрицы.
|
|
2.7. Числа обусловленности сомножителей в LU - разложении квадратной матрицы A. Число обусловленности произведения QA, где Q - ортогональная (унитарная) матрица.
2.8. Матрицы вращения, QR - разложение квадратной матрицы A.
2.9. Матрицы отражения, HR - разложение матрицы A.
2.10. Метод прогонки для систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Диагональное преобладание. Метод матричной (формулы) прогонки.
3. Итерационные методы решения систем линейных уравнений.
3.1. Двухслойные (одношаговые) итерационные методы. Вектор ошибки, и вектор невязки, матрицы перехода. Канонический вид двухслойного однопараметрического итерационного метода.
3.2. Достаточное условие сходимости стационарного итерационного метода. Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости стационарного итерационного метода. Ассимптотическая скорость сходимости.
3.3. Метод простой итерации, теорема о сходимости, выбор оптимального параметра.
3.4. Метод Якоби, достаточное условие сходимости (лемма Гершгорина).
3.5. Метод Зейделя (Гаусса-Зейделя).
3.6. Определение функционала ошибки Ф(z), подчиненного итерационному методу, существование такого функционала - достаточное условие сходимости итерационного метода. Теорема о достаточном условии сходимости стационарного итерационного метода (B > 0.5*t*A).
|
|
3.7. Сходимость метода Зейделя для систем с симметричными, положительно определенными матрицами.
3.8. Релаксация, сходимость метода релаксации для систем с симметричными, положительно определенными матрицами.
4. Нестационарные итерационные методы решения систем линейных уравнений.
4.1. Вариационный принцип выбора параметров.
4.2. Метод наискорейшего спуска, сходимость для систем с симметричными, положительно определенными матрицами.
4.3. Метод минимальных невязок, сходимость для систем с положительно определенными матрицами.
5. Многопараметрические итерационные методы.
5.1. Метод простой итерации с чебышевским набором параметров (метод Ричардсона или Чебышевский итерационный метод). Оценка сходимости. Устойчивость чебышевских наборов итерационных параметров. Трехчленные формулы чебышевского итерационного метода.
5.2. Метод сопряженных градиентов. Оценка сходимости метода. Построение A - ортогонального базиса, двухчленные формулы реализации.
6. Итерационные методы решения задачи на собственные значения и векторы симметричной матрицы.
6.1. Характеристический полином матрицы, непрерывная зависимость его корней от коэффициентов.
6.2. Степенной метод приближенного вычисления максимального по модулю собственного значения и соответствующего ему собственного вектора симметричной, положительно определенной матрицы. Его применение для вычисления минимального или ближайшего к наперед заданному числу собственного значения.
6.3. Закон инерции и L*D*L'- разложение симметричной матрицы, идея метода деления пополам.
6.4. Приведение симметричной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия (с помощью матриц вращения).
6.5. Якобиевая симметричная матрица, свойства последовательности ее главных миноров, теорема о количестве ее отрицательных собственных значений, простота собственных значений.
6.6. Схема метода деления пополам (метода бисекций) приближенного вычисления i-того собственного значения якобиевой матрицы, вычисление соответствующего ему собственного вектора.
6.7. Метод Якоби. Инвариантность суммы квадратов элементов матрицы при умножении ее на ортогональную матрицу: S(A)=S(QA)=S(AQ). Изменение суммы квадратов внедиагональных элементов матрицы при ортогональном преобразовании подобия с помощью элементарных матриц вращения. Формулы элементов матрицы вращения.
6.8. Оценка сходимости к нулю сумм квадратов внедиагональных элементов последовательности матриц метода вращения.
6.9. Оценка точности приближения собственных значений.
6.10. Оценка точности приближения собственных векторов (случай простых собственных значений).
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 12; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!