Теорема об LU разложении
Если 
, то 
, где 
– нижняя, 
– верхняя треугольные матрицы.
Доказательство.
Если 
, то 
, 
,
т.к. 
.
Предположим, что разложение найдено (
). Вычислим 
(т.е. последние строку матрицы 
и столбец матрицы 
):
т.к. 
то 
– системы с треугольными неособенными матрицами (решения 
), и
,
очевидно, что решение этого уравнения существует, но не единственно.
(так как 
, то 
.)
И, наконец, 
.
Объем вычислений.
Так как для решения системы уравнений с треугольной матрицей порядка 
достаточно выполнить 
умножений и делений, то полагая на каждом шаге 
, получим, что число таких операций для вычисления последних строки и столбца матриц и равно 
, а для вычисления матриц 
и 
достаточно 
умножений или делений.
Замечание.
Если построено 
–разложение матрицы 
, то ее определитель вычисляется за 
умножений (перемножаются диагональные (ведущие) элементы).
Теорема (об  – разложении).
Если  ,
то разложение  ,где
 , единственно.
| Док–во.
Пусть  , тогда
 ,
(т.к.  – нижняя треуг. м–ца с единицами на диагонали)
 .
|
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 22; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!