Поток вектора напряж. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.
Выделим малую площадку площадью Δ S, ориентация которой задается единичным вектором нормали .
В пределах малой площадки электрическое поле можно считать однородным, тогда поток вектора напряженности Δ Ф E определяется как произведение площади площадки на нормальную составляющую вектора напряженности где — скалярное произведение векторов и ; E n — нормальная к площадке компонента вектора напряженности.
В произвольном электростатическом поле поток вектора напряженности через произвольную поверхность, определяется следующим образом :
- поверхность разбивается на малые площадки Δ S (которые можно считать плоскими);
- определяется вектор напряженности на этой площадке (который в пределах площадки можно считать постоянным);
- вычисляется сумма потоков через все площадки, на которые разбита поверхность
.
Эта сумма называется потоком вектора напряженности электрического поля через заданную поверхность.
Рассмотрим электрическое поле точечного заряда Q . Это поле обладает сферической симметрией — модуль вектора напряженности зависит только от расстояния для заряда, в любой точке вектор напряженности направлен радиально, вдоль прямой, соединяющей заряд с точкой наблюдения.
Окружим заряд сферой, произвольного радиуса R, центр которой совпадает с точечным зарядом. Во всех точках поверхности сферы вектор напряженности электрического поля направлен вдоль нормали к поверхности сферы (поэтому угол между ними равен нулю), его модуль постоянен и по закону Ш. Кулона равен
|
|
Выделим на поверхности сферы малую площадку площадью Δ S i, поток вектора напряженности через эту площадку равен
Так как модуль вектора напряженности во всех точках сферы одинаков, суммирование потоков через поверхность сферы, сводится к суммированию площадей участков, на которые разбивается сфера. Вычислим поток вектора напряженности
здесь — площадь поверхности сферы. этот поток не зависит от радиуса сферы. Итак, поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через поверхность сферы равен отношению заряда к электрической постоянной.
Для обобщения полученного результата, вспомним теоремы о потоке несжимаемой жидкости. Самое важное — распределение скоростей от то-чечного источника, описывается такой же зависимостью, как и напряжен-ность электрического поля, созданного точечным источником. Следовательно, и потоки этих векторных полей подчиняются одинаковым законам. Поэтому, мы не будем подробно доказывать каждое утверждение, только приведем его основные этапы.
- Поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность, окружающую заряд, равен величине заряда, деленного на электрическую постоянную:
- поток вектора напряженности электрического поля, созданного системой зарядов,через любую замкнутую поверхность, окружающую заряды, равен сумме зарядов, деленную на электрическую постоянную ε0:
|
|
- Если заряд Q´ находится вне замкнутой поверхности , то поток вектора напряженности поля, созданного этим зарядом через эту поверхность равен нулю: Ф E = 0.
теорема Гаусса:
Из определения потока вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность, поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, которая охватывает точечный заряд Q, находящийся в ее центре, равен рис 1
В случае, если замкнутая поверхность любой формы охватывает заряд (рис. 2), то при пересечении любой линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. При вычислении потока нечетное число пересечений в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток полагается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, которые входят в поверхность.
|
|
Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, которые входят в поверхность, равно числу линий напряженности, которые выходят из нее.
Значит, для поверхности произвольной формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/ε0, т. е.
Знак потока совпадает со знаком заряда Q.
Исследуем общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. Используя с принцип суперпозиции, напряженность Е поля, которая создавается всеми зарядами, равна сумме напряженностей Ei полей, которые создаваются каждым зарядом в отдельности. Поэтому
каждый из интегралов, который стоит под знаком суммы, равен Qi/ε0. Значит,
Эта Формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0.
В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью ρ=dQ/dV, которая различна в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, которая охватывает некоторый объем V,
|
|
исп формулы:
6.применение теоремы гаусса к расчету электростатических полей(сферы,шара)
Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +σ. Т.к. заряд распределен равномернопо поверхности то поле, которое создавается им, обладает сферической симметрией. Значит линии напряженности направлены радиально (рис. 3). Проведем мысленно сферу радиуса r, которая имеет общий центр с заряженной сферой. Если r>R,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, который создает рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr2E = Q/ε0, откуда
(3)
При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 4. Если r'<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри себя зарядов, значит внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E=0).
Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью ρ (ρ = dQ/dV – заряд, который приходится на единицу объема). Учитывая соображения симметрии, аналогичные п.3, можно доказать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в случае (3). Внутри же шара напряженность поля будет иная. Сфера радиуса r'<R охватывает заряд Q'=(4/3)πr'3ρ. Поэтому, используя теорему Гаусса, 4πr'2E=Q'/ε0=(4/3)πr'3ρ/ε0. Т.к. ρ=Q/(4/3πR3)) получаем
(4).Значит, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r' согласно зависимости (4). График зависимости Е от r для рассмотренного случая показан на рис. 5.
Дата добавления: 2016-01-05; просмотров: 15; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!